cap-RG-Fundamentos.tex

\chapter{La teoría de Einstein de la gravitación}\label{capTEG}

\section{Gravitación como curvatura del espaciotiempo\label{PE}}

Como hemos visto, el PEF supone que en regiones (suficientemente) pequeñas del espaciotiempo, y en un sistema de referencia en caida libre, los efectos de la gravitación desaparecen y son por lo tanto válidas las leyes no-gravitacionales conocidas. En particular es en coordenadas adaptadas a estos SR's en los que la teoría de Relatividad Especial, con su métrica de Minkowski, es recobrada. En otro sistema de coordenadas (adaptado a otros SR's no localmente inerciales) la presencia de un campo gravitacional se manifestará en el hecho que la métrica ya no será constante (independiente de las coordenadas) en la región considerada\footnote{Lo mismo ocurre, en un sistema de coordenadas arbitrario, no necesariamente adaptado a algún sistema de referencia particular.}. Por esto, en la teoría de Einstein \textit{se asume} que un campo gravitacional general puede ser descrito por un \textit{espaciotiempo cuadridimensional curvo} (tensor de curvatura no nulo, métrica no constante), \textit{geometrizando} de esta forma la interacción gravitacional. Además, el PEF es implementado identificando las coordenadas adaptadas a un SRLI como las coordenadas geodésicas en torno a un punto (evento) dado.

Además en RG es necesario considerar que las ecuaciones que describen algún sistema físico son covariantes bajo TGC's\footnote{Esta condición es usualmente llamada ``principio general de covariancia''.} (es decir, válidas con la misma forma en cualquier sistema de coordenadas), y tales que se reducen a las ecuaciones válidas en la teoría de RE en sistemas de coordenadas geodésicas (asociados a SRLI's). Como consecuencia, la ecuación de movimiento de un cuerpo de prueba macroscópico es dada en general por (\ref{tsrni}), es decir, adopta la forma de la ecuación de la geodésica (o autoparalelas).

Al comparar (\ref{ag}) con (\ref{tsrni}) vemos que la conexión $\Gamma$ juega en RG el papel de generalización relativista del campo gravitacional $\vec{g}$. Ya que en una geometría riemanniana $\Gamma$ depende de las derivadas de las componentes de la métrica $g$, encontramos que las componentes de $g$ juegan un papel análogo al potencial gravitacional. En RE, sin embargo, la curvatura asociada a $\Gamma$ es nula. Geométricamente, el espaciotiempo es plano en RE y se pueden encontrar SC's (asociados a SRI's globales) en los que las componentes de la métrica sean constantes y diagonales ($g\stackrel{*}{=}\eta$), la conexión es nula ($\Gamma\stackrel{*}{=}0$), y las soluciones de la ecuación de la geodésica se reducen a líneas rectas en el espaciotiempo, es decir, a líneas de mundo describiendo movimientos rectilíneos uniformes. 
%El hecho que en presencia de gravitación no existen SRI's \textit{globales}, sino 
%que sólo SRLI's, es consistentemente descrito en RG considerando que la 
%\textit{curvatura es no nula}.

Nótese que aquí se ha supuesto, siguiendo la construcción de
Einstein, que la identificación de la conexión con los símbolos de Christoffel ($\Gamma %
=\{\ \}(g)$) se mantiene inalterada al pasar del caso de un campo
trivial (RE) a uno general (RG). Con esta identificación el único campo
independiente es la métrica.


Resumiendo, la teoría de Einstein de la gravitación se basa en la idea de
\textit{geometrizar} la interacción gravitacional, es decir, describirla
asociando al espaciotiempo una geometría (pseudo-riemanniana) \textit{curva}. En este caso, un campo gravitacional no nulo es caracterizado por una curvatura del espaciotiempo distinta de cero y los cuerpos (de prueba) siguen curvas geodésicas del espaciotiempo. En un campo gravitacional general no es posible encontrar un SC tal que la métrica sea constante y la conexión se anule en todo evento. Sí es posible encontrar SC's geodésicos asociados a SRLI's que tienen la propiedad que la métrica adopta su valor minkowskiano y la conexión se anula \textit{en un evento dado}.  En el caso de partículas masivas, las geodésicas que éstas describen son tipo tiempo ($ds^2>0$ a lo largo de la curva), y para señales luminosas (fotones) la curva geodésica es \textit{nula} ($ds^2=0$ a lo largo de ella).


\section{Métrica, trayectorias, tiempo propio y coordenadas}

En RG se supone que la métrica $g_{\mu\nu}$ del espaciotiempo, aún siendo curva, es siempre
\textit{lorentziana}. Esto significa que el elemento de línea
\begin{equation}\label{dsymet}
 ds^2=g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu
\end{equation}
no es definido positivo, es decir, puede asumir, en un mismo evento $P$ dado del espaciotiempo (con coordenadas $x^\mu$), valores positivos, negativos o ser cero,
dependiendo de los valores de $dx^\mu$. Esto es más evidente en coordenadas
geodésicas $\bar{x}^\mu$ definidas en torno al punto $P$, puesto que en ese caso
\begin{equation}
 ds^2\stackrel{*}{=}(d\bar{x}^0)^2-(d\bar{x}^1)^2-(d\bar{x}^2)^2-(d\bar{x}^3)^2.
\end{equation}
En este sentido, un espaciotiempo curvo es siempre
\textit{\underline{localmente} un espacio de Minkowski}. En particular, eventos
en la vecindad de $P$ (es decir, eventos $Q$, con coordenadas $x^\mu+dx^\mu$)
pueden clasificarse de acuerdo a si su separación ($dx^\mu$) es tipo tiempo,
espacio o tipo luz: El vector que une $P$ y $Q$, con coordenadas $dx^\mu$ es
tipo tiempo si $ds^2>0$, tipo espacio si $ds^2<0$, y tipo luz si $ds^2=0$. En
otras palabras, en RG es posible definir, \textit{en la vecindad de cada evento}, un cono de luz (infinitesimal) que describe la \textit{estructura causal local} del espaciotiempo.

Como extensión natural de lo que ocurre en RE, en RG se supone que los cuerpos  (masivos), moviéndose en un campo gravitacional dado, describen
líneas de mundo tipo tiempo (es decir, en los que los vectores
tangentes en cada punto de la trayectoria son tipo tiempo), y que los rayos de luz
siguen curvas tipo luz. Por último, en el caso de líneas tipo tiempo se
continúa interpretando al intervalo en términos del \textit{tiempo propio}:
$ds=c\,d\tau$. Más específicamente, si $x^\mu(\lambda)$ es la línea de mundo
de un cuerpo masivo, entonces
\begin{equation}\marginnote{Tiempo Propio en RG}
\boxed{ d\tau=\frac{1}{c}\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu
dx^\nu}}
\end{equation}
se intepreta como el \textit{tiempo que un reloj comóvil con el cuerpo registra
entre los eventos con coordenadas $x^\mu$ y $x^\mu+dx^\mu$}. Como, en general,
las componentes de la métrica variarán punto a punto, vemos que en un
espaciotiempo curvo se espera que los tiempos propios registrados por relojes
dependan tanto de ${dx^\mu}$ ($\sim$ velocidades) como de la
posición ($x$) en el espaciotiempo. Esto tendrá como consecuencia la
predicción, además de dilataciones del tiempo usuales ($\sim$ velocidades, e.d. Doppler) de dilataciones (y/o contracciones) del tiempo de origen gravitacional, debido a
la inhomogeneidad de la métrica del espaciotiempo en presencia de un campo gravitacional
no-trivial.

\subsection{Sobre coordenadas tipo espacio, tipo tiempo y tipo luz}

Se dice que una \textit{coordenada es tipo tiempo} si las curvas coordenadas asociadas (es decir, las curvas determinadas por variaciones de la coordenada en cuestión, dejando las otras coordenadas constantes) son tipo tiempo. Equivalentemente, $x^\mu$ (con un $\mu$ fijo) es una coordenada temporal si al variar esta coordenada (y dejando las otras constantes) $dx^\mu$ es tal que $ds^2>0$. De manera análoga una \textit{coordenada es tipo luz} o \textit{tipo espacio} si sus líneas coordenadas son tipo luz ($ds^2=0$) o tipo espacio ($ds^2<0$), respectivamente. Note que, ya que esta clasificación de coordenadas depende del valor del intervalo, y por lo tanto de la métrica, una coordenada puede ser tipo tiempo en una región del espaciotiempo, pero tipo espacio o tipo luz en otra región, o viceversa. Note además que no es necesario que todo SC consista de una coordenada temporal y tres espaciales. Es posible y útil en algunas ocasiones usar, por ejemplo, una o más coordenadas tipo luz.

Por ejemplo, en la solución (\ref{schiso}) $t$ es una coordenada temporal, mientras que $\rho, \theta$ y $\varphi$ son coordenadas espaciales en todo evento del espaciotiempo. Por otro lado, en la métrica (\ref{Sch})  (suponiendo que ella es válida para todo valor de $r$) $t$ es una coordenada temporal y $r$ es una coordenada espacial sólo en los eventos con $r>2m$, mientras que $\theta$ y $\varphi$ son siempre espaciales.


\section{Límite Newtoniano}

En la teoría de Einstein los cuerpos, libres de fuerzas no-gravitacionales, siguen geodésicas del espaciotiempo.
Por otro lado, sabemos que la teoría gravitacional de Newton describe con
gran precisión las trayectorias de cuerpos (macroscópicos) en campos
gravitacionales como los encontrados en el sistema solar. En estas
circunstancias, los cuerpos se mueven a velocidades no-relativistas y el campo gravitacional puede considerarse como aproximadamente estacionario. Por lo
anterior, requerimos que la ecuación de la geodésica se reduzca a la
ecuación de movimiento newtoniana en el límite no-relativista y de campos
gravitacionales débiles y estacionario.

En RG, un campo gravitacional débil se describe por un espacio ``ligeramente
curvado''. En este caso, es posible considerar que la métrica puede escribirse
como una ``perturbación'' de la métrica de Minkowski:
\begin{equation}\marginnote{Campo grav. débil}
g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \qquad \left\vert h_{\mu\nu}\right\vert\ll
1 . \label{geh}
\end{equation}
Note que (\ref{geh}) está escrita en coordenadas ``cuasi-cartesianas'',
$x^\mu:=(ct,\vec{x})$, en las que $\eta_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1)$.

