Guia_LaTeX_2.ipynb

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    "# Guía de LaTeX: Segunda Parte"
   ]
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    "## Índice"
   ]
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   "source": [
    "* [Subrayado, apilamiento y órdenes afines](#Subrayado,-apilamiento-y-órdenes-afines)\n",
    "* [Tipos de letra](#Tipos-de-letra)\n",
    "* [Cuadros y matrices](#Cuadros-y-matrices)\n",
    "* [Fórmulas multilínea](#Fórmulas-multilínea)"
   ]
  },
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   "source": [
    "## Subrayado, apilamiento y órdenes afines\n",
    "\n",
    "Para subrayar una expresión con una línea o una flecha, o para colocar\n",
    "éstas por encima de la expresión, se cuenta con las órdenes\n",
    "siguientes:\n",
    "\n",
    "$$\\newcommand{\\simb}[1]{ #1 & \\textsf{#1}}\n",
    "   \\begin{array}{ll:ll}\n",
    "      \\simb{\\overline{xyz}}            & \\simb{\\overbrace{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\simb{\\underline{xyz}}           & \\simb{\\underbrace{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\simb{\\overleftarrow{xyz}}       & \\simb{\\overrightarrow{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\simb{\\underleftarrow{xyz}}      & \\simb{\\underrightarrow{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\simb{\\underleftrightarrow{xyz}} & \\simb{\\overleftrightarrow{xyz}}\n",
    "   \\end{array}\n",
    "$$\n",
    "También se dispone de órdenes para situar expresiones por encima o\n",
    "debajo de flechas o para apilar símbolos o expresiones:\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{array}{ll:ll}\n",
    "      \\simb{\\xleftarrow[uvw]{xyz}} & \\simb{\\xrightarrow[uvw]{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\simb{\\underset{uvw}{xyz}} & \\simb{\\overset{uvw}{xyz}} \\\\[0.5em]\n",
    "      \\substack{abc \\\\ def \\\\ \\ldots \\\\ xyz}\n",
    "      & \\mathsf{\\backslash substack\\{abc \\backslash\\backslash def \n",
    "      \\backslash\\backslash ... \\backslash \\backslash xyz\\}} \n",
    "   \\end{array}\n",
    "$$\n",
    "Las flechas que generan `xleftarrow` y `xrightarrow` son extensibles y se\n",
    "adaptan a la longitud de la expresión que se coloque encima o debajo\n",
    "de ellas. \n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\frac{123456789}{\\underbrace{9999}_{\\text{4 veces}}00} \n",
    "   = 123.46\\underbrace{\\overline{9135}}_{\\text{4 cifras}}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\frac{123456789}{\\underbrace{9999}_{\\text{4 veces}}00} \n",
    "   = 123.46\\underbrace{\\overline{9135}}_{\\text{4 cifras}}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   L(x) \\overset{\\mathrm{def}}{=}  \\sum_{i=1}^n f(x_i) \n",
    "   \\prod_{\\substack{i=1 \\\\ i\\ne j}}^n \\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   L(x) \\overset{\\mathrm{def}}{=}  \\sum_{i=1}^n f(x_i) \n",
    "   \\prod_{\\substack{i=1 \\\\ i\\ne j}}^n \\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   f(x) \\xrightarrow[x\\to x_0]{} f(x_0)\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   f(x) \\xrightarrow[x\\to x_0]{} f(x_0)\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "<div style=\"text-align:right\">\n",
    "<a href=#Índice\n",
    "   style=\"padding:0.5em;background:#7d5d3b;color:#ffffff;text-decoration:none;\n",
    "          border:1px solid #54381e;border-radius:5px;\">Volver al índice</a>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "## Tipos de letra\n",
    "\n",
    "En modo matemático, los caracteres alfabéticos se escriben en una letra cursiva específica. Se dispone además de varias órdenes para usar otros tipos de letra, que condensamos en el cuadro siguiente:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\newcommand{\\TipoLetra}[2]{\\hline \\textsf{#1} & \\text{#2} \n",
    "& #1{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ} \\\\\n",
    "& #1{0123456789} & #1{abcdefghijklmnopqrtuvwxyz}  \\\\}\n",
