TD_description.tex

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% notations
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\begin{document}

\begin{frontmatter}

\title{TD: évaluation du bilan thermique intégral d'un bain de corium à deux couches}

% \author[LMAG]{R.~Le Tellier\corref{contact}}
% \ead{romain.le-tellier@cea.fr}
% \cortext[contact]{contact:}
% 
% \address[LMAG]{CEA, DEN, DTN/SMTA/LMAG, Cadarache \\
%   F-13108 Saint Paul-lez-Durance, France}
  
\begin{abstracts}
\selectlanguage{french}
\begin{abstract}[french]
%   Resum\'e en fran\c{c}ais
Dans ce TD, on se propose d'évaluer, à partir des hypothèses et fermetures classiquement utilisées dans les codes de calculs, la répartition de la puissance et du flux de chaleur aux interfaces d'un bain de corium dans une configuration stationnaire à deux couches: une phase oxyde qui porte toute la puissance résiduelle en-dessous d'une phase métallique. La phase oxyde est entourée d'une croûte réfractaire tandis que la phase métallique est en contact direct avec la paroi de la cuve en fusion. Il s'agit d'une adaptation de la configuration évaluée pour le réacteur AP1000 \cite{Esmaili2004} et reprise dans la série de benchmarks de \cite{Carenini2019}.
Pour faciliter la réalisation de ce TD (en particulier, les questions des \Sects{rad}{param} qui ne peuvent pas être traitées analytiquement), il est accompagné de notebooks Jupyter (voir \href{https://mybinder.org/v2/gh/niamorelreillet/ENSE3---TD/master?urlpath=lab}{https://mybinder.org/v2/gh/niamorelreillet/ENSE3---TD/master?urlpath=lab}).
\end{abstract}
% \selectlanguage{english}
% \begin{abstract}
% %   Abstract in English 
% \end{abstract}
\end{abstracts}
  
\end{frontmatter}

\selectlanguage{french}

\section*{Préambule sur Jupyterlab}

Les notebooks Jupyter sont des cahiers électroniques qui, dans le même document, peuvent rassembler du texte, des images, des formules mathématiques et du code informatique exécutable (en l'occurence du python 3). Ils sont manipulables interactivement dans un navigateur web (voir, par exemple, \href{https://python.sdv.univ-paris-diderot.fr/18\_jupyter}{https://python.sdv.univ-paris-diderot.fr/18\_jupyter}). 

Trois notebooks accompagnent ce TD :
\begin{itemize}
 \item \texttt{Very\_short\_python\_tutorial.ipynb}, un très court tutoriel qui montre les quelques fonctionnalités python nécessaires à la réalisation de ce TD ;
 \item \texttt{TD\_template.ipynb}, le ``canevas'' du TD à remplir en suivant les questions de l'énoncé ci-dessous;
 \item \texttt{TD.ipynb}, le TD complété \dots à n'ouvrir qu'à la fin bien sûr !
\end{itemize}

\section{Configuration, hypothèses, notations} \label{sect:sci}

La \Fig{2layer} présente la configuration considérée avec les notations associées vis-à-vis des flux de chaleur et des températures d'interface. Le fond de la cuve est hémisphérique de rayon $R=2$m. 

Les hypothèses simplificatrices suivantes seront faites vis-à-vis des couches liquides:
\begin{itemize}
 \item leur composition est uniforme;
 \item les fluides sont traités de manière incompressible sous l'hypothèse de Boussinesq;
 \item leur propriétés thermophysiques (hormis la masse volumique dans la flottabilité) ne dépendent pas de la température et sont données au \Tab{prop}.
\end{itemize}

Les hypothèses simplificatrices suivantes seront faites vis-à-vis de la croûte réfractaire entourant le bain oxyde:
\begin{itemize}
 \item sa composition est uniforme (et correspond à celle du solide formé à l'équilibre thermodynamique à la température de liquidus du liquide);
 \item sa masse sera négligée vis-à-vis de celle du liquide;
 \item la puissance volumique associée est considérée nulle;
 \item la conduction est considérée comme unidimensionnelle ``plan''.
\end{itemize}

\Q{A partir des hypothèses précédentes, que pouvez-vous dire de $\phi_{up}^{ox}$ et $\phi_{met}^{dwn}$? Que cela implique-t-il pour la résolution du bilan thermique de ce bain à deux couches?}

\begin{figure}[H]
  \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{Figures/TD_2layer.eps}
  \caption{Configuration à deux couches et notations des flux et températures} \label{fig:2layer}
\end{figure}

\begin{table}[H]
  \caption{Propriétés des deux phases liquides} \label{tab:prop}
  \centering \begin{tabularx}{0.9\textwidth}{|l|R|R|R|} \hline
  \multicolumn{1}{|c|}{\multirow{2}{*}{Propriété}} & \multicolumn{1}{c|}{\multirow{2}{*}{Unité}} & \multicolumn{2}{c|}{Valeur} \n
  & & \multicolumn{1}{c|}{Oxyde} & \multicolumn{1}{c|}{Métal} \n \hline
  masse volumique & kg.m$^{-3}$ & 8191 & 6899 \n
  conductivité thermique & W.m$^{-1}$.K$^{-1}$ & 5.3 & 25 \n
  viscosité cinématique & m$^2$s.$^{-1}$ & 5.7$\times$10$^{-7}$ & 5.9$\times$10$^{-7}$ \n
  capacité calorifique massique & J.K$^{-1}$.kg$^{-1}$ & 533 & 789.5 \n
  coefficient de dilatation thermique isobare & K$^{-1}$ & 1.05$\times$10$^{-4}$ & 1.11$\times$10$^{-4}$ \n
  température de liquidus & K & 2950 & 1600 \n
  puissance dissipée dans le volume & MW & 14 & 0 \n \hline
  \end{tabularx}
\end{table}

\section{Bain oxyde}

Le bain oxyde occupe une hauteur $H^{ox}=1.5$m dans le fond de la cuve.

