TP6-B.ipynb

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    "# Programmation Python"
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    "[**Paul Liautaud**](https://perso.lpsm.paris/~liautaud) à [Sorbonne Université](http://www.sorbonne-universite.fr/)"
   ]
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    "# Algèbre Linéaire 2 - Objectif Concours"
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    "<div id=\"ch:algebre\"></div>\n",
    "\n",
    "Ce TP permet de faire un résumé des outils essentiels au traitement de problèmes classiques en *Algèbre Linéaire*.\n",
    "\n",
    ">**Concepts abordés:**\n",
    ">* Manipulations de vecteurs et matrices à l'aide de Numpy \n",
    ">* Module `linalg` de Numpy\n",
    ">* Résolution de systèmes par pivot de Gauss, rang d'un.e sytème/matrice\n",
    ">* Réduction d'endomorphismes : notions de spectre, valeurs et vecteurs propres"
   ]
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    "# Exercice 1"
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    "Sans rentrer les coefficients un à un, déclarer les matrices suivantes à l'aide de Numpy : $$A = \\begin{pmatrix} 5 &3 &3 \\\\ 3& 5 & 3 \\\\ 3 &3 &5\\end{pmatrix}, \\quad B= \\begin{pmatrix} 1 &0 &0 & 0\\\\ 0 &1 &0 & 0\\\\0 &0 &1 & 0\\\\0 &0 &0 & 1\\end{pmatrix}.$$"
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    "# Exercice 2"
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    "Que vaut le produit d'un vecteur colonne $\\begin{pmatrix} a_1 \\\\ \\vdots \\\\ a_n\\end{pmatrix}$ par le vecteur ligne $\\begin{pmatrix} 1 & \\cdots & 1 \\end{pmatrix}$ ?\n",
    "\n",
    "En déduire une ligne de commande qui crée la matrice $$M = \\begin{pmatrix} 1 &1 & \\cdots & 1\\\\ 2 &2 & \\cdots & 2 \\\\ \\vdots & \\vdots & &\\vdots \\\\ 10 &10 & \\cdots & 10 \\end{pmatrix} \\in \\mathcal M_{10}(\\mathbb R).$$"
   ]
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    "# Exercice 3\n",
    "\n",
    "**1.** On définit la matrice $A = \\begin{pmatrix} 1& 1& 2& 0 \\\\ 1 & -1 & 0 & -2 \\\\ 0& 1& 1& 1 \\\\ 1& 0& 1& -1\\end{pmatrix}$.\n",
    "\n",
    "**1.a)** Déclarer la matrice $A$.\n",
    "\n",
    "**1.b)** Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss à l'aide de Python (on effectuera chacune des opérations élémentaires dans le script). En déduire le rang.\n",
    "\n",
    "**1.c)** Vérifier votre résultat à l'aide de la fonction `matrix_rank` du module `linalg`."
   ]
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    "**2.** On considère à présent la matrice $B = \\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\\\ 1 &-1 &1 \\\\ 1 &0 &1\\end{pmatrix}$.\n",
    "\n",
    "**2. a)** Déclarer la matrice $B$. Vérifier que $B$ est inversible et calculer son inverse à l'aide de Python.\n",
    "\n",
    "**2. b)** Résoudre à l'aide de Python le système $$\\begin{cases}x+y &= 1 \\\\ x-y+z &=3 \\\\ x+z &= -2\\end{cases}.$$"
   ]
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    "# Problème (d'après HEC)"
   ]
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    "## Quesitons préliminaires\n",
    "\n",
    "On considère une matrice $M \\in \\mathcal M_n(\\mathbb R)$ telle que $M = (m_{ij})_{1 \\leq i,j \\leq n}$. On note alors $f$ l'endomorphisme de $\\mathbb R^n$ canoniquement associé à $M$.\n",
    "\n",
    "*Notations :* $M^\\top$ est la transposée de la matrice $M$, $\\operatorname{Tr}$ désigne la forme linéaire trace appliquable à une matrice de $\\mathcal{M}_n (\\mathbb R)$.\n",
    "\n",
    "**1.** On suppose que chaque ligne de la matrice $M$ somme à $1$. Que peut-on alors en déduire sur les valeurs propres de $f$ ?\n",
    "\n",
    "**2.** On suppose ensuite que la somme des coefficients de chaque colonne de $M$ est égale à $1$. Montrer alors que $1$ est valeur propre de $f$.\n",
    "\n",
    "**3.** Plus généralement, montrer que les valeurs propres de $M$ sont les mêmes que celles de $M^\\top$ et que les sous-espaces propres associés ont mêmes dimensions.\n",
    "\n",
    "**4.** On suppose que $M$ est diagonalisable, i.e. elle est semblable à une matrice diagonale $D$. Que dire de $\\operatorname{Tr}(M)$ et $\\operatorname{Tr}(D)$ ?\n",
    "\n",
    "**5.** Montrer que si $f$ est diagonalisable et n'admet qu'une seule valeur propre $\\lambda \\in \\mathbb R$, alors $f = \\lambda \\operatorname{Id}$. "
   ]
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    "## Évolution d'une population\n",
    "\n",
    "On considère deux populations distinctes $A$ et $B$ ayant un effectif total de $100 000$ individus. À l'instant $n=1$, on considère que $A$ est peuplée de $30 000$ individus, puis à chaque étape $n\\geq 2$, une partie de la population $A$ est transférée vers $B$, et inversement suivant la règle d'échange donnée dans le programme suivant :"
   ]
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       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
      ]
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   "source": [
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "import numpy as np\n",
    "n = 100\n",
    "A = np.zeros(n)\n",
    "B = np.zeros(n)\n",
    "A[0] = 30000\n",
    "B[0] = 100000 - A[0]\n",
    "for i in range(n-1):\n",
    "    A[i+1] = 0.85 * A[i] + 0.1 * B[i]\n",
    "    B[i+1] = 0.15 * A[i] + 0.9 * B[i]\n",
    "\n",
    "x = range(1,n+1)\n",
    "plt.scatter(x, A, color='b', marker='o')\n",
    "plt.title('Évolution de la population A au cours des 100 premières étapes');"
   ]
  },
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   "source": [
    "**Question :** Commenter le script et l'allure de la courbe représentée ci-dessus. Compléter le script pour afficher lévolution de la population $B$. \n",
    "\n",
    "<br> On va maintenant démontrer le résultat conjecturé."