    "\\begin{array}{llll}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathrm}{redonda}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathsf}{paloseco}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathtt}{monoespaciada}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathit}{cursiva}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathbf}{negrita}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathcal}{caligráfica}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathscr}{Euler script}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathbb}{blackboard}\n",
    "   \\TipoLetra{\\mathfrak}{Euler Fraktur}\n",
    "   \\TipoLetra{\\boldsymbol}{negrita}\n",
    "   & \\boldsymbol{\\forall\\aleph\\exists\\ell\\in\\leq\\simeq=\\Rightarrow\\hookrightarrow}\n",
    "   & \\boldsymbol{\\Gamma\\Delta\\Theta\\Lambda\\Xi\\Pi\\Sigma\\Upsilon\\Phi\\Psi\\Omega%\n",
    "                 \\alpha\\beta\\gamma\\delta\\epsilon\\zeta\\eta\\theta\\iota\\kappa%\n",
    "        \\lambda\\mu\\nu\\xi\\pi\\rho\\sigma\\tau\\upsilon\\phi\\chi\\psi\\omega} \\\\\n",
    "   \\hline\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Todas las órdenes mencionadas tienen un único argumento obligatorio, que es el texto al que afectan y que se procesa en modo matemático. La orden `\\boldsymbol` es la única que admite todo tipo de caracteres. Obsérvese que, al aplicar esta orden a caracteres latinos, resulta letra negrita cursiva, mientras que `\\mathbf` produce negrita redonda. Por ejemplo, para obtener \n",
    "$\\boldsymbol{\\nabla} \\mathbf{f} \\times \\mathbf{M} = \\boldsymbol{\\Omega} + \\boldsymbol{M}_0$\n",
    "basta con escribir\n",
    "```\n",
    "$\\boldsymbol{\\nabla} \\mathbf{f} \\times \\mathbf{M} = \\boldsymbol{\\Omega} + \\boldsymbol{M}_0$\n",
    "```\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\mathbf{v}_\\mathsf{media} \n",
    "   = \\frac{\\mathbf{x}_\\mathsf{fin}-\\mathbf{x}_\\mathsf{ini}}{t_\\mathsf{fin}-t_\\mathsf{ini}}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\mathbf{v}_\\mathsf{media} \n",
    "   = \\frac{\\mathbf{x}_\\mathsf{fin}-\\mathbf{x}_\\mathsf{ini}}{t_\\mathsf{fin}-t_\\mathsf{ini}}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "La *ley de gravitación universal* establece que dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$, \n",
    "separados una distancia $r$, se atraen con una fuerza $F$ cuyo valor es\n",
    "$$\n",
    "  F = G \\frac{m_1 m_2}{r^2},\n",
    "$$\n",
    "donde $G=6.674\\cdot 10^{-11}\\,\\mathrm{N\\,m^2/kg^2}$ es la llamada *constante gravitatoria*. \n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "La *ley de gravitación universal* establece que dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$, \n",
    "separados una distancia $r$, se atraen con una fuerza $F$ cuyo valor es\n",
    "$$\n",
    "  F = G \\frac{m_1 m_2}{r^2},\n",
    "$$\n",
    "donde $G=6.674\\cdot 10^{-11}\\,\\mathrm{N\\,m^2/kg^2}$ es la llamada *constante gravitatoria universal*. \n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "Cabe señalar, para concluir, que se dispone también de la orden `\\text`. A diferencia de las órdenes anteriores, su argumento no se procesa en modo matemático, por lo que resulta adecuada para intercalar alguna frase en medio de una expresión.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   a_n\\overset{\\mathrm{def}}{=}\n",
    "   \\begin{cases}\n",
    "      n^2+1, & \\text{si $n$ es par},\\\\\n",
    "      2n-3,  & \\text{en otro caso}.\n",
    "   \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   a_n\\overset{\\mathrm{def}}{=}\n",
    "   \\begin{cases}\n",
    "      n^2+1, & \\text{si $n$ es par},\\\\\n",
    "      2n-3,  & \\text{en otro caso}.\n",
    "   \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "<div style=\"text-align:right\">\n",
    "<a href=#Índice\n",
    "   style=\"padding:0.5em;background:#7d5d3b;color:#ffffff;text-decoration:none;\n",
    "          border:1px solid #54381e;border-radius:5px;\">Volver al índice</a>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
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   "source": [
