Obejtivos principales: En este proyecto se busca, haciendo uso del lenguaje de programación Python y sus herramientas, realizar la simulación de un gas ideal confinado en una caja. De manera detallada el objetivo es verificar las predicciones de la teoría cinética de los gases
Implementación: Como se dijo anteriormente el proyecto usará como lenguaje único Python y se implementarán recursos propios de este lenguaje como lo son librerías científicas del tipo de numpy o scipy. También se baraja la posibilidad de usar librerías gráficas como lo son Visual Python o Matplotlib, las cuales son de mucha utilidad en proyectos como este.
La columna vertebral del proyecto (en términos de código) serán las clases de Python, en ellas se definirán los métodos pertinentes basados en los principales modelos que se tienen para los gases ideales. En particular, este modelo se basa en considerar cada partícula del gas como un objeto circular con dimensiones definidas como masa y radio, en el caso de la primera, consideraremos que cada una de las partículas tienen exactamente la misma masa. Se considerará también que tanto los choques entre partículas, como los choques con las paredes de la caja son colisiones elásticas.
Finalmente haciendo uso de la información que se pueda extraer y las librerías gráficas nombradas anteriormente se busca realizar una animación de lo que sucede con las partículas dentro de la caja, la cual vendrá acompañada de una gráfica dinámica que comparará en cada instante de tiempo la gráfica de la distribución que sigue la variable aleatoria definida como está en el item de objetivos principales y la distribución real de Maxwel-Boltzman.
Comenzamos creando la clase partícula, la cual, como ya se expuso va a contener todos los métodos que determinarán la evoución del gas. En el método init se definen los atributos que va a tener el objeto partícula. Cada partícula va a tener asociada una posición, una velocidad, una masa, un radio y adicional a esto 3 listas que corresponderán a todas las velocidades (vector), posición (vector) y la magnitud de su velocidad (float), para definir un objeto de la clase partícula fuera de la clase misma, podemos ver el siguiente ejemplo:
p1=Particula((0,0),(3,4),2,0.5)
Esta es una partícula que está en el orígen, su velocidad en la componte horizontal es 3, y en la componente vertical es 4. Tiene masa de 2 y su radio es de 0.5.
Ahora, el siguiente método de la clase es el método paso_dt, lo que hace este método es avanzar el tiempo, aquí se dice que, como es natural en la mecánica, si una partícula está en una posición cualquiera, su posición después de un tiempo dt, no será otra cosa que la posición en la que está sumada a la velocidad que lleva multiplicada por el tiempo dt que ha transcurrido, luego, la nueva posición, la nueva velocidad y su magnitud se añaden a las listas definidas en el método init. Este método lo único que va a recibir será el tamaño del intervalo de tiempo, es decir, dt, el cual es un número flotante. Un ejemplo de cómo funciona esto es el siguiente:
p1.paso_dt(0.01)
Definimos el tamaño de dt, que deseamos, si luego queremos saber cuál es su nueva posición, esta será:
p1.posicion=(0.03,0.04)
En el archivo hay un ejemplo más complicado que demuestra la funcionalidad del método.
Es necesario revisar si las partículas han chocado con algo a medida que avanza el tiempo. Existen 3 posibles colisiones: muros, esquinas y otras partículas. Para los métodos de colision con muros y esquinas se requiere de las dimensiones Lx (longitud) y Ly (alto) de la caja, retorna verdadero si detecta un choque con la esquina o muro y falso en caso contrario. Siguiendo con nuestro ejemplo, estos atributos se llaman de esta manera
p1.ver_colision_esquina(lx,ly)
p1.ver_colision_muro(lx,ly)
También tenemos el método que revisa colisiones con otras partículas, en este caso el método revisa una condición que relaciona la distancia entre la posición de dos partículas, si la distancia es menor o igual a cierta distancia definida en la condición, se tendrá que las partículas chocaron y el método retornará un verdadero, de lo contrario retornará un falso, este método funciona así:
p2=Particula((0,0.5),(3,4),2,0.5)
p1.ver_colision_pp(p2)
Así se revisa si las partículas colisionaron
Estos métodos lo que hacen es, actualizar las velocidades de las partículas una vez colisionaron con algo, estos métodos funcionan revisando el valor booleano de los métodos anteriores que solo revisaban si había sucedido un choque, y con base a ese valor se activan o no. Para los choques con los muros se actualizan las velocidades de tal manera que estas nuevas velocidades sean un reflejo de la velocidad con la que chocaron inicialmente, en el caso del choque con una esquina la velocidad se actualiza invirtiendo el vector velocidad completamente, y finalmente para el caso de los choques entre partículas, las velocidades de cada partícula se actualizan siguiendo un modelo de colisiones completamente elásticas en dos dimensiones, el cual se puede encontrar en la bibliografía y el código ilustra bastante bien, para llamar esos métodos, se realiza lo siguiente:
Resolver colision esquina:
p1.resolver_colision_esquina
No recibe ningún parámetro.
