Возможная ошибка в блоке "Квантовый бит"

[SteveIris]

В последней секции "Правило Борна" написано:
"Значит, чтобы получить вероятность измерения значения $\lambda_i$ эрмитова оператора $\hat{A}$ (которое соответствует собственному вектору $\ket{\Phi_i}$ этого оператора) в состоянии $\ket{\Psi}$, мы должны измерить величину $\bra{\Psi} \hat{P}{\ket{\Phi_i}} \ket{\Psi}$ "
Это противоречит другим источникам, с которыми я сталкивался (см. например лекции Кембриджа, лекция 3, слайд 12 https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/0910/QuantComp/notes.pdf). В действительности мы должны измерять величину $\bra{\Psi} \hat{P}{\ket{\Phi_i}}^\dagger \hat{P}{\ket{\Phi_i}} \ket{\Psi}$ .
Легко убедиться, что написанное в ноутбуке неверно: там приводится пример для гейта pauli_z. Заменив его на pauli_y и проведя те же операции с тем же состоянием, получим, что сумма вероятностей $p_0 + p_1$ не равна единице (и вообще вероятности получатся с ненулевой мнимой частью). Пример из текста сработал по совпадению: в случае pauli_z имеет место $\hat{P}{\ket{\Phi_i}}^\dagger \hat{P}{\ket{\Phi_i}} = \hat{P}{\ket{\Phi_i}}$ для обоих собственных векторов $\Phi_i$

P.S. Не претендую на экспертность. Если не прав, буду рад объяснению

[Randl]

Вероятность измерить для состояния |x> состояние |xi> равна |<x|xi>|^2 = <x|xi><xi|x> = <x|Pxi|x>.

[SteveIris]

Хорошо, считаю вероятность измерить для состояния ( 1/sqrt(2), 1/sqrt(2) ) = \ket{+} собственные состояния pauli_y:

pauli_y = np.array([[0 + 0j, 0 - 1j], [0 + 1j, 0 + 0j]])
h = 1 / np.sqrt(2) * np.array([
    [1 + 0j, 1 + 0j],
    [1 + 0j, 0j - 1]
])
basis_0 = np.array([1 + 0j, 0 + 0j]).reshape((2, 1))
eigenvectors = np.linalg.eig(pauli_y)[1]

super_position = h @ basis_0

proj_0 = eigenvectors[0].reshape((-1, 1)) @ eigenvectors[0].reshape((1, -1))
proj_1 = eigenvectors[1].reshape((-1, 1)) @ eigenvectors[1].reshape((1, -1))

p_0 = super_position.conj().T @ proj_0 @ super_position
p_1 = super_position.conj().T @ proj_1 @ super_position
print(p_0, p_1)

Вывод:
[[8.32667268e-17-0.5j]] [[8.32667268e-17-0.5j]]

Вероятности получились с мнимыми частями. Где я ошибся?

[Randl]

Возможно, запутало то, что в целом измерения в квантовой механике необязательно проективные. Действительно, в общем случае используются "операторы измерения", и тогда вероятность задана <x|M†M|x> для оператора измерения M. В случае проективных измерений, как у нас P†P=P^2=P. Подробнее об этом можно почитать например у Прескилла в третьей главе.

[Randl]

@SteveIris в том что бра не только транспонированный, но и комплексно-сопряженный.

proj_0 = eigenvectors[0].reshape((-1, 1)).conj() @ eigenvectors[0].reshape((1, -1))
proj_1 = eigenvectors[1].reshape((-1, 1)).conj() @ eigenvectors[1].reshape((1, -1))

Sanity check:

np.allclose(proj_0@proj_0,proj_0)
Out[11]: True

[SteveIris]

Спасибо большое!