Suponiendo que los cuerpos se mueven \textit{muy
lentamente}, es decir $|dx^i/dt| \ll c$, $i=1,2,3$, podemos aproximar $d\tau\approx dt$, y entonces $dx^0/d\tau\approx c$, $dx^i/d\tau\approx\,dx^i/dt$. Como esta aproximación es correcta a orden 0 en $v^i/c$, es llamada ``límite estático''. Con esto la ecuación de la geodésica se reduce a
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}+\Gamma_{\ 00}^\mu\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^0%
}{d\tau}\approx 0,
\end{equation}
es decir, a
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}+\Gamma_{\ 00}^\mu c^2\approx 0 . \label{egapp}
\end{equation}

Si además consideramos que el campo gravitacional es \textit{estacionario}, en el
sentido que\footnote{Esto significa que suponemos que existe un \textit{vector de Killing tipo tiempo}, que en las coordenadas usadas asume la forma $\xi^\mu=(1,0,0,0)$.} $\partial_t h_{\mu\nu}=0$, entonces
\begin{eqnarray}
 \Gamma_{\ 00}^\mu &=&-\frac{1}2g^{\mu\nu}\partial_\nu g_{00} \\
&=&-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}
\partial_\nu\left( \eta_{00}+h_{00}\right) \\
&\approx&-\frac{1}2\eta^{\mu\nu}\partial_\nu h_{00}. \label{G00}
\end{eqnarray}
Reemplazando (\ref{G00}) en (\ref{egapp}) encontramos
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^\mu }{d\tau^2}&\approx& -\Gamma_{\ 00}^\mu c^2\\
&\approx& \frac{c^2}2\eta^{\mu\nu}\partial_\nu h_{00} .
\end{eqnarray}
Para la componente $\mu=0$, obtenemos
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^0}{d\tau^2}&\approx& \frac{c^2}2\eta^{0\nu}\partial_\nu h_{00}\\
&\approx& \frac{c^2}{2}\eta^{00}\partial_0 h_{00}\\
&\approx& \frac{c}{2}\partial_t h_{00}.
\end{eqnarray}
Ya que $dx^0/d\tau\approx c$ y $\partial_t h_{00}=0$, esta ecuación es consistente,
pero no suministra información adicional en esta aproximación. Las ecuaciones
restantes, con $\mu=i=1,2,3$, son
\begin{eqnarray}
\frac{d^2x^i}{d\tau^2}&\approx&\frac{c^2}{2}\eta^{i\nu}\partial_\nu h_{00} \\
&\approx&-\frac{c^2}{2}\partial_i h_{00},
\end{eqnarray}
o, en notación vectorial,
\begin{equation}
 \frac{d^2\vec{x}}{dt^2}\approx -\frac{c^2}{2}\vec{\nabla}h_{00}.
\end{equation}
Esta ecuación debería entonces coincidir, dentro de la aproximación considerada,
con la ecuación newtoniana que determina el movimiento del cuerpo de prueba, es decir, con (\ref{enmp}). De aquí, podemos
identificar la componente $00$ de la perturbación $h_{\mu\nu}$ como\footnote{Aquí se ha considerado que tanto $h_{00}$ como $\phi$ se anulan muy lejos de la fuente del campo.}
\begin{equation}
h_{00}\stackrel{!}{=}\frac{2}{c^2}\phi, \label{h00phi}
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\boxed{g_{00}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}.} \label{g00phi}
\end{equation}
Note que el análisis realizado entrega información, dadas las aproximaciones consideradas, sólo de una componente de la métrica, la componente $g_{00}$ en coordenadas cuasi-cartesianas. Las otras componentes son también no triviales, como puede comprobarse estudiando las ecuaciones linealizadas de Einstein. 
%Ver sección \ref{sec:CDNR}.

La consistencia de la relación \eqref{g00phi} con la aproximación (\ref{geh}) requiere que $|{\phi}/{c^2}|\ll 1$. Ya que el potencial (newtoniano) generado por una masa $M$ a una distancia $r$ es $|\phi|\approx {GM}/{r}$, entonces esta condición implica que ${GM}/{c^2r}\ll 1$. Como referencia, en la cercanía de nuestro Sol tenemos que ${GM}/{c^2r}\approx {GM_\odot}{/c^2R_\odot}\sim 10^{-6}$.


\subsection{Redshift gravitacional en el límite newtoniano}\label{zg1}

Como un primer ejemplo, considere el caso en que el campo gravitacional es débil, de modo que podamos usar la aproximación newtoniana (\ref{g00phi}). Consideraremos además una fuente de radiación en reposo en el punto con coordenadas (cuasi-cartesianas) $x^i_{\rm e}$ y un receptor en reposo en el punto con coordenadas $x^i_{\rm r}$. En otras palabras, las líneas de mundo del emisor y receptor son de la forma $x^\mu_{\rm e}=(ct_{\rm e}(\tau_{\rm e}),x^i_{\rm e})$ y $x^\mu_{\rm r}=(ct_{\rm r}(\tau_{\rm r}),x^i_{\rm r})$. Los respectivos tiempos propios del emisor y receptor son entonces:
\begin{equation}
 d\tau_{\rm e}=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}(x_{\rm e})\,c^2\,dt^2_{\rm e}}\approx \sqrt{1+\frac{2\phi(x_{\rm e})}{c^2}}\,dt_{\rm e}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\,dt_{\rm e},
\end{equation}
\begin{equation}
 d\tau_{\rm r}=\frac{1}{c}\sqrt{g_{00}(x_{\rm r})\,c^2\,dt^2_{\rm r}}\approx \sqrt{1+\frac{2\phi(x_{\rm r})}{c^2}}\,dt_{\rm r}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\,dt_{\rm r}.
\end{equation}
Considere ahora la emisión de señales luminosas desde el emisor hasta el receptor. Estas señales se mueven a lo largo de curvas geodésicas nulas desde $x^i_{\rm e}$ hasta $x^i_{\rm r}$. Si el campo gravitacional es estacionario, entonces puede verificarse fácilmente que la diferencia de coordenadas temporales entre la emisión de dos pulsos, $ \Delta t_{\rm e}$, es igual a la diferencia de coordenadas temporales entre la recepción de éstos, $ \Delta t_{\rm r}$, es decir, $ \Delta t_{\rm r}= \Delta t_{\rm e}$. Un ejemplo explícito en el que se puede verificar esta propiedad será estudiado en la sección \ref{sec:redshift}. Con esto, podemos escribir
\begin{equation}
 \Delta\tau_{\rm e}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\, \Delta t_{\rm e},
\end{equation}
\begin{equation}
 \Delta\tau_{\rm r}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\, \Delta t_{\rm r},
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}\label{zapp1}
\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}} \approx \frac{1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}}{1+\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}}\approx \left(1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}\right)\left(1-\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2}\right)\approx 1+\frac{\phi(x_{\rm r})}{c^2}-\frac{\phi(x_{\rm e})}{c^2},
\end{equation}
es decir,
\begin{equation}\label{zapp2}
\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2}.
\end{equation}
Este resultado muestra que \textit{un intervalo de tiempo respecto a un emisor es percibido con una duración mayor por un receptor, en el caso que el receptor se encuentre en una región con potencial gravitacional (newtoniano) mayor}. Es decir, $\Delta\tau_{\rm r}>\Delta\tau_{\rm e}$ si $\phi(x_{\rm r})>\phi(x_{\rm e})$ o, equivalentemente, $\Delta\phi>0$. Esto ocurre, por ejemplo, para señales \textit{alejándose} de una masa que genera campo gravitacional\footnote{Recuerde que el potencial newtoniano (con la elección de que se anule en el infinito) es \textit{negativo}.}. Como caso particular, los intervalos de tiempo pueden ser los correspondientes a un periodo de la radiación emitida desde el emisor. En ese caso, $\Delta \tau_{\rm e}=1/\nu_{\rm e}$, donde $\nu_{\rm e}$ es la frecuencia de la radiación emitida. Similarmente, $\Delta \tau_{\rm r}=1/\nu_{\rm r}$. Entonces,
%Usando además $\lambda=c/\nu$, podemos expresar el efecto de la dilatación temporal en términos del cambio de longitud de onda de la radiación,
%\begin{equation}
%\frac{\lambda_{\rm r}}{\lambda_{\rm e}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2},
%\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\nu_{\rm e}}{\nu_{\rm r}} \approx 1+\frac{\Delta \phi}{c^2},
\end{equation}
o, en términos del \textit{redshift} $z:=(\nu_{\rm e}-\nu_{\rm r})/\nu_{\rm r}$, simplemente
\begin{equation}\marginnote{Redshift grav. campo débil}
\boxed{z \approx \frac{\Delta \phi}{c^2}.}\label{znorel}
\end{equation}

Este efecto fue derivado por primera vez por Einstein en 1907 \cite{Einstein07} a partir del Principio de Equivalencia y luego discutido en mayor detalle en \cite{Einstein11}, y fue confirmado experimentalmente (usando el efecto M\"ossbauer\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_M\%C3\%B6\%C3\%9Fbauer}.}) por primera vez por Pound y Rebka en 1960 \cite{PR60} con un redshift $z\sim 10^{-15}$ encontrándose que $(\Delta\nu)_{\rm exp}/(\Delta\nu)_{\rm teo}=1.05\pm 0.10$ y luego en 1964/1965 \cite{PS64,PS65} con emisores situados sobre la Tierra y receptores a aproximadamente 22.86 m de altura (correspondiendo a $z\approx -4.9\times 10^{-15}$) encontrando $(\Delta\nu)_{\rm exp}/(\Delta\nu)_{\rm teo}=0.9990\pm 0.0076$. Posteriormente, Snider \cite{Snider72} verificó la presencia del efecto  en el caso de la luz emitida desde el Sol ($z\sim 10^{-6}$). Actualmente, es necesario tomar en cuenta el redshift gravitacional que afecta a los satélites que conforman el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) para hacer posible su correcto funcionamiento. El actual ``record'' de la medición del efecto de redshift gravitacional producto de la diferencia de altura \textit{más pequeña} ha sido reportado por C. W. Chou et al. \cite{Chou2010}, quienes han logrado verificar la predicción \eqref{znorel} con diferencias de altura de $h\approx 33$ cm !, gracias al uso de relojes ópticos ($z\sim 10^{-17}$).

\section{Ecuaciones de campo de Einstein}
Las ecuaciones de Einstein, es decir, las
ecuaciones de campo para el ``potencial gravitacional'' en la teoría de
Einstein (e.d., la métrica) fueron presentadas (sin constante cosmológica) en Noviembre de 1915 \cite{Einstein16} y son:
\begin{equation}\marginnote{Ecuación de Einstein s/cte. cosmológica}
\boxed{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.}
\label{EE1}
\end{equation}

Discutiremos ahora algunas \textit{motivaciones} para considerar estas ecuaciones como
modelo que determina cómo el espaciotiempo se curva en
presencia de una distribución de materia. Los argumentos que discutiremos
hacen que estas ecuaciones parezcan ``razonables'' dentro del marco general en
el que descansa la teoría. No debe olvidarse, sin embargo, que en definitiva la
teoría asume como \textit{postulado} la validez de estas ecuaciones de campo.
Si son o no éstas las ecuaciones correctas para describir la interacción gravitacional
sólo puede decidirse \textit{a posteriori}, comparando las predicciones de la
teoría así construida, con las observaciones.