    "## Cuadros y matrices\n",
    "\n",
    "Los cuadros y matrices se construyen fundamentalmente con el entorno `array`, el entorno `matrix` o una de sus variantes. \n",
    "\n",
    "El entorno `array` tiene la siguiente sintaxis:\n",
    "```\n",
    "\\begin{array}{descriptores}\n",
    "  celda 11 & celda 12 & ... & celda 1n \\\\\n",
    "  celda 21 & celda 22 & ... & celda 2n \\\\\n",
    "  ...      & ...      & ... & ...      \\\\\n",
    "  celda m1 & celda m2 & ... & celda mn\n",
    "\\end{array}\n",
    "```\n",
    "\n",
    "En el argumento `descriptores` se pone una de las letras siguientes por cada columna para indicar su alineación: `l` (*left*, columna alineada a izquierda), `c` (*center*, columna centrada), `r`(*right*, columna alineada a derecha). Se pueden añadir también los símbolos `|` y `:` para marcar los puntos en los que se quiera insertar una línea vertical. Las órdenes `\\hline` y `\\hdashline`, puestas al principio o tras la orden `\\\\` que cierra cada fila, añaden una línea horizontal (sólida o de trazos, respectivamente). El carácter `&` marca la separación entre dos celdas consecutivas; si entre dos de estos caracteres no hay nada, se interpreta que la celda correspondiente está vacía.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "El cuadro siguiente muestra los valores de las temperaturas en Pamplona a lo largo\n",
    "del año, expresadas en ºC, así como las precipitaciones mensuales, medidas en mm:\n",
    "$$\n",
    "  \\begin{array}{l|c:c:c|c}\n",
    "     \\hline\n",
    "     \\smash{\\lower{0.7em}{\\text{Mes}}} &  & \\text{Temperaturas} &  \n",
    "        & \\smash{\\lower{0.7em}{\\text{Precipitaciones}}} \\\\\n",
    "     \\text{enero}      &  1.2 &  5   & 8.9  & 63 \\\\\n",
    "     \\text{febrero}    &  1.9 &  6.5 & 11.1 & 52 \\\\\n",
    "     \\text{marzo}      &  3.3 &  8.6 & 14   & 52 \\\\\n",
    "     \\text{abril}      &  4.9 & 10.2 & 15.5 & 77 \\\\\n",
    "     \\text{mayo}       &  8.2 & 14   & 19.8 & 74 \\\\\n",
    "     \\text{junio}      & 11.2 & 17.5 & 23.9 & 47 \\\\\n",
    "     \\text{julio}      & 13.7 & 20.7 & 27.6 & 40 \\\\\n",
    "     \\text{agosto}     & 14   & 20.9 & 27.8 & 43 \\\\\n",
    "     \\text{septiembre} & 11.7 & 18   & 24.4 & 43 \\\\\n",
    "     \\text{octubre}    &  8.4 & 13.6 & 18.7 & 74 \\\\\n",
    "     \\text{noviembre}  &  4.3 &  8.6 & 12.8 & 80 \\\\\n",
    "     \\text{diciembre}  &  2.4 &  6   &  9.7 & 75 \\\\\n",
    "     \\hline\n",
    "   \\end{array}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "El cuadro siguiente muestra los valores de las temperaturas en Pamplona a lo largo\n",
    "del año, expresadas en ºC, así como las precipitaciones mensuales, medidas en mm:\n",
    "$$\n",
    "  \\begin{array}{l|c:c:c|c}\n",
    "     \\hline\n",
    "     \\smash{\\lower{0.7em}{\\text{Mes}}} &  & \\text{Temperaturas} &  \n",
    "        & \\smash{\\lower{0.7em}{\\text{Precipitaciones}}} \\\\\n",
    "        & \\text{mínima} & \\text{media} & \\text{máxima} &  \\\\ \\hline\n",
    "     \\text{enero}      &  1.2 &  5   & 8.9  & 63 \\\\\n",
    "     \\text{febrero}    &  1.9 &  6.5 & 11.1 & 52 \\\\\n",
    "     \\text{marzo}      &  3.3 &  8.6 & 14   & 52 \\\\\n",
    "     \\text{abril}      &  4.9 & 10.2 & 15.5 & 77 \\\\ \\hdashline\n",
    "     \\text{mayo}       &  8.2 & 14   & 19.8 & 74 \\\\\n",
    "     \\text{junio}      & 11.2 & 17.5 & 23.9 & 47 \\\\\n",
    "     \\text{julio}      & 13.7 & 20.7 & 27.6 & 40 \\\\\n",
    "     \\text{agosto}     & 14   & 20.9 & 27.8 & 43 \\\\ \\hdashline\n",
    "     \\text{septiembre} & 11.7 & 18   & 24.4 & 43 \\\\\n",
    "     \\text{octubre}    &  8.4 & 13.6 & 18.7 & 74 \\\\\n",
    "     \\text{noviembre}  &  4.3 &  8.6 & 12.8 & 80 \\\\\n",
    "     \\text{diciembre}  &  2.4 &  6   &  9.7 & 75 \\\\\n",
    "     \\hline\n",
    "   \\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "En este último ejemplo se han combinado las órdenes `\\lower` y `\\smash` para centrar verticalmente parte de los títulos de la cabecera del cuadro.\n",
    "\n",
