Fixing errors in Schwinger model

source/ja/more_dynamics.ipynb

@@ -194,7 +194,7 @@
     "\n",
     "```{math}\n",
     ":label: schwinger_lagrangian\n",
-    "\\mathcal{L} = \\frac{1}{4g^2} F^{\\mu\\nu}F_{\\mu\\nu} + \\bar{\\psi} (i\\gamma^{\\mu}D_{\\mu} - m) \\psi\n",
+    "\\mathcal{L} = -\\frac{1}{4g^2} F^{\\mu\\nu}F_{\\mu\\nu} + \\bar{\\psi} (i\\gamma^{\\mu}D_{\\mu} - m) \\psi\n",
     "```\n",
     "\n",
     "です。ただし、これまでの物理系を扱った話と異なり、ここでは場の量子論の一般慣習に従って、光速$c$とプランク定数$\\hbar$がともに1である単位系を使っています。\n",
@@ -211,23 +211,9 @@
     "\n",
     "```{math}\n",
     ":label: kogut_susskind_hamiltonian\n",
-    "H = \\frac{1}{a} \\bigg\\{ -i \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[ \\Phi^{\\dagger}_{j} e^{i\\theta_{j}} \\Phi_{j+1} + \\Phi_{j} e^{-i\\theta_{j}} \\Phi^{\\dagger}_{j+1} \\right] + J \\sum_{j=0}^{n-2} L_{j}^2 + \\mu \\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j} \\bigg\\}\n",
+    "H = \\frac{1}{2a} \\bigg\\{ -i \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[ \\Phi^{\\dagger}_{j} e^{i\\theta_{j}} \\Phi_{j+1} + \\Phi_{j} e^{-i\\theta_{j}} \\Phi^{\\dagger}_{j+1} \\right] + 2 J \\sum_{j=0}^{n-2} L_{j}^2 + 2 \\mu \\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j} \\bigg\\}\n",
     "```\n",
     "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">**訂正**</span>\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">本来は</span>\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "\\color{red}{\n",
-    "H = \\frac{1}{2a} \\bigg\\{ -i \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[ \\Phi^{\\dagger}_{j} e^{i\\theta_{j}} \\Phi_{j+1} + \\Phi_{j} e^{-i\\theta_{j}} \\Phi^{\\dagger}_{j+1} \\right] + 2J \\sum_{j=0}^{n-2} L_{j}^2 + 2\\mu \\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j} \\bigg\\}\n",
-    "}\n",
-    "$$\n",
-    "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
     "となります。ここで$J = g^2 a^2 / 2$, $\\mu = m a$, また$\\Phi_j$はサイト$j$上の（1元）物質場、$\\theta_j$は$j$上のゲージ場、$L_j$は格子$j$と$j+1$間の接続上の電場です。\n",
     "\n",
     "Kogut-Susskindハミルトニアンにおける物質場はstaggered fermionsと呼ばれ、隣接サイトのうち片方が物質を、もう一方が反物質を表します。約束として、ここでは$j$が偶数のサイトを物質（電荷-1）に、奇数のサイトを反物質（電荷1）に対応付けます。一般に各サイトにおける物質の状態は、フェルミ統計に従って粒子が存在する・しないという2つの状態の重ね合わせです。サイト$j$の基底$\\plusket_j$と$\\minusket_j$を、$\\Phi_j$と$\\Phi^{\\dagger}_j$が\n",
@@ -281,23 +267,9 @@
     "となります。ここで太線の分数$\\genfrac{}{}{2pt}{1}{j}{2}$は切り捨ての割り算$[j - (j \\bmod 2)]/2$（Pythonでの`j // 2`と同等）です。この電場を式{eq}`kogut_susskind_hamiltonian`に代入して\n",
     "\n",
     "$$\n",
-    "H = \\frac{1}{a} \\left\\{ -i \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[ \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j+1} + \\Phi_j \\Phi^{\\dagger}_{j+1} \\right] + J \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[\\sum_{k=0}^{j} \\Phi_{k}^{\\dagger} \\Phi_{k} - \\mfrac{j}{2} - 1 \\right]^2 + \\mu \\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j} \\right\\}\n",
-    "$$\n",