En el límite newtoniano, el campo gravitacional está determinado por la
ecuación de Poisson (\ref{Poisson}). En la teoría de Einstein, por otro lado,
tenemos la relación (\ref{h00phi}) en el mismo límite. Como la ecuación de
Poisson es de segundo orden en la derivadas del potencial, entonces es natural
(y simple) suponer que las ecuaciones de campo para la geometría del
espaciotiempo sean ecuaciones diferenciales de segundo orden en las derivadas de
la métrica. Específicamente, en el límite no relativista las ecuaciones de campo deben reducirse a
\begin{equation}
 \nabla^2g_{00}\approx\frac{8\pi G}{c^2}\rho . \label{ecg00}
\end{equation}

Por otro lado, las ecuaciones buscadas deben ser covariantes bajo TGC's (puesto
que en un espacio curvo general, no hay coordenadas preferidas o ``más
simples'', de modo que es necesario poder escribirlas en coordenadas
arbitrarias. Más aún en este caso la métrica es \textit{la incógnita}, es decir, desconocida a priori). Las únicas combinaciones de segundas derivadas de la métrica
que forman tensores son aquellas contenidas en el tensor de curvatura de
Riemann y sus tensores derivados (Ricci y escalar de curvatura). De esta forma,
esperamos que el lado izquierdo de (\ref{ecg00}) sea generalizado a alguna
combinación adecuada de componentes del $R^\mu_{\ \nu\lambda\rho}$ y/o sus contracciones.
Además, el ``lado derecho'' de la ecuación requerida debe ser la
generalización covariante y relativista de la densidad de masa de la
distribución que genera el campo. En RE la descripción completa y covariante (bajo TL's en ese caso) de la distribución de energía-momentum de una distribución es dada por el tensor de
energía-momentum $T_{\mu\nu}$. Naturalmente, en RG se supone que la fuente del campo gravitacional es el tensor de energía-momentum, y se considera que éste es un tensor bajo TGC's, que se reduce a la expresión válida en RE en ausencia de gravitación. Por esto, en el límite newtoniano, tenemos que $T_{00}\approx \rho c^2$. Con esto, podemos escribir la ecuación de campo no-relativista como
\begin{equation}
 \nabla^2g_{00}\approx\frac{8\pi G}{c^4}T_{00} . \label{ecg00T}
\end{equation}
Todo lo anterior motiva a considerar una ecuación de campo, relativista y
generalmente covariante para el campo gravitacional, de la forma
\begin{equation}
A_{\mu\nu}(g)=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} , \label{ecgmnT}
\end{equation}
donde $A_{\mu\nu}(g)$ es un tensor de tipo $(^0_2)$ \textit{simétrico} construido a partir de la curvatura y sus contracciones. Las ecuaciones de Einstein son precisamente de esta forma.

Note que las ecuaciones de campo (\ref{EE1}) pueden escribirse, equivalentemente, como
\begin{equation}\label{EE3}
 R_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\left[ T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right],
\end{equation}
donde $T:=T^\mu_{\ \mu}=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ es la traza del tensor de
energía-momentum de la materia. En esta forma, es simple verificar (hágalo!) que la ecuación de campo se reduce a (\ref{Poisson}) en el límite newtoniano.

En el vacío, es decir, en una región libre de materia, las ecuaciones de
campo se reducen a la condición que el tensor de Ricci sea nulo:
\begin{equation}
 R_{\mu\nu}=0. \label{EEV}
\end{equation}

Note que las ecuaciones de campo en el vacío (\ref{EEV}) admiten como
solución un espaciotiempo de Minkowski, es decir, plano con
$g_{\mu\nu}\stackrel{*}{=}\eta_{\mu\nu}$ (en coordenadas pseudo-cartesianas). Sin embargo, existen soluciones no triviales (curvas) de (\ref{EEV}). éstas describen el campo
gravitacional \textit{fuera} de una distribución de materia, incluyendo la posibilidad
de presencia de \textit{ondas gravitacionales}\footnote{Esto es análogo al
caso electromagnético, donde las ondas electromagnéticas son soluciones
no-triviales de las ecuaciones de Maxwell en el vacío.}. En todo caso, se
supone que la métrica es siempre \textit{Lorentziana}, es decir, que (en cada
punto, usando coordenadas geodésicas) puede diagonalizarse a su forma estándar
de Minkowski.

Otra propiedad particular de las ecuaciones de Einstein, y que entrega argumentos a su favor, es que, debido a la identidad (\ref{dcG0}), el tensor de energía-momentum de la materia satisface
\begin{equation}
 \nabla_\mu T^{\mu\nu}= 0. \label{dcT0}
\end{equation}
Esta consecuencia de las ecuaciones de campo es la generalización a un campo
gravitacional no nulo de la ley de conservación de la energía y el momentum
de un sistema. En efecto, en las coordenadas geodésicas asociadas a un SRLI,  (\ref{dcT0}) se reduce a $\partial_\mu T^{\mu\nu}\stackrel{*}{=}0$, es decir, a la ley válida en RE para la conservación de la energía y el momentum de un sistema aislado. Lo mismo ocurre, globalmente, en un espacio plano en coordenadas (pseudo-)cartesianas. Adicionalmente, es posible verificar que, en el caso que el tensor de energía-momentum $T^{\mu\nu}$ sea el de un fluido perfecto con presión despreciable (polvo), la identidad (\ref{dcT0}) se reduce, en el límite correspondiente, a la conocida ecuación newtoniana de movimiento para un fluido en presencia de un campo gravitacional\footnote{Es decir, a $\partial(\rho\vec{v})/\partial t+\vec\nabla p=-\rho\vec\nabla\phi$.}. Finalmente, (\ref{dcT0}) implica que las partículas que conforman el polvo se mueven siguiendo geodésicas. Ver sección \ref{sec:FLG} para los detalles. Esta última es una característica muy particular de la teoría de Einstein de la gravitación: las ecuaciones que rigen la dinámica del campo gravitacional determinan además las ecuaciones de movimiento de los cuerpos sometidos a ese campo.

Una propiedad que diferencia sustancialmente a las ecuaciones de Einstein de
la ecuación de Poisson de la teoría newtoniana es que (\ref{EE1}) es un
sistema de (10) ecuaciones \textit{no-lineales} (para 10 incógnitas).
Usualmente, se interpreta esta nolinealidad de la teoría de Einstein diciendo
que en ella \textit{toda la energía de un sistema} contribuye al campo
gravitacional generado, \textit{incluyendo la energía del propio campo
gravitacional}. Esta nolinealidad da origen a tipos de fenómenos completamente
nuevos respecto a la teoría newtoniana, que se manifiestan, sin embargo,
cuando el campo gravitacional es muy intenso (régimen no-lineal). Note, sin embargo, que es necesario ser muy cuidadoso al hablar de ``la energía (y momentum) del campo gravitacional'', ya que la teoría de RG no suministra una definición \textit{covariante} para estos conceptos. En otras palabras, la teoría de RG no entrega una forma de definir un \textit{tensor de energía-momentum para el campo gravitacional} $T^{\mu\nu}_{\rm G}$ tal que ``la energía y el momentum total'' se conserven: $\partial_\mu(T^{\mu\nu}+T^{\mu\nu}_{\rm G})=0$. En RG por otro lado, la relación  (\ref{dcT0}) suministra una ley de ``balance'' (o de ``no-conservación'') para el tensor de energía-momentum de la materia, debido a la interacción gravitacional.

Es posible (y así se ha hecho) considerar modificaciones de las ecuaciones de campo (\ref{EE1}). En particular, el mismo Einstein en 1917 \cite{Einstein17}, al aplicar su teoría a escala cosmológica, consideró agregar un término adicional al lado izquierdo de (\ref{EE1}) que \textit{no altera la propiedad} (\ref{dcT0}). En efecto,
\begin{equation}\marginnote{Ecuación de Einstein c/cte. cosmológica}
\boxed{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi
G}{c^4}T_{\mu\nu}}
\label{EE2}
\end{equation}
también implica (\ref{dcT0}) ya que la derivada covariante de la métrica es
idénticamente nula. Aquí $\Lambda$ es una constante, con dimensiones
$[\Lambda]=L^{-2}$ llamada \textit{constante cosmológica}, que no afecta las
predicciones a escalas del sistema solar si su valor es suficientemente pequeño, pero tiene consecuencias importantes sobre la configuración y dinámica del espaciotiempo a grandes escalas (comparadas con $|\Lambda|^{-1/2}$). En general, excepto cuando apliquemos la teoría de Einstein a la cosmología, trabajaremos con la ecuación de campo sin constante cosmológica.

\subsection{Fluido perfecto sin presión y geodésicas*}\label{sec:FLG}

En el caso que el tensor de materia describa un fluido perfecto sin presión
(polvo) de densidad (propia) $\rho$ y 4-velocidad
$u^\mu:={dx^\mu}/{d\tau}$, tenemos que
\begin{equation}
 T^{\mu\nu}=\rho\,u^\mu u^\nu,
\end{equation}
y, por lo tanto, la identidad (\ref{dcT0}) implica que
\begin{eqnarray}
 0&=&\nabla_\mu(\rho\,u^\mu u^\nu) \\
&=& \nabla_\mu(\rho\,u^\mu) u^\nu+ \rho\,u^\mu(\nabla_\mu u^\nu). \label{dcT2}
\end{eqnarray}
Contrayendo (\ref{dcT2}) con $u_\nu$, y usando $u_\mu u^\mu\equiv c^2$,
encontramos que
\begin{eqnarray}
 0&=&\nabla_\mu(\rho\,u^\mu) c^2+ \rho\,u^\mu(\nabla_\mu u^\nu)u_\nu,
\label{dcT3}
\end{eqnarray}
pero
\begin{eqnarray}
(\nabla_\mu u^\nu)u_\nu&=&\frac{1}{2}\nabla_\mu(u^\nu u_\nu)\\
&=&\frac{1}{2}\nabla_\mu(c^2) \\
&\equiv& 0,
\end{eqnarray}
de modo que (\ref{dcT3}) implica
\begin{equation}
 \nabla_\mu(\rho\,u^\mu)=0. \label{dcJ2}
\end{equation}
Esta relación\footnote{... que puede escribirse equivalentemente como $\partial_\mu(\sqrt{|g|}\rho\,u^\mu)=0$.} es la generalización (covariante) de la ley de conservación de
la 4-corriente asociada a las partículas que conforman el fluido sin presión
al caso en que el campo gravitacional es no nulo. Finalmente, sustituyendo
(\ref{dcJ2}) en (\ref{dcT2}) encontramos que
\begin{equation}
 u^\mu(\nabla_\mu u^\nu)=0,
\end{equation}
que no es más que la expresión abreviada para la ecuación de la geodésica.


\section{La solución de Schwarzschild}\label{solucion_sch}

Una solución de particular importancia es la solución
independiente del tiempo y esféricamente simétrica, conocida como solución de
Schwarzschild. ésta describe el campo gravitacional fuera de una masa
esféricamente simétrica en reposo. Fue encontrada por Schwarzschild\footnote{Karl
Schwarzschild (1873-1916): Físico y astrónomo alemán. Ver
\url{http://es.wikipedia.org/wiki/Karl\_Schwarzschild}.} a fines del año 1915.