    "A la hora de escribir matrices, hay que añadir los delimitadores antes y después del entorno `array`:\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   M = \\left[\n",
    "   \\begin{array}{lcr}\n",
    "      a       & b       & c      \\\\\n",
    "      a+b     & a+c     & b+a    \\\\\n",
    "      a+b+c   & a+b+c   & a+b+c   \n",
    "   \\end{array}\n",
    "   \\right]\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   M = \\left[\n",
    "   \\begin{array}{lcr}\n",
    "      a       & b       & c      \\\\\n",
    "      a+b     & a+c     & b+a    \\\\\n",
    "      a+b+c   & a+b+c   & a+b+c   \n",
    "   \\end{array}\n",
    "   \\right]\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "El entorno `matrix` equivale, aproximadamente, a un entorno `array` en el que todas las columnas están centradas. Las variantes de este entorno incorporan además un delimitador a cada lado. Tales variantes son `pmatrix`,  `bmatrix`, `Bmatrix`, `vmatrix` y `Vmatrix`, cuyos delimitadores asociados son $(\\ )$,\n",
    "$[\\ ]$,$\\{\\ \\}$, $\\lvert\\ \\rvert$ y $\\lVert\\ \\rVert$. En ninguno de estos entornos hay que especificar el número de columnas, que se detecta automáticamente.\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{matrix}\n",
    "      &&&&&& \\dbinom{0}{0} \\\\\n",
    "      &&&&&  \\dbinom{1}{0} && \\dbinom{1}{1} \\\\\n",
    "      &&&&   \\dbinom{2}{0} && \\dbinom{2}{1} && \\dbinom{2}{2} \\\\\n",
    "      &&&    \\dbinom{3}{0} && \\dbinom{3}{1} && \\dbinom{3}{2} \n",
    "                           && \\dbinom{3}{3} \\\\\n",
    "      &&     \\dbinom{4}{0} && \\dbinom{4}{1} && \\dbinom{4}{2} \n",
    "                           && \\dbinom{4}{3} && \\dbinom{4}{4} \\\\\n",
    "      & \\swarrow &&\\swarrow &&\\swarrow &&\\searrow &&\\searrow &&\\searrow \\\\\n",
    "      \\dbinom{n}{0} && \\dbinom{n}{1} &&\\dbinom{n}{2} &\\ldots &\\ldots &\\ldots &\n",
    "                       \\dbinom{n}{n-2}&& \\dbinom{n}{n-1} &&\\dbinom{n}{n}    \n",
    "   \\end{matrix}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{matrix}\n",
    "      &&&&&& \\dbinom{0}{0} \\\\\n",
    "      &&&&&  \\dbinom{1}{0} && \\dbinom{1}{1} \\\\\n",
    "      &&&&   \\dbinom{2}{0} && \\dbinom{2}{1} && \\dbinom{2}{2} \\\\\n",
    "      &&&    \\dbinom{3}{0} && \\dbinom{3}{1} && \\dbinom{3}{2} \n",
    "                           && \\dbinom{3}{3} \\\\\n",
    "      &&     \\dbinom{4}{0} && \\dbinom{4}{1} && \\dbinom{4}{2} \n",
    "                           && \\dbinom{4}{3} && \\dbinom{4}{4} \\\\\n",
    "      & \\swarrow &&\\swarrow &&\\swarrow &&\\searrow  &&\\searrow &&\\searrow \\\\\n",
    "      \\dbinom{n}{0} && \\dbinom{n}{1} &&\\dbinom{n}{2} &\\ldots &\\ldots &\\ldots &\n",
    "                       \\dbinom{n}{n-2}&& \\dbinom{n}{n-1} &&\\dbinom{n}{n}    \n",
    "   \\end{matrix}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{vmatrix}\n",
    "      1   & 1   & 1    \\\\\n",
    "      x   & y   & z    \\\\\n",
    "      x^2 & y^2 & z^2   \n",
    "   \\end{vmatrix}\n",
    "   =(x-y)(y-z)(z-x)\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{vmatrix}\n",
    "      1   & 1   & 1    \\\\\n",
    "      x   & y   & z    \\\\\n",
    "      x^2 & y^2 & z^2   \n",
    "   \\end{vmatrix}\n",
    "   =(x-y)(y-z)(z-x)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{pmatrix}\n",
    "      a_1    & b_1    & 0       & \\cdots  & 0       \\\\\n",
    "      c_2    & a_2    & b_2     &         & \\vdots  \\\\\n",
    "      0      & \\ddots & \\ddots  & \\ddots  & 0       \\\\   \n",
    "      \\vdots &        & c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} \\\\\n",
    "      0      & \\cdots & 0       & c_n     & a_n\n",
    "   \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\begin{pmatrix}\n",
    "      a_1    & b_1    & 0       & \\cdots  & 0       \\\\\n",
    "      c_2    & a_2    & b_2     &         & \\vdots  \\\\\n",
    "      0      & \\ddots & \\ddots  & \\ddots  & 0       \\\\   \n",
    "      \\vdots &        & c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} \\\\\n",
