2 курс

[1] Градиентный спуск

Реализация градиентного спуска на $\textcolor{orange}{\texttt{Python}}$

1. Наискорейший покоординатный и
2. наискорейший градиентный спуски.

[2] Вычисление погрешностей

Реализация на $\textcolor{blue}{\texttt{C++}}$

1. Разложение разных функций через ряд Тейлора
2. Вычисление корня через формулы Герона
3. В $\LaTeX$-овском $\texttt{pdf}$ лежат вычисления погрешностей

[3] Численное решение систем уравнений

Численные методы решения систем уравнений. Код написан на $\textcolor{red}{\texttt{Java}}$

1. Метод Зейделя
2. LU-разложение
3. QR-разложение
4. Метод простых итераций

[4] Метод Ньютона решения уравнений

1. Нелинейные уравнения
2. Системы нелинейных уравнений
3. LU-разложение для решения вспомогательной СЛАУ в методе Ньютона

3 Курс

Весь код для задачек ниже написан на $\textcolor{orange}{\texttt{Python}}$

[1] МНК

1. Аналитическое решение МНК через нормальные уравнения
2. Вычисление ошибки аппроксимации полиномами разной степени
3. Построение ортогональных полиномов
4. Сравнение указанных подходов

[2] Интерполяция

1. Многочлены Лагранжа, Ньютона
2. Сплайны линейные
3. Сплайны квадратичные
4. Сплайны кубические

В каждом подходе считаем и по равноотстоящим узлам, и по оптимальным узлам Чебышева. Производится также подсчет отклонений

[3] Интегрирование

Вычисление интегралов с помощью формул Ньютона-Котеса и квадратурной формулы Гаусса

1. Интерполяционная квадратурная формула (ИКФ) с равноотстоящими узлами — ИКФ Ньютона—Котеса
2. Квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности (КФНАСТ), или ИКФ Гаусса
3. Также есть формулы Симпсона, трапеций, левых и средных прямоугольников, но они не особо интересные

Вычисление погрешностей интегрирования

1. Метод Ричардсона
2. Метод Рунге (частный случай формулы Ричардсона)

[4] Решение задачи Коши для систем ОДУ (СОДУ) методом Рунге-Кутты

Методы решения

1. Решение задачи Коши с помощью явного метода Рунге-Кутты 2 порядка (ЯМРК 2): с постоянным и автоматически выбираемым шагом
2. Решение задачи Коши с помощью ЯМРК 4 в качестве схемы-оппонента: с постоянным и автоматически выбираемым шагом

Анализ результатов

1. Зависимость нормы точной погрешности в конце отрезка от шага $h=2^{-k}$, $k=\overline{1,\dots}$
2. Подборка оптимального постоянного шага для ЯМРК 2, ЯМРК 4
3. Зависимость точной полной погрешности от независимой переменной $x$ в случае с постоянным шагом
4. Поиск начального шага
5. Рассчет оценки локальной погрешности методом Рунге
6. Рассчет оценки полной погрешности методом Рунге
7. Автоматический выбор шага интегрирования для ЯМРК 2, ЯМРК 4
8. Зависимость длины шага от независимой переменной
9. Количество обращений к правой части СОДУ и зависимость числа обращений от задаваемой точности $\varepsilon$
10. Проверка условия на попадание в граничную точку $x_1$ интервала интегрирования $[x_0, x_1]$