La condición de que el campo gravitacional, es decir, el espaciotiempo tenga
simetría esférica significa que existen tres vectores de Killing tipo espacio que satisfacen el álgebra del grupo de rotaciones tridimensionales, $so(3)$. Bajo estos supuestos es posible probar\footnote{Ver, por ejemplo, sección 8.1 de \cite{Wei72}, y/o sección 10.1 de \cite{FC} para mayores detalles.} el siguiente resultado:

\begin{quotation}
{\bf Teorema:} En un espaciotiempo 4-dimensional esféricamente simétrico
siempre es posible definir coordenadas\footnote{Con los rangos de variación usuales para coordenadas angulares: $0\le\theta<\pi$ y $0\le\varphi <2\pi$.} $x^\mu=(ct,r,\theta,\varphi)$ tal
que el elemento de línea asuma la forma
\begin{equation}\label{dsoriginal}
ds^2=A(r,t)(dx^0)^2-B(r,t)dr^2-r^2\left[ d\theta^2+\sen^2\theta
\,d\varphi^2\right],
\end{equation}
donde $A(r,t)$ y $B(r,t)$ son funciones de la coordenada radial $r$ y,
eventualmente, de la coordenada temporal $t$.
\end{quotation}

En algunas aplicaciones particulares es conveniente escribir las funciones
$A$ y $B$ como
\begin{equation}\label{funcionesmetrica}
A(r,t) =e^{\alpha(r,t)}, \qquad B(r,t) =e^{\beta(r,t)},
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}\label{ds2_rt}
ds^2=e^{\alpha(r,t)} (dx^0)^2-e^{\beta(r,t)} dr^2-r^2\left[
d\theta^2+\sen^2\theta\, d\varphi^2\right],
\end{equation}
de donde vemos que el tensor métrico, en estas coordenadas, es diagonal y puede
ser escrito como
\begin{equation}
g_{\mu\nu}=%
\begin{pmatrix}
e^\alpha& 0 & 0 & 0\\
0 & -e^\beta & 0 & 0\\
0 & 0 & -r^2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -r^2\sen^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
La métrica inversa es entonces:
\begin{equation}
g^{\mu\nu}=%
\begin{pmatrix}
e^{-\alpha} & 0 & 0 & 0\\
0 & -e^{-\beta} & 0 & 0\\
0 & 0 & -r^{-2} & 0\\
0 & 0 & 0 & -r^{-2}\sen^{-2}\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Las componentes no nulas (y linealmente independientes) de la conexión, en las
coordenadas usadas, son:
\begin{align}
\Gamma_{\ 00}^0 & =\frac{\dot{\alpha}}{2c}, \qquad
\Gamma_{\ 01}^0 =\frac{\alpha'}{2}, \qquad
\Gamma_{\ 01}^1 =\frac{\dot{\beta}}{2c}, \qquad
\Gamma_{\ 11}^1 =\frac{\beta'}{2}, \qquad
\Gamma_{\ 22}^1 =-re^{-\beta}, \label{gammas1_sch}\\
\Gamma_{\ 11}^0 & =\frac{\dot{\beta}}{2c}e^{(\beta-\alpha)}, \qquad
\Gamma_{\ 33}^1 =-r\sen^2\theta e^{-\beta}, \qquad
\Gamma_{\ 12}^2 =\frac{1}{r},\label{gammas2_sch}\\
\Gamma_{\ 00}^1 & =\frac{\alpha'}{2} e^{(\alpha-\beta)}, \qquad
\Gamma_{\ 13}^3 =\frac{1}{r}, \qquad
\Gamma_{\ 23}^3 =\cot\theta, \qquad
\Gamma_{\ 33}^2 =-\sen\theta\cos\theta .\label{gammas3_sch}
\end{align}

De igual forma, se tiene que las componentes no nulas del tensor de Ricci son:
\begin{align}
R_{00} & =-\frac{1}{4c^2}\left[ 2\ddot{\beta}-\dot{\beta}\dot{\alpha}%
+\dot{\beta}^2\right] +\frac{1}2e^{(\alpha-\beta)}
\left[\alpha^{\prime\prime}-\frac{\beta'\alpha'}{2}+\frac{2\alpha'}%
{r}+\frac{\alpha^{\prime2}}2\right] \label{ricci00},\\
R_{11} & =\frac{1}{4c^2}e^{(\beta-\alpha)} \left[ 2\ddot{\beta}%
-\dot{\beta}\dot{\alpha}+\dot{\beta}^2\right] -\frac{1}2\left[
\alpha^{\prime\prime}-\frac{\beta'\alpha'}2-\frac{2\beta'%
}{r}+\frac{\alpha^{\prime2}}2\right] ,\label{ricci11}\\
R_{22} & =1-e^{-\beta} \left[ 1-\frac{1}2r\beta
'+\frac{1}2r\alpha'\right] ,\label{ricci22}\\
R_{33} & =\sen^2\theta\, R_{22} ,\label{ricci33}\\
R_{01} &= \frac{\dot{\beta}}{cr}.\label{ricci01}
\end{align}
Con esto, el escalar de curvatura es:
\begin{eqnarray}
R &=& e^{-\beta}\left[
\alpha^{\prime\prime}+\frac{1}{2}\alpha^{\prime2}-\frac{1}2\beta'\alpha'+\frac{
2\alpha'}{r}-\frac{2\beta'}{r} +\frac2{r^2}\right] -\frac2{r^2}
-\frac{e^{-\alpha}}{2c^2} \left[ 2\ddot{\beta}-\dot{\beta}%
\dot{\alpha}+\dot{\beta}^2\right].
\end{eqnarray}
Conocidos $R_{\mu\nu}$ y $R$ podemos calcular $G_{\mu\nu}$. Así obtenemos,
\begin{align}
G_{00} & =e^{\alpha-\beta}\left[ \frac{\beta'}{r}-\frac{1}{r^2}\right]
+\frac{1}{r^2}e^\alpha, \\
G_{01} &= \frac{\dot{\beta}}{cr},\label{g01b}\\
G_{11} &=\frac{\alpha'}{r}+\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r^2}e^{\beta} ,\label{g11}\\
G_{22} & =-e^{-\beta} \left[ \frac{r^2}{4}\alpha^{\prime
}\beta'-\frac{r^2}{4}\alpha^{\prime2}-\alpha^{\prime\prime}\frac{r^2}{2}-\frac{r}{2}\left( \alpha^{\prime}-\beta'\right) \right] -\frac{r^2}{4c^2}e^{-\alpha}\left[2\ddot{\beta}-\dot{\beta}\dot{\alpha}
+\dot{\beta}^2\right] \\
G_{33} & =\sen^2\theta\, G_{22}.
\end{align}
% Por conveniencia es útil obtener $G_\mu ^\nu $%
% \begin{align}
% G_{\ 0}^0 & =-e^{-\beta} \left[ \frac{1}{r^2}%
% -\frac{\beta'}{r}\right] +\frac{1}{r^2},\\
% G_{\ 0}^1 & =-\frac{1}2e^{-\beta} \frac{\beta}{r},\\
% G_{\ 1}^1 & =-e^{-\beta} \left[ \frac{\alpha'}{r}%
% +\frac{1}{r^2}\right] +\frac{1}{r^2},\\
% G_{\ 2}^2 & =-\frac{1}2e^{-\beta} \left[ \alpha^{\prime
% \prime}+\frac{1}2\alpha^{\prime2}-\frac{1}2\beta'\alpha'%
% +\frac{\alpha'-\beta'}{r}\right] +\frac{1}{2}e^{-\alpha} \left[
% \ddot{\beta}-\frac{\dot{\beta}\dot{\alpha}}2+\frac
% {\dot{\beta}^2}2\right] ,\\
% G_{\ 3}^3 & =G_{\ 2}^2.
% \end{align}


\subsection{Solución de Schwarzschild Exterior}

Las ecuaciones del campo gravitatorio se pueden resolver exactamente en
el caso de un campo central en el vacío, es decir, fuera de las masas que
generan el campo.

En efecto, en el vacío las ecuaciones de Einstein se reducen a
\begin{eqnarray}
0&=& \frac{1}{r^2}-\frac{\beta'}{r}-\frac{e^\beta}{r^2}, \label{ecS1}\\
0&=& \dot{\beta}, \label{ecS2}\\
0&=& \frac{1}{r^2}+\frac{\alpha'}{r}-\frac{e^\beta}{r^2}, \label{ecS3}\\
0&=& e^{-\beta} \left[\alpha^{\prime\prime}+\frac{1}2\alpha^{\prime2}
-\frac{1}2\beta'\alpha'+\frac{ \alpha'-\beta'}{r}\right] -\frac{e^{-\alpha}}{c^2} \left[
\ddot{\beta}-\frac{\dot{\beta}\dot{\alpha}}2+\frac{\dot{\beta}^2}2\right].
\label{ecS4}
\end{eqnarray}
Puede verificarse (hágalo!) que la última de estas ecuaciones se sigue de las
anteriores y, por lo tanto, no suministra información adicional. Restando
(\ref{ecS1}) y (\ref{ecS3}) obtenemos
\begin{equation}
 \frac{\alpha'}{r}+\frac{\beta'}{r} =0,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial r}\left( \alpha(r,t) +\beta(r,t) \right)
 =0.
\end{equation}
Esta ecuación implica entonces que
\begin{equation}
\alpha(r,t) +\beta(r,t) =f(t), \label{abf}
\end{equation}
con $f(t)$ una función dependiente sólo de la coordenada temporal. Por otro
lado, de (\ref{ecS2}) obtenemos que $\beta(r,t) =\beta(r)$. Con esto,
(\ref{abf}) implica que
\begin{equation}
\alpha(r,t) =f(t)-\beta(r). \label{sep}
\end{equation}
Como consecuencia de la separación (\ref{sep}), la función $f(t)$
puede ser elegida, sin pérdida de generalidad, como $f(t)=0$\footnote{Usando
(\ref{sep}) el elemento de línea puede escribirse como
$ds^2=e^{\tilde\alpha(r)}e^{f(t)}(dx^0)^2-e^\beta dr^2-r^2d\Omega^2$. El factor
$e^{f(t)}$ puede ser eliminado realizando un cambio de la coordenada
temporal: $\bar{x}^0=\bar{x}^0(x^0)$, con $\frac{d\bar{x}^0}{dx^0}=e^{f/2}$, de
modo que $ds^2=e^{\tilde\alpha(r)}(d\bar{x}^0)^2-e^\beta dr^2-r^2d\Omega^2$.}.
Por lo tanto,
\begin{equation}
 \alpha(r)=-\beta(r). \label{aimb}
\end{equation}
Observamos que (\ref{aimb}) implica que las componentes de la métrica serán
independientes de la coordenada temporal.