On cherche à calculer la température moyenne et la distribution de puissance entre surfaces latérale et supérieure à partir de l'équation d'énergie intégrale en stationnaire.

\Q{Calculer le volume \(V^{ox}\), la surface latérale \(S_{lat}^{ox}\) et la surface supérieure \(S_{up}^{ox}\)}
\Q{Calculer le nombre de Rayleigh interne \(Ra_i^{ox}\)}
\Q{Calculer le nombre de Nusselt associé à l'échange latéral \(Nu^{ox}_{lat}\) à partir de la corrélation ``BALI bas'' (\textit{cf.} \cite{Bonnet1999}) \(Nu^{ox}_{lat}=0.131\left(Ra_i^{ox}\right)^{0.25}\left(\frac{H^{ox}}{R}\right)^{0.19}\)}
\Q{Calculer le nombre de Nusselt associé à l'échange supérieur \(Nu^{ox}_{up}\) à partir de la corrélation ``BALI haut'' (\textit{cf.} \cite{Bonnet1999}) \(Nu^{ox}_{up}=0.381\left(Ra_i^{ox}\right)^{0.234}\)}
\Q{Calculer \(T^{ox}\)}
\Q{Calculer \(\phi_{lat}^{ox}\) et \(\phi_{up}^{ox}\) ainsi que la répartition de la puissance}

\section{Couche métallique supérieure}

La couche métallique occupe une hauteur $H^{met}=0.9$m dans le fond de la cuve.

\Q{Calculer le nombre de Prandtl \(Pr^{met}\)}
\Q{Donner l'expression du nombre de Rayliegh externe \(Ra^{met}\left[\Delta T\right]\) et l'évaluer pour \(\Delta T=100\)K. Doit-on s'attendre à un écoulement laminaire ou turbulent?}
\Q{Calculer le volume \(V^{met}\), la surface latérale \(S_{lat}^{met}\) et la surface supérieure \(S_{up}^{met}\)}

On considèrera la corrélation de Globe\&Dropkin \cite{Globe1959} établie pour l'échange axial d’un liquide chauffé par le dessous et confinés entre deux plaques (resp. Chawla\&Chan \cite{Chawla1982} établie pour l'échange d’une paroi verticale immergée dans un fluide) pour le transfert en surface supérieure (resp. latérale):
\begin{quote}
\(Nu^{met}_{up}\left[\Delta T\right]=0.069\left(Pr^{met}\right)^{0.074}\left(Ra^{met}\left[\Delta T\right]\right)^{1/3}\)
\end{quote}
\begin{quote}
\(Nu^{met}_{lat}\left[\Delta T\right]=\frac{0.16}{\left(1+\left(\frac{0.492}{Pr^{met}}\right)^{9/16}\right)^{16/27}}\left(Ra^{met}\left[\Delta T\right]\right)^{1/3}\)
\end{quote}

\subsection{Condition adiabatique en surface supérieure}

Considérons d'abord une condition adiabatique en surface haute \textit{i.e.} \(\phi^{BC}_{up}=0\).

\Q{Calculer \(\phi_{lat}^{met}\)}
\Q{Calculer \(T^{met}\)}
 
\subsection{Condition de transfert radiatif en surface supérieure} \label{sect:rad}

Considérons maintenant un transfert radiatif en surface haute sous la forme simple suivante \(\phi^{BC}_{up}\left[T^{met}_{up}\right]=\varepsilon_{up}\sigma\left(\left(T^{met}_{up}\right)^4-\left(T^{BC}\right)^4\right)\)
où \(\varepsilon_{up}\) est une émissivité ``effective''.\footnote{e.g. pour un transfert entre deux plaques parallèles, \(\varepsilon_{up}=\left(\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}-1\right)^{-1}\)}

La résolution ne peut plus se faire de manière analytique.

\Q{Formaliser le problème à résoudre (deux équations, deux inconnues \(\left(T^{met},T_{up}^{met}\right)\)) et décrire l'algorithme que vous implémenteriez pour en trouver la solution}

\begin{remark} Pour la suite, l'accès aux notebooks Jupyter associé à ce TD est indispensable. Si ça n'est pas possible, une démonstration d'une telle résolution numérique sera faite et les résultats discutés. \end{remark}

\Q{En considérant $\varepsilon_{up} = 0.38$ et $T^{BC}=950$K, évaluer \(T^{met}\), \(T_{up}^{met}\), \(\phi_{lat}^{met}\) et \(\phi_{up}^{met}\)}

\subsection{Etudes paramétriques} \label{sect:param}

En considérant le cas avec transfert radiatif, on peut faire varier $\varepsilon_{up}$, $T^{BC}$ dans un premier temps, $H^{met}$ dans un second temps pour voir comment ça se comporte.

\section*{Références}

\bibliography{../../References/lma-jabref.bib}

\end{document}