Resolver colision muro:
p1.resolver_colision_muro(lx,ly)
Recibe las dimensiones de la caja.
resolver colsión con otra partícula:
p1.resolver_colision_particula(p2)
Recibe como parámetro la partícula con la que se quiere resolver el choque.
Una vez creada la clase con los métodos necesarios, se construye la parte más importante del proyecto, y es la simulación del gas ideal completo, para esto se define una función generadora, cuya tarea es generar el estado inicial del gas con los parámetros requeridos como el número de partículas, el tamaño del recipiente, el rango de velocidades en las que va a comenzar a moverse cada partícula, la masa y el radio de cada una, esto se realiza usando las funciones del módulo random de python, simplemente se crean N partículas en posiciones y velocidades aleatorias dentro del rango de las dimensiones de la caja y el rango de velocidades que recibe la función como parámetro respectivamente. Luego, se define la función simuladora, la cual se encarga de hacer que el estado inicial del sistema comience a evolucionar, esto se puede apreciar de mejor majera en el código de la simulación, sin emabrgo, a grandes rasgos lo que se hace es iterar sobre la lista que nos proporciona la función generadora, y hacer que se ejecuten los métodos definidos en la clase, como lo son los que registran y resuleven los choques entre partículas y con las paredes, todo eso mientras se avanza en el tiempo de cada partícula usando el método paso_dt, esta fuinción simuladora, aparte de recibir como parámetros los mismos parámetros de la función generadora, también recibe el número de pasos que se quiere que de el sistema, claramente entre más pasos se den mejores serán los resultados estadísticos que se verán después. Finalmente, la función simuladora retornará una tupla de listas en la que la primera contendrá la historia de las posiciones de cada partícula en cada paso, y la segunda contendrá la historia de las velocidades de cada partícula en cada paso.
Como paso final en la simulación es momento de comprobar que efectivamente nuestro sistema programado se ajusta a los modelos teóricos que se tienen planteados en la teoría cinética de los gases, para esto lo que se busca es comparar la distribución de la velocidades de las mpartículas en el gas simulado, con la distribución de las velocidades que predice la función de densidad de Maxwell-Boltzman. Primordialmente lo que se busca es construir un histograma que nos muestre las distribuciones de las velocidades (en módulo) a cada paso que se da en la simulación, y superponer dicho histograma con la distribución de velocidades que predice la función de Maxwell-Boltzman, la cual se construye a partir de una nueva función construida llamada "funcion temperatura" esta función se encarga de calcular el producto de la temperatura del gas con la constante de Boltzman, esto se realiza a partir de la lista proporcionada por la fuinción simuladora, la función de densidad de probabilidad de Maxwell-Boltzman viene dada por:
F(v)=(m*v)/(kT)*exp(-1*(m*v**2)(2*kT))
m:Masa de las partículas
v:velocidades
kT:Producto de la constante de Boltzman y la temperatura
Nótese que esta es una función de densidad de probabilidad cuya variable aleatoria es la velocidad de las partículas. Como ya se explicó la cantidad KT se extrae de la función temperatura y los valores de v se extraen de los mismos parámetros de la simulación. Para la realización del histograma y de la gráfica de la distribución de velocidades se usaron las librerías Scipy y Matplotlip.
Finalmente para completar el proyecto y corroborar que efectivamente lo que sucede dentro de nuestro recipiente programado se corresponde aproximadamente con la realidad, se construyó un código capaz de animar cualquier tipo de configuración de los parámetros de la simulación. Para esto se usa la librería Skyimage, concretamente la función circle, la idea general de esta animación es, en primer lugar, de la función simuladora extraer la historia de las posiciones de cada una de la spartículas y con esta información crear un gif compuesto por una gran cantidad de imagenes RGB en las cuales se plasma el estado del sistema para cada diferencial de tiempo, en palabras más sencillas, usando la función circle de Skyimage para pintar en cada frame las posiciones de cada partícula, añadir esa imagen a una lista de imágenes las cuales se descargarían posteriormente para crear un gif con todas esas imágenes.