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "### Expression matricielle du problème\n",
    "\n",
    "On note alors $X_n = \\begin{pmatrix} a_n \\\\ b_n \\end{pmatrix}$, où $a_n$ et $b_n$ sont respectivement le nombre d'individus occupant la population $A$ et $B$ à chaque instant $n \\geq 1$.\n",
    "\n",
    "**1.** Donner $X_1$, puis déterminer une matrice $M \\in \\mathcal{M}_2(\\mathbb R)$ telle que $$\\forall n\\geq 1, X_{n+1} = MX_n.$$\n",
    "**2.** En déduire une relation de récurrence explicite sur $(X_n)$ en fonction de $M$ et $X_1$.\n",
    "\n",
    "**3.** On suppose que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ admettent des limites finies respectivement notées $a_\\infty$ et $b_\\infty$. <br>\n",
    "    **a)** On note alors $X_\\infty = \\begin{pmatrix} a_\\infty \\\\ b_\\infty \\end{pmatrix}$. Montrer que $X_\\infty$ est nécéssairement un vecteur propre de $M$ pour la valeur propre $1$.<br>\n",
    "    **b)** Déterminer le sous-espace propre de $M$ pour la valeur propre $1$. En déduire les valeurs possibles de $a_\\infty$ et $b_\\infty$.\n",
    "    \n",
    "### Diagonalisation de $M$ et calcul de $M^n$\n",
    "\n",
    "**1.** On note $f$ l'endomorphisme de $\\mathbb R^2$ canoniquement associé à la matrice $M$. Montrer alors que $1$ est une valeur propre de $f$ et donner un élément non nul de $\\operatorname{Ker}\\left( f - \\operatorname{Id}_{\\mathbb R^2}\\right)$.\n",
    "\n",
    "**2.** Montrer que $f$ admet une autre valeur propre que l'on déterminera.\n",
    "\n",
    "**3.** En déduire une base $\\mathcal B'$ de $\\mathbb R^2$ telle que la matrice $f$ dans cette base soit une matrice diagonale $D$ que l'on explicitera.\n",
    "\n",
    "**4.** Déterminer la matrice $P$ de passage de la base canonique $\\mathcal B$ de $\\mathbb R^2$ vers $\\mathcal B'$.\n",
    "\n",
    "**5.** En utilisant un script Python, calculer $D = P^{-1}MP$."
   ]
  },
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  },
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   "metadata": {},
   "source": [
    "**6.** Montrer que : $$\\forall n \\geq 1, \\quad M^n = PD^nP^{-1}.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Résolution du problème\n",
    "\n",
    "**1.** Montrer que $\\lim_{n \\to +\\infty} M^n$ existe. En déduire $\\lim_{n \\to +\\infty} a_n$ et $\\lim_{n \\to \\infty} b_n$.\n",
    "\n",
    "**2.** Asymptotiquement, quelle sera alors la répartition des individus dans chacune des populations ?"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "### Généralisation de l'étude à trois populations\n",
    "\n",
    "On suppose désormais que trois populations $A$, $B$ et $C$ co-existent et évoluent selon la dynamique donnée par : $$\\begin{pmatrix} a_{n+1} \\\\ b_{n+1} \\\\ c_{n+1} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0.1 & 0.5 & 0.3 \\\\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \\\\ 0.7 & 0.2 & 0.6\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} a_{n} \\\\ b_{n} \\\\ c_{n} \\end{pmatrix}.$$\n",
    "\n",
    "Que peut-on penser de $\\lim_{n \\to +\\infty} a_n, \\lim_{n \\to +\\infty} b_n$ et $\\lim_{n \\to +\\infty} c_n$ ?\n",
    "\n",
    "***Hint:*** On pourra utilser la fonction `eig` du module `numpy.linalg`."
   ]
  },
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 "metadata": {
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