    "      0      & \\cdots & 0       & c_n     & a_n\n",
    "   \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\newcommand{\\Dfx}[2]{\\dfrac{\\partial f_{#1}}{\\partial x_{#2}}(\\mathbf{x})}\n",
    "   J\\mathbf{f}(\\mathbf{x})=\n",
    "   \\begin{pmatrix}\n",
    "      \\Dfx{1}{1} & \\Dfx{1}{2} & \\ldots & \\Dfx{1}{n} \\\\[2ex]\n",
    "      \\Dfx{2}{1} & \\Dfx{2}{2} & \\ldots & \\Dfx{2}{n} \\\\ \n",
    "      \\ldots     & \\ldots     & \\ldots & \\ldots     \\\\[1ex]\n",
    "      \\Dfx{n}{1} & \\Dfx{n}{2} & \\ldots & \\Dfx{n}{n} \n",
    "   \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\newcommand{\\Dfx}[2]{\\dfrac{\\partial f_{#1}}{\\partial x_{#2}}(\\mathbf{x})}\n",
    "   J\\mathbf{f}(\\mathbf{x})=\n",
    "   \\begin{pmatrix}\n",
    "      \\Dfx{1}{1} & \\Dfx{1}{2} & \\ldots & \\Dfx{1}{n} \\\\[2ex]\n",
    "      \\Dfx{2}{1} & \\Dfx{2}{2} & \\ldots & \\Dfx{2}{n} \\\\ \n",
    "      \\ldots     & \\ldots     & \\ldots & \\ldots     \\\\[1ex]\n",
    "      \\Dfx{n}{1} & \\Dfx{n}{2} & \\ldots & \\Dfx{n}{n} \n",
    "   \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "Mencionemos dos últimos entornos: `smallmatrix` y `cases`. El primero se usa para escribir matrices de tamaño reducido en modo matemático ordinario. El segundo se emplea principalmente a la hora de definir funciones a trozos;\n",
    "se comporta aproximadamente como un entorno `array` de dos columnas alineadas a izquierda y limitado a izquierda por una llave.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "La matriz $\\left( \\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{smallmatrix} \\right)$ \n",
    "es simétrica y definida positiva.\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "La matriz $\\left( \\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{smallmatrix} \\right)$ \n",
    "es simétrica y definida positiva.\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   f(x,y)=\n",
    "   \\begin{cases}\n",
    "     \\dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & \\text{si } (x,y)\\ne(0,0), \\\\\n",
    "      0,                   & \\text{si } (x,y)=(0,0).\n",
    "   \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   f(x,y)=\n",
    "   \\begin{cases}\n",
    "     \\dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & \\text{si } (x,y)\\ne(0,0), \\\\\n",
    "      0,                   & \\text{si } (x,y)=(0,0).\n",
    "   \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<div style=\"text-align:right\">\n",
    "<a href=#Índice\n",
    "   style=\"padding:0.5em;background:#7d5d3b;color:#ffffff;text-decoration:none;\n",
    "          border:1px solid #54381e;border-radius:5px;\">Volver al índice</a>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Fórmulas multilínea\n",
    "\n",
    "Es frecuente tener que escribir fórmulas largas que ocupan dos o más renglones o grupos de\n",
    "fórmulas que hay que presentar conjuntamente, muchas veces alineadas verticalmente. En estos casos se hace preciso utilizar alguno de los entornos que presentaremos en esta sección, a saber, `multline`, `gather`, `align`, `alignat`, `gathered`, `aligned` y `alignedat`. \n",
    "\n",
    "En LaTeX estándar, los cuatro primeros entornos citados numeran todas las ecuaciones que generan. En MathJax, el comportamiento depende de la configuración fijada. En ambos casos, si se quiere evitar la numeración, basta con usar una variante de cada entorno que tiene su mismo nombre, pero acaba en `*`, esto es, `multline*`, `gather*`, `align*` y `alignat*`. \n",
    "\n",
    "\n",
    "### Fórmulas de más de una línea\n",
    "\n",
    "El modo más sencillo de dividir en varios renglones una fórmula larga consiste en incluirla en un entorno `multline` y añadir órdenes `\\\\` en los puntos donde se desee introducir saltos de línea. El primer renglón de la fórmula es ajustado a izquierda, el último, a derecha, y los demás quedan centrados.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\\begin{multline}\n",
    "   (a+b)^n = \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\\\\n",