-    "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">**訂正**</span>\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">本来は</span>\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "\\color{red}{\n",
     "H = \\frac{1}{2a} \\left\\{ -i \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[ \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j+1} + \\Phi_j \\Phi^{\\dagger}_{j+1} \\right] + 2J \\sum_{j=0}^{n-2} \\left[\\sum_{k=0}^{j} \\Phi_{k}^{\\dagger} \\Phi_{k} - \\mfrac{j}{2} - 1 \\right]^2 + 2\\mu \\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j+1} \\Phi^{\\dagger}_{j} \\Phi_{j} \\right\\}\n",
-    "}\n",
     "$$\n",
     "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
     "が得られます。"
    ]
   },
@@ -335,26 +307,9 @@
     "となります。まとめると、\n",
     "\n",
     "$$\n",
-    "H \\rightarrow \\frac{1}{2a} \\left\\{ \\sum_{j=0}^{n-2} (\\sigma^X_j \\sigma^X_{j+1} + \\sigma^Y_j \\sigma^Y_{j+1}) + J \\sum_{j=1}^{n-2} (n - j - 1) \\sum_{k=0}^{j-1} \\sigma^Z_k \\sigma^Z_j + \\sum_{j=0}^{n-1} \\left[ (-1)^{j+1} \\mu - J \\mfrac{n-j}{2} \\right] \\sigma^Z_j \\right\\}\n",
-    "$$\n",
-    "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">**訂正**</span>\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">本来は</span>\n",
-    "\n",
-    "$$\n",
-    "\\color{red}{\n",
     "H \\rightarrow \\frac{1}{4a} \\left\\{ \\sum_{j=0}^{n-2} (\\sigma^X_j \\sigma^X_{j+1} + \\sigma^Y_j \\sigma^Y_{j+1}) + J \\sum_{j=1}^{n-2} (n - j - 1) \\sum_{k=0}^{j-1} \\sigma^Z_k \\sigma^Z_j + \\sum_{j=0}^{n-1} \\left[ (-1)^{j+1} \\mu - J \\mfrac{n-j}{2} \\right] \\sigma^Z_j \\right\\}\n",
-    "}\n",
     "$$\n",
     "\n",
-    "<span style=\"color:red\">上で$J$と$\\mu$に比例する項について、計算がファクター2ずれていたため、結果として間違えたハミルトニアンと本来のハミルトニアンが定数倍の関係になっている。</span>\n",
-    "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
-    "\n",
     "です。ただし、計算過程で現れる定数項（恒等演算子に比例する項）は時間発展において系の状態に全体位相をかける作用しか持たないため、無視しました。"
    ]
   },
@@ -372,15 +327,7 @@
     "\n",
     "を時間の関数としてプロットしてください。余裕があれば、各サイトにおける粒子数、電荷、サイト間の電場などの期待値の時間変化も観察してみましょう。\n",
     "\n",
-    "ハミルトニアンのパラメターは、$J = 1$, $\\mu = 0.5$とします（他の$J$や$\\mu$の値もぜひ試してみてください）。$\\omega = 1/a$とおき、鈴木・トロッター分解における時間ステップ$\\Delta t$の大きさ$\\omega \\Delta t = 0.2$として、時間$\\omega t = 2$までシミュレーションをします。\n",
-    "\n",
-    "---\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">**訂正**</span>\n",
-    "\n",
-    "<span style=\"color:red\">本来は$\\omega = 1/(2a)$であるべき</span>\n",
-    "\n",
-    "---\n",
+    "ハミルトニアンのパラメターは、$J = 1$, $\\mu = 0.5$とします（他の$J$や$\\mu$の値もぜひ試してみてください）。$\\omega = 1/(2a)$とおき、鈴木・トロッター分解における時間ステップ$\\Delta t$の大きさ$\\omega \\Delta t = 0.2$として、時間$\\omega t = 2$までシミュレーションをします。\n",
     "\n",
     "**解説**:\n",
     "\n",

source/ja/nonlocal_correlations.ipynb

@@ -637,8 +637,7 @@
     "**提出するもの**\n",
     "\n",
     "- 完成した回路のコード（EDIT BELOW / EDIT ABOVEの間を埋める）とシミュレーション結果によるプロット\n",
-    "- ベル状態と可分状態の混合状態とでの2体相関の違いに関する考察\n",
-    "- （おまけ）可分状態の混合状態で、$|S|=2$を実現するものを考案し、その$\\sigma^{\\theta}\\sigma^{\\phi}$の期待値のプロット"
+    "- ベル状態と可分状態の混合状態とでの2体相関の違いに関する考察"
    ]
   }
  ],