TP7.ipynb

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    "# Programmation Python"
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    "[**Paul Liautaud**](https://perso.lpsm.paris/~liautaud) à [Sorbonne Université](http://www.sorbonne-universite.fr/)"
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    "# Probabilités discrètes et simulations"
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    "<div id=\"ch:proba-stats\"></div>\n",
    "\n",
    "Introduction et simulation de modèles probabilistes.\n",
    "\n",
    "> **Concepts abordés:**\n",
    ">* statistiques et probabilités\n",
    ">* simulation de lois discrètes avec les commandes `numpy.random`\n",
    ">* simulation à partir d'une loi uniforme `random`\n",
    ">* série harmonique aléatoire\n",
    ">* histogrammes"
   ]
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    "# 1. Simulations de v.a. discrètes avec `numpy` ou la fonction `random`"
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    "## Exercice 1.1"
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    "## Exercice 1.2"
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    "## Exercice 1.3"
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    "## Exercice 1.4"
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    "# 2. Représentation et analyse graphiques avec `plt.hist()` et `plt.bar()`"
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    "## Exercice 2.1"
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    "## Exercice 2.2"
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    "## Exercice 2.3"
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    "# Exercices Concours"
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    "## Exercice 1 - Lancer d'une pièce biaisée\n",
    "\n",
    "On considère une pièce truquée de sorte que le côté \"pile\" apparaît avec la probabilité $p \\in ]0, 1[$. On effectue des lancers jusqu’à obtenir une première fois le côté \"pile\". $X$ étant le nombre de lancers réalisés, on effectue ensuite $X$ nouveaux lancers et on compte le nombre $Y$ de \"pile\" obtenus au cours de cette nouvelle séquence de lancers. <br>\n",
    "\n",
    "**1.** Quelle est la loi de $X$ ?"
   ]
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    "**2.** Écrire une fonction `X(p)` qui simule $X$ et qui prend comme argument la probabilité $p$ d'obtenir \"pile\"."
   ]
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    "def X(p) :\n",
    "    ..."
   ]
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    "**3.** Écrire une fonction `simul(p)` qui simule $Y$."
   ]
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   "def simul(p) :\n",
    "    ..."
   ]
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    "**4.** À partir d’un échantillon de $10 000$ simulations de $Y$ (vous testerez pour plusieurs valeurs de $p$), représenter graphiquement la suite $(\\bar y_n)_{1\\leq n \\leq 10000}$ de terme général $$\\bar y_n = \\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^n y_k$$\n",
    "où $y_1, . . . , y_{10000}$ sont les valeurs de l’échantillon.  Que pouvez-vous en conclure ?"
   ]
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    "## Exercice  2 - Série harmonique de signe aléatoire"
   ]
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   "source": [
    "\n",
    "\n",
    "Le but de cet exercice est de simuler la convergence d'une série harmonique donc le signe est tiré aléatoirement. Plus précisément si $(X_i)_{i\\in\\mathbb{N}}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes valant $-1$ ou $1$ avec probabilité $\\frac{1}{2}$, alors on définit la somme partielle:"
   ]
  },
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   "source": [
    "$$\n",
    "W_0 = 0 \\,, \\qquad\\qquad W_n = \\sum_{i=1}^n \\frac{X_i}{i} \\,,\n",
    "$$"
   ]
  },
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    "et la question est de déterminer si la suite $(W_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ converge et si oui vers quoi.\n",
    "\n",
    "**a)**\n",
    "Écrire une fonction `sign()` qui simule la variable aléatoire $X_i$.\n",
    "\n"
   ]
  },
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    "\n",
    "**b)**\n",
    "Écrire une fonction `simulate(n)` qui retourne une liste avec une réalisation de $(W_1,W_2,\\dots,W_n)$.\n",
    "\n"
   ]
  },
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    "\n",
    "**c)**\n",
    "Faire la représentation graphique de la fonction $n \\mapsto W_n$ pour différentes réalisations par exemple pour $0\\leq n\\leq 1 000$ et émettre une conjecture quant à la convergence de la suite $(W_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$.\n",
    "\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "\n",
    "**d)**\n",
    "<span style=\"color:red\">!</span>\n",
    "Déterminer l'histogramme de $W_{1 000}$ pour $10^4$ ou $10^5$ réalisations pour avoir une idée de la loi de la variable aléatoire limite.\n",
    "\n"
   ]
  }
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