La condición (\ref{aimb}) implica que (\ref{ecS1}) se reduce a (\ref{ecS3})
que, en términos de $A=e^{\alpha}$ adopta la forma
\begin{equation}
 rA'+A-1=0.
\end{equation}
Definiendo $u:=A-1$ esta ecuación se reduce aún más a
\begin{equation}
 ru'+u=0,
\end{equation}
que tiene como solución a
\begin{equation}
 u(r)=-\frac{2m}{r}, \label{solu}
\end{equation}
donde $m$ es una constante (con dimensiones de distancia), y el factor $-2$
 (\ref{solu}) es introducido por conveniencia posterior. Con esto,
podemos reconstruir la solución completa. El elemento de línea correspondiente
a la solución de las ecuaciones en el vacío es
\begin{equation}\marginnote{Schwarzschild coord. de curvatura}
\boxed{ds^2=\left( 1-\frac{2m}{r}\right) (cdt)^2-\frac{dr^2}{\left( 1-\frac
{2m}{r}\right) }-r^2\left[ d\theta^2+\sen^2\theta d\varphi^2\right].}
\label{Sch}
\end{equation}
Equivalentemente,
\begin{align}
g_{00} & =1-\frac{2m}{r},\\
g_{11} & =-\left( 1-\frac{2m}{r}\right) ^{-1},\\
g_{22} & =-r^2,\\
g_{33} & =-r^2\sen^2\theta.
\end{align}
\begin{quotation}
\textbf{Teorema de Birkhoff\footnote{George David Birkhoff: 1884-1944, Matemático Estadounidense. Ver \url{http://en.wikipedia.org/wiki/G._D._Birkhoff}.}}: \textit{Toda solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío es necesariamente estática, es decir, independiente del tiempo, y asintoticamente plana}.
\end{quotation}

Para identificar físicamente la constante $m$ podemos considerar el
campo a distancias muy grandes de la fuente, de modo que el campo
gravitacional sea débil y podamos usar la relación (\ref{g00phi}). Por
tanto, para $r\gg 2m$ tenemos,
\begin{equation}
g_{00}=1-\frac{2m}{r}\approx 1+\frac{2\phi}{c^2}.
\end{equation}
Con esto obtenemos que el potencial newtoniano (es decir, en el límite de
campo débil) correspondiente a la solución encontrada es
\begin{equation}
 \phi=-\frac{mc^2}{r}.
\end{equation}
éste es un potencial ``coulombiano'', es decir, que decae proporcionalmente a $1/r$. Ya que en la teoría de Newton el potencial de un cuerpo esféricamente  simétrico de masa total $M$ es $\phi=-{GM}/ {r}$, podemos identificar
\begin{equation}\label{masa_sch}
 \boxed{m\stackrel{!}{=}\frac{GM}{c^2}.}
\end{equation}
La constante $2m$, es frecuentemente llamada \textit{radio de Schwarzschild}
del cuerpo de masa $M$. La escala de distancias que $2m$ determina tiene importantes propiedades, ya que por ejemplo que cuando $r=2m$ parece haber una
 ``singularidad en la métrica''. En general, en la teoría de RG, cada cuerpo tiene una cierta distancia característica asociada a su masa. Por ejemplo, para el Sol y la Tierra,
\begin{align}
2m_{\odot} & =\frac{2GM_\odot}{c^2}\approx 3 {\rm\ km},\\
2m_{T} & =\frac{2GM_T	}{c^2}\approx 0.9{\rm \ cm}.
%,\\
%2m_{e^-} & =\frac{2GM_e}{c^2} \approx 13.5\times10^{-56} {\rm \ cm}.
\end{align}
Note, sin embargo, que en el caso del Sol, la Tierra, y de hecho casi todos los objetos astronómicos, el radio de Schwarzschild correspondiente es mucho menor que el tamaño de la distribución de materia correspondiente. En otras palabras, en estos casos no es válido considerar la solución de Schwarzschild con $r=2m$ ya que esta solución es válida sólo en el vacío, lo que impone $r\ge R$, donde $R>2m$ es la coordenada radial de la superficie de la distribución de materia que es fuente del campo gravitacional.

La solución de Schwarzschild posee las siguientes propiedades:
\begin{itemize}
\item Es esféricamente simétrica.
\item Es estática (describe el campo gravitacional estacionario generado por \textit{fuentes estáticas}).
\item Es asintóticamente plana: $ds^2\to c^2dt^2-dr^2-r^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)$ para $r\to\infty$. Más precisamente $R^\mu_{\ \nu\lambda\rho}\to 0$ para $r\to\infty$.
\end{itemize}



\subsection{Solución de Schwarzschild en coordenadas isotrópicas}

Las coordenadas $(ct,r,\theta,\varphi)$ son usualmente llamadas ``coordenadas de curvatura'' y en ellas la métrica de Schwarzschild asume una forma relativamente simple.
Una característica de la teoría de RG es que siempre tenemos a
nuestra disposición muchos (en realidad, infinitos) sistemas coordenados. Una
buena razón para buscar un conjunto alternativo de coordenadas para el espaciotiempo de Schwarzschild es que podríamos escribir $ds^2$ en un sistema coordenado isótropo en el que la sección espacial ($t=$cte.) sea proporcional a la usual distancia euclideana:
\begin{equation}
ds^2=\tilde{A}\,(cdt)^2-\tilde{B}\,d\ell^2_{R^3} ,
\end{equation}
donde $d\ell^2_{R^3}=dx^2+dy^2+dz^2$ en coordenadas ``cuasi''-cartesianas, o
$d\ell^2_{R^3}=d\rho^2+\rho^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)$ en coordenadas
``cuasi''-esféricas, con $x=\rho\sen\theta\cos\varphi$, $y=\rho\sen\theta\sen\varphi$ y $z=\rho\cos\theta$.
Entonces, las coordenadas isotrópicas que buscamos deben ser tales que el elemento de línea adopte la forma
\begin{equation}
ds^2=\tilde{A}(\rho)\,(cdt)^2-\tilde{B}(\rho)\left[d\rho^2+\rho^2(d\theta^2+\sen^2\theta\,d\varphi^2)\right] .\label{dsisot}
\end{equation}
Comparando (\ref{dsisot}) con (\ref{Sch}) encontramos las siguientes condiciones:
\begin{equation}
 \tilde{A}(\rho)=1-\frac{2m}{r}, \label{ci1}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}(\rho)\,d\rho^2=\left(1-\frac{2m}{r}\right)^{-1}\,dr^2, \label{ci2}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}(\rho)\,\rho^2=r^2. \label{ci3}
\end{equation}
Estas condiciones son satisfechas si ambos sistemas de coordenadas están relacionados por una simple transformación de la coordenadas radial, de la forma $\rho=\rho(r)$. La condición (\ref{ci2}) suministra una ecuación diferencial para $\rho(r)$. Conocida esta relación, las funciones $\tilde{A}$ y $\tilde{B}$ quedan determinadas por las condiciones (\ref{ci1}) y (\ref{ci3}), respectivamente. Usando (\ref{ci3}) y suponiendo que $d\rho/dr>0$ y $r>2m$ podemos reescribir (\ref{ci2}) como
\begin{equation}
 \frac{d\rho}{\rho}=\frac{dr}{\sqrt{r(r-2m)}}, \qquad r>2m.
\end{equation}
Integrando esta relación\footnote{$\int dr/\sqrt{r(r-2m)}=\ln\left|r-m+\sqrt{r^2-2mr}\right|$.} obtenemos, luego de algo de álgebra
% \begin{equation}
% \ln\rho+cte =\ln\left(\sqrt{r^2-2mr}+r-m \right)
% \end{equation}
% \begin{equation}
% 2\rho =\sqrt{r^2-2mr}+\left( r-m\right)
% \end{equation}
\begin{equation}
r =\beta\rho\left(1+\frac{m}{2\beta\rho}\right)^2 ,
\end{equation}
donde $\beta$ es una constante, relacionada con la escala elegida para la coordenada radial $\rho$. Sin perder generalidad, podemos elegir esta constante de modo que asintóticamente se aproxime a la usual coordenada radial esférica en un espacio plano. Esto requiere que $\tilde{B}\to 1$ para $\rho\to\infty$ o, equivalentemente, que $\rho/r\to 1$. Así obtenemos $\beta=1$ y con esto
\begin{equation}
r =\rho\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^2, \qquad \rho>\frac{m}{2} , \label{riso}
\end{equation}
\begin{equation}
 \tilde{B}=\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^4.
\end{equation}
Finalmente, reemplazando (\ref{riso}) en (\ref{ci1}) encontramos la otra función requerida:
\begin{equation}
 \tilde{A}= \frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^2}.
\end{equation}
Resumiendo, el elemento de línea de la solución de Schwarzschild exterior en coordenadas isotrópicas tiene la forma:
\begin{equation}\marginnote{Schwarzschild coord. isotrópicas}
\boxed{ds^2=\frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac
{m}{2\rho}\right)^2}\,(cdt)^2-\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^{4}\left[ d\rho^2+\rho^2\left( d\theta^2+\sen^2\theta d\varphi
^2\right) \right], \qquad \rho>\frac{m}{2},} \label{schiso}
\end{equation}
o, alternativamente,
\begin{equation}
ds^2=\frac{\left(1-\frac{m}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac
{m}{2\rho}\right)^2}\,(cdt)^2-\left(1+\frac{m}{2\rho}\right)^{4}\left[dx^2+dy^2+dz^2\right], \qquad \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\label{schiso2}
\end{equation}

% \subsection{Singularidades en la métrica de Schwarzschild}
%
% Al observar el elemento de línea
% \begin{equation}
% ds^2=-\left( 1-\frac{2M}{r}\right) dt^2+\left( 1-\frac{2M}{r}\right)
% ^{-1}dr^2+r^2d\Omega ^2
% \end{equation}%
% nos percatamos de que $g_{tt}\rightarrow \infty $ cuando $r\rightarrow 0$ y
% que $\left\vert g_{rr}\right\vert \rightarrow \infty $ cuando $r\rightarrow
% 2M$, señalando la ocurrencia de algo extraño en estos radios. Sin
% embargo, los coeficientes métricos son dependientes de la elección
% del sistema coordenado, y no son por lo tanto cantidades físicamente
% relevantes. Sin embargo, si calculamos el invariante de curvatura
% \begin{equation}
% R^{\mu\nu\rho \sigma }R_{\mu\nu\rho \sigma }=\frac{48M^2}{r^6},
% \end{equation}%
% vemos inmediatamente que diverge para $r\rightarrow 0$, convenciéndonos
% que este radio representa una legítima singularidad física. Esto
% era de algún modo esperable, ya que hemos considerado una masa puntual $%
% M $ ubicada en el origen de coordenadas.
%
% Interesantemente, ningún invariante de curvatura se hace infinito para $%
% r=2M$, lo cual nos induce a pensar que no es realmente singular, sino que
% hemos simplemente escogido un mal sistema coordenado. Más adelante
% llevaremos a cabo un estudio de las geodésicas de la geometría de
% Schwarzschild, y mostraremos que un observador en una geodésica radial
% puede cruzar $r=2M$ en un intervalo finito de su tiempo propio. Finalmente,
% construiremos un sistema de coordenadas en el cual no hay ninguna
% singularidad en $r=2M$, y el cual permite exhibir de modo transparente la
% estructura causal de la geometría.

