Arithmetic

Este proyecto tiene como objetivo evaluar el desempeño de distintas aritméticas de coma flotante, punto fijo y fracciones racionales, en una comparación con nuestra aritmética: BigNum.

Dependencias

El proyecto está python, para ejecutar el proyecto, solo debe escribir en consola:

make

si estas en linux o ejecutar el archivo main.py con su intérprete de python.

Descripción de BigNum

El funcionamiento de esta biblioteca se basa en la aritmética de punto fijo manteniendo una precisión exacta de los lugares decimales que podemos modificar dinámicamente, mientras tanto en la representación de la parte entera si no contamos con ningún límite, por lo que dentro de nuestros límites computacionales podemos representar cualquier número.

Esta aritmética modela la representación de los números en potencias de base 10, con lo cual nos acercaremos más a la precisión de los números con los que habitualmente trabajamos, un ejemplo clásico de estas aproximaciones consiste en: $0.4\cdot 3$ el cual comparamos con $1.2$ en la aritmética común de los lenguajes de programación y obtendremos un resultado negativo, debido a la representación periódica en base 2 de uno de estos números.

Para la optimización de las operaciones en BigNum y aprovechándonos de que la aritmética de los enteros en la computadora es exacta, variamos la base de la aritmética a potencias de 10, siempre y cuando no no excedan la aritmética entera que suele ser en la mayoría de los casos de 64 bits.

Los algoritmos utilizados para las operaciones básicas son:

• La suma y la substracción usual.
• Multiplicación: Está implementada la multiplicación mediante el algoritmo de Karatsuba, apoyado en la suma antes definida.
• División: Está implementada mediante el algoritm_d el cual se basa en la optimización de la división de un número de $n+1$ dígitos por otro de $n$ dígitos.

Aritméticas utilizadas

Compararemos las siguientes aritméticas:

• Decimal: Está implementada en el módulo decimal de python contiene implementaciones de aritmética de coma flotante y punto fijo, además de la posibilidad representar una cantidad de lugares decimales variable.
• Fracciones Racionales: Está implementada en el módulo fraction de python, los números de esta aritmética cuentan con dos números enteros, el numerador y el denominador.
• BigNum: Aritmética propuesta y descrita anteriormente.

Descripción de ArithmeticMath

Para la comparación de las aritméticas definiremos la clase ArithmeticMath con las siguientes operaciones:

• Raíz n-ésima: Para esta operación se trata de aproximar mediante una potencia entera y luego se aproxima mediante el siguiente algoritmo.

• Potencia: Para esta operación se busca la fracción que genera el exponente y luego se calcula la raíz y la potencia correspondiente.

• Número $\pi$: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $arcsin(x)$.

• Número $e$: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $e^x$.

• Logaritmo en base e: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $ln(1-x)$, con $|x| \leq 1$, si $|x| > 1$ se utiliza la siguiente identidad $ln({1\over x})=-ln(x)$.

• Logaritmo: Se aproxima mediante la identidad $log(a)(b)={ln(a)\over ln(b)}$, con el cálculo de los logaritmos en base $e$ correspondientes.

• Seno: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $sin(x)$.

• Coseno: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $cos(x)$.

• Arcoseno: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $arcsin(x)$.

• Arcocoseno: Se aproxima mediante la identidad $arccos(x)={\pi \over 2}-arcsin(x)$, con el cálculo del arcoseno correspondiente.

• Arcotangente: Se aproxima mediante la serie de Taylor de la función $arctan(x)$, con $|x| \leq 1$, si $|x| > 1$ se utiliza la siguiente identidad $arctan(x)={\pi \over 2}-arctan({1 \over x})$.

• Arcocotangente: Se aproxima mediante la identidad $arccot(x)={\pi \over 2}-arctan(x)$, con el cálculo de la arcotangente correspondiente.