    "           = \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "             + \\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \\binom{n}{3} a^{n-3} b^3\n",
    "             + \\cdots \\\\\n",
    "             + \\binom{n}{n-3} a^3 b^{n-3} + \\binom{n}{n-2} a^2 b^{n-2}\n",
    "             + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{multline}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "\\begin{multline}\n",
    "   (a+b)^n = \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\\\\n",
    "           = \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "             + \\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \\binom{n}{3} a^{n-3} b^3\n",
    "             + \\cdots \\\\\n",
    "             + \\binom{n}{n-3} a^3 b^{n-3} + \\binom{n}{n-2} a^2 b^{n-2}\n",
    "             + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{multline}\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "En la medida de lo posible, hay que introducir los saltos de línea\n",
    "*justo antes* de una relación u operación binaria, tal como se ha\n",
    "hecho en este ejemplo.\n",
    "\n",
    "Si se desea que los distintos renglones de la fórmula estén alineados verticalmente por un punto determinado, entonces hay que recurrir al entorno `align`. En cada línea se marca el punto de alineación con el carácter `&`. Repetimos el ejemplo precedente para mostrar la diferencia:\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   (a+b)^n = & \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\\\\n",
    "           = & \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "               + \\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \\binom{n}{3} a^{n-3} b^3\n",
    "               + \\cdots \\\\\n",
    "             & + \\binom{n}{n-3} a^3 b^{n-3} + \\binom{n}{n-2} a^2 b^{n-2}\n",
    "               + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{align}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   (a+b)^n = & \\sum_{k=0}^n \\binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\\\\n",
    "           = & \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "               + \\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \\binom{n}{3} a^{n-3} b^3\n",
    "               + \\cdots \\\\\n",
    "             & + \\binom{n}{n-3} a^3 b^{n-3} + \\binom{n}{n-2} a^2 b^{n-2}\n",
    "               + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "### Grupos de fórmulas no alineadas\n",
    "\n",
    "El entorno `gather` se utiliza para escribir conjuntamente varias fórmulas consecutivas que se desea mostrar centradas en renglones independientes.  En cierto sentido es equivalente a presentar las fórmulas, una tras otra, en modo matemático resaltado.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\\begin{gather}\n",
    "   (a+b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \\\\\n",
    "   (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 \\\\\n",
    "   (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4 \\\\\n",
    "   (a+b)^n = \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "                 + \\cdots + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{gather}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "\\begin{gather}\n",
    "   (a+b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \\\\\n",
    "   (a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 \\\\\n",
    "   (a+b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4 \\\\\n",
    "   (a+b)^n = \\binom{n}{0} a^n + \\binom{n}{1} a^{n-1} b\n",
    "                 + \\cdots + \\binom{n}{n-1} a b^{n-1} + \\binom{n}{n} b^n\n",
    "\\end{gather}\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Grupos de fórmulas alineadas\n",
    "\n",
    "Cuando haya que alinear verticalmente un grupo de fórmulas, se vuelve a recurrir al entorno `align`. Conceptualmente, el material del entorno se divide en columnas, separadas por el carácter `&`. A su vez, en cada columna hay que marcar el punto de alineación vertical, lo cual también se hace con el carácter `&`. Por tanto, si hay $n$ columnas, en cada línea deben aparecer $2n-1$ caracteres `&` ($n$ de ellos indican los puntos de alineación, uno por columna, y los otros $n-1$ separan las columnas).\n",