\subsection{Geodésicas en la geometría de Schwarzschild}

Para considerar la ecuación de las geodésicas necesitamos evaluar los
símbolos de Christoffel para la métrica de Schwarzschild, en coordenadas de curvatura. Las componentes no nulas son:
\begin{eqnarray}
\Gamma_{\ 01}^{0} &=&\frac{m}{r(r-2m) },\qquad \Gamma_{\
00}^1=\frac{(r-2m) m}{r^3},\qquad \Gamma_{\ 11}^1=-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }, \nonumber \\
\Gamma_{\ 22}^1 &=&-(r-2m) ,\qquad \Gamma_{\ 33}^1=-\left(
r-2m\right) \sen ^2\theta ,\qquad \Gamma_{\ 12}^2=\frac{1}{r}, \nonumber \\
\Gamma_{\ 33}^2 &=&-\sen \theta \cos \theta ,\qquad
\Gamma_{\ 13}^3=\frac{1}{r},\qquad \Gamma_{\ 23}^3=\frac{\cos\theta}{\sen
\theta}.
\end{eqnarray}

\subsection{Geodésicas tipo tiempo}
En este caso, parametrizamos las geodésicas usando el tiempo propio $\tau$ sobre ellas, $x^\mu=x^\mu(\tau)$. Con esto, las ecuaciones adoptan la siguiente forma explícita:
\begin{eqnarray}
\ddot{t}+\frac{2m}{r(r-2m) }\,\dot{t}\,\dot{r}&=&0, \label{egS0}\\
\ddot{r}+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,\dot{t}^2-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }\,\dot{r}^2-(r-2m) \left[ \dot{\theta}^2+\sen
^2\theta \dot{\varphi}^2\right] &=&0, \label{egS1}\\
\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}-\sen \theta \cos \theta
\dot{\varphi}^2 &=&0, \label{egS2}\\
\ddot{\varphi}+\frac2{r}\dot{r}\dot{\varphi}+2\frac{\cos\theta}{\sen\theta}
\dot{\theta}\dot{\varphi}&=&0,\label{egS3}
\end{eqnarray}%
donde hemos denotado $\dot{f}:={df}/{d\tau}$.

Las ecuaciones (\ref{egS0}) y (\ref{egS3}) son equivalentes a
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)} \frac{d\ }{d\tau}\left[\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}\right]&=&0,\\
\frac{1}{r^2\sen^2\theta} \frac{d\ }{d\tau}\left[r^2\sen^2\theta\dot{\varphi}\right]&=&0.
\end{eqnarray}
En esta forma, es claro que ambas ecuaciones implican la existencia de \textit{dos constantes del movimiento} (es decir, cantidades que asumen el mismo valor en todos los puntos de la línea de mundo asociada a la geodésica considerada). Por simplicidad introduciremos dos constantes adimensionales, $k$ y $h$, definidas por
\begin{equation}\marginnote{cantidades conservadas}
 k:=\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}, \qquad hmc:=r^2\sen^2\theta\dot{\varphi},
\label{kh}
\end{equation}
cuyos valores quedan determinados por las condiciones iniciales del movimiento.
Estas constantes están relacionadas con las usuales definiciones newtonianas de la energía y momentum angular por unidad de masa del cuerpo orbitando, las que pueden recobrarse en los límites apropiados\footnote{Es decir, campo débil $r\gg 2m$ y velocidades norelativistas $|dr/dt|\ll c$, $r|d\theta/dt|\ll c$ y $r|d\varphi/dt|\ll c$.} a partir de ${\cal E}=kc^2$ y ${\cal L}=hmc$, respectivamente. Por esto, llamaremos a $k$ y $h$ las \textit{constantes de energía y momentum angular}, respectivamente.

Además, tal como en el caso newtoniano (ver apéndice \ref{app:Kepler}) es directo verificar que la órbita está contenida en un plano. Esto se manifiesta en que si inicialmente el movimiento está contenido en un plano, que dada la simetría del problema, podemos elegir como el plano ecuatorial, es decir, $\theta(0)=\pi/2$ y $\dot\theta(0)=0$ entonces
(\ref{egS3}) implica que $\ddot\theta(0)=0$, y (tomando las derivadas sucesivas), que todas las derivadas superiores de $\theta$ son nulas: en otras palabras, que
\begin{equation}
\theta(\tau)=\frac{\pi}{2} \label{thetapi2}
\end{equation}
es una solución para todo $\tau$. Con lo anterior, sólo la ecuación radial
(\ref{egS1}) debe ser aún resuelta.

Adicionalmente, podemos considerar la identidad
\begin{equation}
g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}\equiv c^2,
\end{equation}
que suministra la siguiente relación entre las derivadas de las coordenadas sobre la
trayectoria:
\begin{equation}
 \left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2\dot{t}^2
-\frac{\dot{r}^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}-r^2\dot{\varphi}^2=c^2.
\label{uuc2p}
\end{equation}


Usando (\ref{kh}) y (\ref{thetapi2}) podemos reescribir (\ref{egS1}) y
(\ref{uuc2p}) como
\begin{equation}
\ddot{r}+\frac{mc^2k^2}{r(r-2m)}-\frac{m}{r(r-2m)}\,
\dot{r}^2-h^2m^2c^2\frac{(r-2m)}{r^4} =0,
\label{egS1b}
\end{equation}
\begin{equation}
 \dot{r}^2=k^2c^2-c^2\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{h^2m^2}{r^2}
\right). \label{uuc22}
\end{equation}
Puede verificarse (hágalo!) que (\ref{uuc22}) implica la condición (\ref{egS1b}). Por lo tanto, sólo es necesario resolver (\ref{uuc22}). El análisis de la condición (\ref{uuc22}) se simplifica usando el \textit{método del potencial efectivo}.

\subsubsection{Potencial Efectivo}
Definimos el ``potencial efectivo''
\begin{equation}\marginnote{Potencial Efectivo}
 \tilde{V}(r):=\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{h^2m^2}{r^2}
\right),
\end{equation}
de modo que (\ref{uuc22}) puede reescribirse como
\begin{equation}
 \frac{\dot{r}^2}{c^2}=k^2-\tilde{V}(r).
\label{uuc23}
\end{equation}
Esta relación es \textit{análoga} a la condición de conservación de la energía mecánica de un cuerpo en un movimiento unidimensional no-relativista:
\begin{equation}
 v^2=\frac{2}{m}(E-V).
\end{equation}
Así, la relación (\ref{uuc23}) restringe los valores entre los que la coordenada radial $r$ puede variar a aquellos que efectivamente satisfacen $\dot{r}^2\ge 0$, es decir, aquellos valores de $r$ en los cuales el potencial asume valores menores que el cuadrado de la constante de energía de la órbita:
\begin{equation}
 \tilde{V}(r)\le k^2.
\end{equation}
Note además que (\ref{uuc23}) implica (luego de derivar respecto al tiempo propio) que
\begin{equation}\label{ddotr}
\frac{2}{c^2}\ddot{r}=-\frac{d\tilde{V}}{dr}.
\end{equation}
Puede verificarse (hágalo!) que el potencial efectivo posee dos puntos extremos $r_A$ y $r_B$ de la forma
\begin{equation}
 r_A=\frac{mh^2}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{12}{h^2}}\right), \qquad r_B=\frac{mh^2}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{12}{h^2}}\right), \label{rAB}
\end{equation}
es decir, que satisfacen $\tilde{V}'(r_A)=\tilde{V}'(r_B)=0$. Estos puntos extremos existen sólo si $h\ge2\sqrt{3}\approx 3.464$. Además, puede verificarse que en este caso $\tilde{V}''(r_A)\le 0$ y $\tilde{V}''(r_B)\ge 0$ y que la igualdad $r_A=r_B$ se encuentra precisamente si $h=2\sqrt{3}$.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm,angle=0]{fig/fig-potencial-efectivo.pdf}
\caption{Potencial Efectivo (escala logarítmica en $r$).} \label{fpe}
\end{center}
\end{figure}

Si $h>2\sqrt{3}$ el potencial tiene entonces un máximo en $r=r_A$ y un mínimo en $r=r_B$. Si $h=2\sqrt{3}$ ambos puntos convergen en un punto de inflexión, $r_A=r_B$, y si $h<2\sqrt{3}$ no existen extremos locales.

De acuerdo a lo anterior, existen varios tipos de órbitas posibles, dependiendo de los valores de $k$ y $h$:

\begin{itemize}
 \item Si $h<2\sqrt{3}$ y $k<1$ el movimiento radial es acotado, con un máximo $r_{\rm max}$ determinado por la igualdad $\tilde{V}(r_{\rm max})=k^2$, pero no existe un mínimo, de modo que en estos casos la partícula finalmente cae hacia el cuerpo central.
\item Si $h<2\sqrt{3}$ y $k>1$ la trayectoria no está acotada en $r$, correspondiendo a una partícula que viene desde el infinito y cae hacia el cuerpo central, o que escapa desde éste hasta el infinito.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2>\tilde{V}(r_A)$ tenemos una situación similar al caso anterior ($h<2\sqrt{3}$ y $k>1$).
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_A)$ existen en principio órbitas circulares, con $r=r_{\rm c}=\text{cte.}$, tal que $\tilde{V}(r_{\rm c})=k^2$, pero éstas son \textit{inestables}. Ver \eqref{ddotr}.
\item Si $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k>1$ existen órbitas no ligadas, donde $r$ puede variar desde un valor mínimo $r_{\rm min}$ (tal que $\tilde{V}(r_{\rm min})=k^2$, $r_{\rm min}>r_A$) hasta el infinito. Ejemplo de este caso son partículas que vienen del infinito, son deflectadas por el cuerpo central y escapan nuevamente al infinito. En este caso son también posibles órbitas que caen inevitablemente al cuerpo central.
\item Si $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k<1$ existen órbitas ligadas, cuyas coordenadas radiales varían entre $r_{\rm min}$ y $r_{\rm max}$, con $\tilde{V}(r_{\rm min})=\tilde{V}(r_{\rm max})=k^2$.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_B)$ existen órbitas circulares estables, con $r=r_{\rm c}=\text{cte.}$, tal que $\tilde{V}(r_{\rm c})=k^2$.
\item Si $h>2\sqrt{3}$ y $k^2<\tilde{V}(r_B)$ tenemos una situación similar al primer caso aquí listado ($h<2\sqrt{3}$ y $k<1$).
\end{itemize}

\subsubsection{órbitas circulares}
De acuerdo a la clasificación anterior, estudiamos aquí el caso en que $h>2\sqrt{3}$ y $k^2=\tilde{V}(r_B)$. Usando (\ref{rAB}b) encontramos (luego de algo de álgebra) que las constantes de movimiento apropiadas a un movimiento circular estable deben satisfacer la relación siguiente
% \begin{equation}
%  k^2={\frac {2\left(h^2+h\sqrt{h^2-12}-4\right)^2} {h\left(h+\sqrt{h^2-12}\right)^3}}.
% \end{equation}
\begin{equation}
h_{\rm c}=\frac{r_{\rm c}}{\sqrt{m(r_{\rm c}-3m)}}, \qquad  k_{\rm c}=\frac{\left(1-\frac{2m}{r_{\rm c}}\right)}{\sqrt{1-\frac{3m}{r_{\rm c}}}}.
\end{equation}

Usamos (\ref{kh}a)  para expresar $\dot{t}$ en términos de las constantes de movimiento (recuerde que elegimos $\theta=\pi/2$):
% \begin{equation}
%  \dot{t}_{\rm c}=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}=\sqrt{\frac{2h}{h+\sqrt{h^2-12}}}.
% \end{equation}
\begin{equation}
 \dot{t}_{\rm c}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3m}{r_{\rm c}}}}.
\end{equation}
Similarmente, a partir de (\ref{kh}b) podemos evaluar $\dot\varphi$ en términos de las constantes de movimiento,
% \begin{equation}
%  \dot\varphi_{\rm c}=\frac{hmc}{r_{\rm c}^2}=\frac{4c}{mh}\frac{1}{\left(h+\sqrt{h^2-12}\right)^2}.
% \end{equation}
\begin{equation}
 \dot\varphi_{\rm c}=\frac{c}{r_{\rm c}}\sqrt{\frac{m}{r_{\rm c}-3m}}.
\end{equation}
Ya que tanto $ \dot{t}_{\rm c}$ como $ \dot\varphi_{\rm c}$ son constantes, podemos integrar las ecuaciones de movimiento directamente, obteniendo
\begin{equation}
 x^\mu(\tau)=(c\dot{t}_{\rm c}\tau,r_{\rm c},\frac{\pi}{2}, \dot\varphi_{\rm c}\tau).
\end{equation}
La menor órbita circular estable (``innermost stable circular orbit'', ISCO), se obtiene, de acuerdo a (\ref{rAB}b), en el límite $h\to 2\sqrt{3}$. En este caso
\begin{equation}
 r_{\rm c}=6\,m,
\end{equation}
y
\begin{equation}
 k_{_{\rm ISCO}}= \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \dot{t}_{_{\rm ISCO}}=\sqrt{2}, \qquad \dot\varphi_{_{\rm ISCO}}=\frac{\sqrt{3}}{18}\frac{c}{m}.
\end{equation}
Por lo tanto, a diferencia del caso newtoniano, \textbf{\textit{la teoría gravitacional de Einstein predice un límite para la existencia de órbitas circulares estables}}. En la teoría newtoniana, ellas existen para cada valor de $r>0$, en RG sólo pueden existir para $r_{\rm c}\ge6m$.

\subsubsection{órbitas ligadas no-circulares}
Este es el caso en que $h>2\sqrt{3}$, $\tilde{V}(r_B)<k^2<\tilde{V}(r_A)$ y $k<1$. Para analizar la forma de la trayectoria es conveniente considerar cómo cambia la coordenada radial en términos de la angular, $r=r(\varphi)$. Para esto, realizamos el cambio de variables correspondiente, de modo que
\begin{equation}
r':=\frac{dr}{d\varphi}=\frac{\frac{dr}{d\tau}}{\frac{d\varphi}{d\tau}}=\frac{
\dot{r}}{\dot{\varphi}}.
\end{equation}
Usando ahora (\ref{kh}b) podemos escribir
\begin{equation}
\dot{r} =\frac{hmc}{r^2}r', \qquad \ddot{r}=\frac{h^2m^2c^2}{r^4}\left[-\frac{2}{r}r'^2+r''\right].
\end{equation}
Adicionalmente, la solución de las ecuaciones de movimiento es más simple, tal como en el caso newtoniano, definiendo la variable auxiliar
\begin{equation}
 u:=\frac{1}{r},
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
r' =-\frac{1}{u^2} u',  \qquad r''=\frac{2}{u^3}u'^2-\frac{1}{u^2}u''.
\end{equation}
Con estos cambios, la ecuación (\ref{uuc22})  se transforma en
\begin{equation}
h^2m^2u'^2-k^2+(1-2mu)(1+h^2m^2u^2)=0.
\end{equation}
Derivando esta relación y considerando el caso no circular, es decir $u'\neq 0$, obtenemos
\begin{equation}
u''+u=\frac{1}{mh^2}+3m\,u^2 \label{ecuGR}.
\end{equation}
La ecuación newtoniana correspondiente, ver (\ref{EC1}),  es
\begin{equation}
 u''+u=\frac{1}{mh^2},\label{ecrNew}
\end{equation}
con solución
\begin{equation}
 u_0(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left(1+e\cos\varphi\right).
\end{equation}
% Por lo tanto, el valor máximo de $u$ es del orden $u_{\rm max}\approx \frac{1}{mh^2}$.
En estas condiciones, el término ``extra'' en el lado derecho de (\ref{ecuGR}) es mucho más pequeño que el término ``newtoniano''. En efecto, definiendo la variable adimensional
\begin{equation}
 w:=mh^2\,u.
\end{equation}
Entonces (\ref{ecuGR})  es equivalente a
\begin{equation}
w''+w=1+\epsilon\,w^2 ,\label{ecwGR}
\end{equation}
con
\begin{equation}
 \epsilon:=\frac{3}{h^2}.
\end{equation}
Usando (\ref{kh}b) encontramos que, en el caso de cuerpos orbitando en campos
débiles (como es el caso en nuestro sistema solar),
\begin{equation}
 \epsilon=\frac{3m^2c^2}{r^4\dot\varphi^2}\approx\frac{3m^2c^2}{r^2v_\varphi^2}
 \approx 3\frac{m^2}{r^2}\frac{c^2}{v_\varphi^2}\approx 3\frac{m}{r}\ll 1.
\end{equation}
En particular para Mercurio $\epsilon\approx 10^{-7}$. Por otro lado $w\approx
1$.

Usando el método perturbativo, postulamos la siguiente expansión para la solución de (\ref{ecuGR}):
\begin{equation}
w(\varphi,\epsilon)=w_0(\varphi)+\epsilon\, w_1(\varphi) +\epsilon^2\,w_2(\varphi)+\mathcal{O}(\epsilon^3), \label{expw}
\end{equation}
donde la solución ``no perturbada'' es
\begin{equation}
 w_0(\varphi)=1+e\cos\varphi ,
\end{equation}
y donde $w_1$, $w_2$ se suponen de orden de magnitud 1. Reemplazando la expansión (\ref{expw}) en (\ref{ecuGR}) e igualando términos del mismo orden en potencias de $\epsilon$, obtenemos la siguiente ecuación para la primera perturbación:
\begin{eqnarray}
 w_1''+w_1&=&1+2e\cos\varphi+e^2\cos^2\varphi \\
&=& (1+\frac{e^2}{2})+2e\cos\varphi+\frac{e^2}{2}\cos(2\varphi). \label{ecw1}
\end{eqnarray}
Esta es una ecuación tipo oscilador armónico forzado, donde el término forzante es la superposición de un término constante, un \textit{término resonante}, y un término periódico no resonante. Su solución es del tipo
\begin{equation}
 w_1(\varphi)=A+B\varphi\sen\varphi+C\cos(2\varphi).
\end{equation}
Reemplazando esta solución general en (\ref{ecw1}) podemos determinar las constantes involucradas:
\begin{equation}
 A=1+\frac{e^2}{2}, \qquad B=e, \qquad C=-\frac{e^2}{6}.
\end{equation}
Con esto, la solución de la ecuación (\ref{ecuGR}) a primer orden en $\epsilon$ adopta la forma:
\begin{equation}\label{solucasi}
 u(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left[1+e\cos\varphi+\epsilon\left[\underbrace{
(1+\frac { e^2 } { 2 } )}_\text{pert.
constante}+\underbrace{e\varphi\sen\varphi}_\text{pert. ``secular''}
-\underbrace{\frac{e^2 }{6} \cos(2\varphi)}_\text{pert. periódica}\right ]
\right ] +\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Usando ahora
\begin{equation}
 \cos(\epsilon\varphi) =1+\mathcal{O}(\epsilon^2), \qquad
\sen(\epsilon\varphi) =\epsilon\varphi+\mathcal{O}(\epsilon^3),
\end{equation}
podemos escribir los términos newtonianos y de perturbación secular como
\begin{equation}
 \cos\varphi+\epsilon\varphi\sen\varphi=\cos\left[(1-\epsilon)\varphi\right]
+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Análogamente, para la perturbación periódica podemos usar
\begin{equation}
 \epsilon\cos(2\varphi)=\epsilon\cos\left[2(1-\epsilon)\varphi\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con esto podemos expresar nuestra solución como
\begin{equation}\marginnote{Trayectoria perturbada}
 \boxed{u(\varphi)=\frac{1}{mh^2}\left[1+\epsilon(1+\frac { e^2 } { 2 }
)+e\cos\left[(1-\epsilon)\varphi\right] -\frac { e^2
}{6}\epsilon\cos[2(1-\epsilon)\varphi]\right ] +\mathcal{O}(\epsilon^2).} \label{solu1}
\end{equation}
Esta forma de la solución a primer orden tiene la ventaja que revela más claramente que la órbita (nuevamente, a primer orden en $\epsilon$) \textit{es periódica en $\varphi$, pero con un periodo angular distinto de $2\pi$}. Como consecuencia, la órbita no se cierra luego de una revolución completa. Este hecho implica en particular un \textit{corrimiento del perihelio de la órbita}.

\subsubsection{El Avance del Perihelio de Mercurio}

De (\ref{solu1}) vemos que, a primer orden en $\epsilon$, el periodo angular de la órbita no es $2\pi$, sino $2\pi/(1-\epsilon)>2\pi$. Esto significa que la órbita retornará a una misma distancia dada del centro de fuerzas (por ejemplo, el perihelio) sólo luego de realizar algo más que una rotación completa en torno al centro de fuerzas, en un ángulo de $2\pi/(1-\epsilon)$. En otras palabras, el \textit{corrimiento angular} de la órbita es dado por
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{fig/fig-precesion-02.pdf}
\caption{Corrimiento del perihelio (adaptada a partir de \href{http://en.wikipedia.org/wiki/File:Perihelion_precession.svg}{esta} figura original).}
\end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{1-\epsilon}-2\pi=2\pi\epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\frac{6\pi}{h^2}+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Podemos expresar $\epsilon$ en términos del semieje mayor y la excentricidad de la órbita, ya que
\begin{equation}
a:=\frac{r_{\rm min}+r_{\rm max}}{2}=\frac{mh^2}{1-e^2}+\mathcal{O}(\epsilon).
\end{equation}
Así obtenemos, a primer orden,
\begin{equation}
 (\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx\frac{6\pi m}{a(1-e^2)},
\end{equation}
o, en términos de la masa del cuerpo central:
\begin{equation}\marginnote{Avance periastro}
 \boxed{(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx \frac{6\pi GM}{ac^2(1-e^2)}.}
\end{equation}

Esta expresión fue derivada por Einstein en 1915 y aplicada al caso de la órbita de Mercurio \cite{Einstein15}. El avance del perihelio de Mercurio era un fenómeno conocido antes de la formulación de la teoría de la Relatividad General, ya que Le Verrier \cite{LeVerrier} publicó en 1859 sus observaciones y cálculos en los que dejaba en evidencia un \textit{avance anómalo} de $\approx 45\pm 5$''/siglo  (valor citado por Einstein en \cite{Einstein15}). Este valor anómalo es el resultante de restar el valor esperado de acuerdo a la teoría de newton al valor observado\footnote{Luego de también sustraer el efecto de la \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Axial_precession}{precesión general}. Ver referencia \cite{Clemence47} para más detalles.} (de la época) de $\approx 574$''/siglo.  De acuerdo a Clemence (1947) \cite{Clemence47} las mayores contribuciones newtonianas al corrimiento del perihelio de Mercurio son: Venus ($\approx 278$''/siglo), Júpiter ($\approx 153$''/siglo), la Tierra ($\approx 90$''/siglo), Saturno ($\approx 7$''/siglo), Marte ($\approx 2.5$''/siglo), Urano ($\approx 0.14$''/siglo), Neptuno ($\approx 0.042$''/siglo). Con esto, el corrimiento anómalo asciende a $\approx 43$''/siglo, valor no podía ser calculado usando la teoría newtoniana, y que fue entonces explicado por la nueva teoría de Einstein.