    "\n",
    "En el siguiente ejemplo se muestran dos entornos. Hay una columna en el primero y dos columnas en el segundo.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Fórmulas de adición de ángulos:\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   \\DeclareMathOperator{\\sin}{sen}\n",
    "   \\DeclareMathOperator{\\tan}{tg}\n",
    "   \\sin(\\alpha\\pm\\beta) & = \\sin\\alpha\\cos\\beta \\pm \n",
    "      \\cos\\alpha\\sin\\beta, \\\\\n",
    "   \\cos(\\alpha\\pm\\beta) & = \\cos\\alpha \\cos\\beta \\mp \n",
    "      \\sin\\alpha\\sin\\beta,\\\\\n",
    "   \\tan(\\alpha\\pm\\beta) & = \n",
    "      \\frac{\\tan\\alpha\\pm\\tan\\beta}{1\\mp\\tan\\alpha\\tan\\beta}.\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Fórmulas de los ángulos doble y mitad:\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   \\sin 2\\alpha & = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha, &\n",
    "      \\cos 2\\alpha & = \\cos^2\\alpha-\\sin^2\\alpha, \\\\\n",
    "   \\sin^2 \\alpha & =\\frac{1-\\cos2\\alpha}{2}, &\n",
    "      \\cos^2 \\alpha & =\\frac{1+\\cos2\\alpha}{2}.\n",
    "\\end{align}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "Fórmulas de adición de ángulos:\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   \\DeclareMathOperator{\\sin}{sen}\n",
    "   \\DeclareMathOperator{\\tan}{tg}\n",
    "   \\sin(\\alpha\\pm\\beta) & = \\sin\\alpha\\cos\\beta \\pm \n",
    "      \\cos\\alpha\\sin\\beta, \\\\\n",
    "   \\cos(\\alpha\\pm\\beta) & = \\cos\\alpha \\cos\\beta \\mp \n",
    "      \\sin\\alpha\\sin\\beta,\\\\\n",
    "   \\tan(\\alpha\\pm\\beta) & = \n",
    "      \\frac{\\tan\\alpha\\pm\\tan\\beta}{1\\mp\\tan\\alpha\\tan\\beta}.\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "Fórmulas de los ángulos doble y mitad:\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   \\sin 2\\alpha & = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha, &\n",
    "      \\cos 2\\alpha & = \\cos^2\\alpha-\\sin^2\\alpha, \\\\\n",
    "   \\sin^2 \\alpha & =\\frac{1-\\cos2\\alpha}{2}, &\n",
    "      \\cos^2 \\alpha & =\\frac{1+\\cos2\\alpha}{2}.\n",
    "\\end{align}\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "El entorno `alignat` es una variante de `align` en la cual es el usuario quien ha de establecer el espacio horizontal entre dos columnas consecutivas, añadiendo alguna orden\n",
    "adecuada junto al carácter `&` correspondiente (basta hacerlo en una de\n",
    "las líneas).  Además, hay que indicar el número de columnas con el\n",
    "argumento obligatorio que este entorno posee:\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Fórmulas de los ángulos doble y mitad:\n",
    "\\begin{alignat}{2}\n",
    "   \\sin 2\\alpha & = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha, &\\hspace{5em}\n",
    "      \\cos 2\\alpha & = \\cos^2\\alpha-\\sin^2\\alpha, \\\\\n",
    "   \\sin^2 \\alpha & =\\frac{1-\\cos2\\alpha}{2}, &\n",
    "      \\cos^2 \\alpha & =\\frac{1+\\cos2\\alpha}{2}.\n",
    "\\end{alignat}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "Fórmulas de los ángulos doble y mitad:\n",
    "\\begin{alignat}{2}\n",
    "   \\sin 2\\alpha & = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha, &\\hspace{5em}\n",
    "      \\cos 2\\alpha & = \\cos^2\\alpha-\\sin^2\\alpha, \\\\\n",
    "   \\sin^2 \\alpha & =\\frac{1-\\cos2\\alpha}{2}, &\n",
    "      \\cos^2 \\alpha & =\\frac{1+\\cos2\\alpha}{2}.\n",
    "\\end{alignat}\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "Hemos añadido `{}` tras los símbolos $+$ y $-$ con el fin de  que \n",
    "LaTeX los interprete propiamente como signos de suma y resta y \n",
    "deje, por tanto, el espacio adecuado. En este ejemplo, hay otras \n",
    "alternativas para seleccionar las columnas y los puntos de \n",
    "alineación. Encontrar los más adecuados, en general, puede requerir \n",
    "una cierta experimentación.\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Alineación en subfórmulas\n",
    "\n",
    "Los entornos `gather`, `align` y `alignat` están pensados para escribir grupos completos de fórmulas. Ocurre, sin embargo, que a veces se necesita organizar o alinear sólo un bloque de fórmulas dentro de una expresión matemática mayor. Se cuenta para ello con los entornos `gathered`, `aligned` y `alignedat`. Se usan siempre en el seno de otro entorno matemático. Su sintaxis es idéntica a la de `gather`, `align` y `alignat`. Cuentan además con un\n",
    "argumento opcional, cuyos posibles valores son `t` (*top*, arriba), `c`(*center*, centro, que es el valor por omisión) y `b` (*bottom*, abajo), para situar horizontalmente el correspondiente bloque de fórmulas con respecto a las demás expresiones del mismo renglón.\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "$$\n",
    "   \\left.\n",
    "   \\begin{gathered}\n",
    "      f(x,y)=2x-y+xy \\\\\n",
    "      \\nabla f(x,y)=\\mathbf{0}\n",
    "   \\end{gathered}\n",
    "   \\right\\}\\Longrightarrow\\left.\n",
    "   \\begin{alignedat}{2}\n",
    "      f_x(x,y)&={} &  2 &+y=0 \\\\\n",
    "      f_y(x,y)&={} & -1 &+x=0\n",
    "   \\end{alignedat}\n",
    "   \\right\\}\\Longrightarrow (x,y)=(1,-2)\n",
    "$$\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "   \\left.\n",
    "   \\begin{gathered}\n",
    "      f(x,y)=2x-y+xy \\\\\n",
    "      \\nabla f(x,y)=\\mathbf{0}\n",
    "   \\end{gathered}\n",
    "   \\right\\}\\Longrightarrow\\left.\n",
    "   \\begin{alignedat}{2}\n",
    "      f_x(x,y)&={} &  2 &+y=0 \\\\\n",
    "      f_y(x,y)&={} & -1 &+x=0\n",
    "   \\end{alignedat}\n",
    "   \\right\\}\\Longrightarrow (x,y)=(1,-2)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### Ejemplo\n",
    "\n",
    "<hr class=\"ejemplo\">\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   f_1(x,y)&= x^2+y^2  &&\\text{(función cuadrática)}\\\\\n",
    "   f_2(x,y)&=  \n",
    "      \\begin{aligned}[t]\n",
    "         & 0.75 \\exp\\bigl(-0.25 (9 x-2)^2-0.25 (9y-2)^2\\bigr) \\\\\n",
    "         &+ 0.75 \\exp\\bigl(-(9 x+1)^2 /49 - (9 y + 1) /10\\bigr) \\\\\n",
    "         &+ 0.5 \\exp\\bigl(-0.25 (9 x-7)^2-0.25 (9y-3)^2\\bigr) \\\\\n",
    "         &- 0.2 \\exp\\bigl(-(9 x-4)^2-(9y-7)^2\\bigr)\n",
    "      \\end{aligned} \n",
    "      &&\\text{(función de Franke)}\\\\ \n",
    "   f_3(x,y)&=0.5\\, y\\cos^4\\bigl(4(x^2+y-1)\\bigr)\n",
    "      &&\\text{(función de Nielson)}\n",
    "\\end{align}\n",
    "```\n",
    "<hr class=\"medio\">\n",
    "\n",
    "\\begin{align}\n",
    "   f_1(x,y)&= x^2+y^2  &&\\text{(función cuadrática)}\\\\\n",
    "   f_2(x,y)&=  \n",
    "      \\begin{aligned}[t]\n",
    "         & 0.75 \\exp\\bigl(-0.25 (9 x-2)^2-0.25 (9y-2)^2\\bigr) \\\\\n",
    "         &+ 0.75 \\exp\\bigl(-(9 x+1)^2 /49 - (9 y + 1) /10\\bigr) \\\\\n",
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    "      \\end{aligned} \n",
    "      &&\\text{(función de Franke)}\\\\ \n",
    "   f_3(x,y)&=0.5\\, y\\cos^4\\bigl(4(x^2+y-1)\\bigr)\n",
    "      &&\\text{(función de Nielson)}\n",
    "\\end{align}\n",
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    "<a href=#Índice\n",
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    "          border:1px solid #54381e;border-radius:5px;\">Volver al índice</a>\n",
    "</div>"
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    "<div class=\"alert alert-block alert-warning\">\n",
    "<strong>Celda de configuración</strong>.\n",
    "La evaluación de la celda siguiente cambia el formato por omisión de este cuaderno.\n",
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    "<div class=\"alert alert-success\">\n",
    "Realizado por <emph>Juan José Torrens</emph> para la asignatura de <strong>Cálculo II</strong><br>\n",
    "Grados de <strong>Ciencias</strong> y de <strong>Ciencia de Datos</strong><br>\n",
    "Universidad Pública de Navarra<br>\n",
    "Última versión: 15-1-2021\n",
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