Para el caso de Mercurio\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/mercuryfact.html}.}  $a\approx 57.91\times 10^6\text{\,km}$, $e\approx 0.2056$. Además, $GM_\odot/c^2\approx 1.48\text{\,km}$. Con esto, la predicción relativista para el corrimiento del perihelio de Mercurio asciende a $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 5.03\times 10^{-7}{\,\rm rad/rev}\approx 0.104$''/rev. Como el periodo orbital de Mercurio es $T\approx 87.97\text{ días}\approx 2,41\times 10^{-3}\text{ siglo}$, entonces  $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 43$''/siglo. El valor aceptado actualmente para la predicción relativista es de $(\Delta\varphi)_{\rm rel}\approx 42.98$''/siglo, ver \cite{NW86}. Este resultado está en completo acuerdo con el resultado observacional aceptado actualmente, de $42.98(1.000\pm 0.001)$''/siglo. Ver \cite{Will06}, sección 3.5, para detalles adicionales.

La predicción de RG para el corrimiento del perihelio ha sido además verificada en nuestro sistema solar para las órbitas de Venus, la Tierra y Marte. En esos casos el corrimiento relativista asciende a aproximadamente $8.65$''/siglo, $3.85$''/siglo y $1.36$''/siglo, respectivamente \cite{OR94}. Una de las mejores verificaciones actualmente disponible es la correspondiente al corrimiento del perihelio de la órbita del pulsar binario de Hulse \& Taylor PRS 1913+16, para el cual el corrimiento es de aproximadamente 13''/rev (y el periodo de rotación es algo menor que 8 horas!) \cite{Taylor93}. En el año 2020 se reportó por primera vez la detección de este efecto en la órbita de la estrella S2 que orbita en torno al agujero negro en el centro de nuestra galaxia (SgA${}^*$) \cite{GRAVITY2020}. En este caso se observa $(\Delta\varphi)_{\rm rel} = 12'/\rm rev$ para una órbita con $e=0.88$.

\subsection{Desvío de la luz}

En este caso, realizaremos un cálculo similar al correspondiente a trayectorias tipo tiempo, con la diferencia que la ecuación de la geodésica, usando un parámetro arbitrario $\lambda$, adopta la forma
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=f(\lambda)\frac{dx^\mu}{d\lambda},
\end{equation}
De este modo las ecuaciones de movimiento toman la forma (aquí denotamos $\dot{(\ \,)}:={d(\ \,)}/{d\lambda}$):
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\frac{d\ }{d\lambda}\left[\left(1-\frac{2m}{r}\right)\dot{t}\right]&=&f\,\dot{t}, \label{egSl0}\\
\ddot{r}+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,\dot{t}^2-\frac{m}{r\left(
r-2m\right) }\,\dot{r}^2-(r-2m) \left[ \dot{\theta}^2+\sen
^2\theta \dot{\varphi}^2\right] &=&f\,\dot{r}, \label{egSl1}\\
\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}-\sen \theta \cos \theta
\dot{\varphi}^2 &=&f\,\dot{\theta}, \label{egSl2}\\
\frac{1}{r^2\sen^2\theta}\frac{d\ }{d\lambda}\left[r^2\sen^2\theta\dot{\varphi}\right] &=&f\,\dot{\varphi}.\label{egSl3}
\end{eqnarray}%
Note que hemos factorizado los términos al lado izquierdo de (\ref{egSl0}) y (\ref{egSl3}). Nuevamente, el movimiento está confinado a un plano, que podemos elegir como el plano ecuatorial, es decir, con $\theta(\lambda)=\pi/2$. Verificamos que esta solución para $\theta$ satisface (\ref{egSl2}). Tal como en el caso tipo tiempo, finalmente nos concentraremos en la forma de la trayectoria. Por esto, elegiremos como parámetro al ángulo $\varphi$, es decir, $\lambda:=\varphi$. Con esto, $\dot{\varphi}=1$ y podemos determinar la función $f$ correspondiente a partir de (\ref{egSl3}):
\begin{equation}
f=\frac{d\ }{d\varphi}\ln\left[r^2\right]=\frac{2}{r}r'.
\end{equation}
Introduciendo esta función en (\ref{egSl0}) obtenemos, luego de una simple álgebra,
\begin{equation}
\frac{d\ }{d\varphi}\ln\left[\frac{r^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)t'}\right]=0,
\end{equation}
que expresa el hecho que existe una cantidad conservada en el movimiento:
\begin{equation}\label{ccl}
 \frac{r^2}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\frac{d\varphi}{dt}=:\frac{c}{\alpha}.
\end{equation}
Aquí, para conveniencia posterior, hemos introducido $\alpha$ como constante, con dimensiones $[\alpha]=L^{-1}$, determinada por las condiciones iniciales del movimiento.

Por otro lado, la ecuación radial (\ref{egSl1}) se reduce a
\begin{equation}
 r''+\frac{mc^2(r-2m)}{r^3}\,t'^2-\frac{m}{r\left(r-2m\right) }\,r'^2-(r-2m) =\frac{2}{r}r'^2. \label{ecr2l}
\end{equation}

Tal como en el caso tipo tiempo, esta ecuación puede derivarse de la ecuación de primer orden, en este caso, de la condición $g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu=0$. Esta condición implica que
\begin{equation}
\left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2\left(\frac{dt}{d\varphi}\right)^2-\frac{1}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}\left(\frac{dr}{d\varphi}\right)^2-r^2=0. \label{e2orl}
\end{equation}
Usando (\ref{ccl}) para expresar $dr/d\varphi$ en términos de $r$ y la constante de moviento $\alpha$, la condición (\ref{e2orl}) se reduce a
\begin{equation}\label{ecrpf}
 r'^2+r^2-2mr-\alpha^2r^4=0,
\end{equation}
donde $'$ denota la derivada con respecto a $\varphi$.

Introduciendo ahora $u:=1/r$ transformamos esta ecuación en
\begin{equation}
 u'^2+u^2=\alpha^2+2mu^3. \label{ecul0}
\end{equation}
Derivando esta ecuación llegamos a una ecuación de segundo orden en las derivadas de $u$ que, tal como en el caso tipo tiempo, es equivalente a la ecuación (\ref{ecr2l}):
\begin{equation}
 u''+u=3mu^2. \label{ecglrg}
\end{equation}
Esta ecuación es la análoga a (\ref{ecuGR}). Tal como en el caso anterior, el término introducido por la teoría de RG es $3mu^2$. Puede comprobarse que la ecuación newtoniana, que corresponde al límite $m\to 0$, es
\begin{equation}
 u''+u=0, \label{ecglnew}
\end{equation}
y que \textit{sus soluciones son líneas rectas}. En efecto, una solución general de (\ref{ecuGR}) puede expresarse en la forma siguiente:
\begin{equation}
 u_0(\varphi)=\frac{1}{D}\sen(\varphi-\varphi_0),
\end{equation}
donde $D$ es una constante con dimensiones de longitud y $\varphi_0$ una constante angular. Entonces tendremos que
\begin{equation}
x=r\cos\varphi=D\frac{\cos\varphi}{\sen(\varphi-\varphi_0)}, \qquad
y=r\sen\varphi=D\frac{\sen\varphi}{\sen(\varphi-\varphi_0)}.
\end{equation}
Una simple álgebra permite entonces relacionar $x$ con $y$, obteniendo
\begin{equation}
 y=\frac{D}{\cos\varphi_0}+\left(\tan\varphi_0\right)x. \label{recta}
\end{equation}
La expresión (\ref{recta}) describe una recta en el plano $x-y$, siendo $D$ la \textit{distancia mínima de la recta al origen} y $\varphi_0$ el ángulo que forma la recta con el eje $x$. Ver figura \ref{fig:recta}.
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-recta.pdf}
\caption{Solución newtoniana para el movimiento del rayo de luz.}
\label{fig:recta}
\end{center}
\end{figure}

Determinaremos nuevamente una solución aproximada de (\ref{ecglrg}). Primero definimos la variable adimensional $w(\varphi):=Du(\varphi)$. Con esto (\ref{ecglrg}) se transforma en
\begin{equation}
 w''+w=\epsilon\, w^2, \label{ecglrgw}
\end{equation}
que tiene como solución ``sin perturbar'' a
\begin{equation}
 w_0(\varphi)=\sen(\varphi-\varphi_0). \label{w0l}
\end{equation}
La constante $\epsilon$ tiene el valor
\begin{equation}
 \epsilon:=\frac{3m}{D},
\end{equation}
que es mucho menor que 1, ya que suponemos que el rayo de luz pasa suficientemente lejos del centro de fuerzas de modo que $D\gg m$. Suponemos además que $w\approx 1$. Con estos ingredientes determinaremos una solución perturbativa de la forma (\ref{expw}), con $w_0$ dado por (\ref{w0l}). Introduciendo la expansión (\ref{expw}) y usando (\ref{w0l}) encontramos la ecuación para la primera perturbación $w_1$:
\begin{equation}
 w_1''+w_1=\sen^2(\varphi-\varphi_0). \label{ecw1l}
\end{equation}
La solución general de esta ecuación es de la forma
\begin{equation}
 w_1(\varphi)=A+B\cos(\varphi-\varphi_0+\beta)+C\cos^2(\varphi-\varphi_0).
\end{equation}
Substituyendo esta expresión en (\ref{ecw1l}) encontramos que $A=C=1/3$, mientras que las constantes $B$ y $\beta$ pueden adoptar valores arbitrarios. Sin embargo, sin pérdida de generalidad es posible elegir\footnote{En efecto, si $B\neq 0$ y $\beta\neq 0$, la solución puede reescribirse, \textit{a primer orden en} $\epsilon$ como
\begin{equation*}
u(\varphi)=\frac{1}{\tilde{D}}\left[\sen(\varphi-\tilde{\varphi}_0)+\frac{m}{\tilde{D}}\left(1+\cos^2(\varphi-\tilde{\varphi_0})\right)\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2),
\end{equation*}
con $\tilde{D}:=D/(1-\epsilon B\sen\beta)$ y $\tilde{\varphi}_0:=\varphi_0-\epsilon B\cos\beta$. Esta expresión es equivalente a (\ref{solw1l}).} $B=\beta=0$. Así, nuestra solución a primer orden adopta la forma siguiente:
\begin{equation}\marginnote{Solución pertubada rayo de luz}
 \boxed{u(\varphi)=\frac{1}{D}\left[\sen(\varphi-\varphi_0)+\frac{m}{D}\left[1+\cos^2(\varphi-\varphi_0)\right]\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).} \label{solw1l}
\end{equation}
Para calcular el \textit{ángulo de desvío} de la luz, $\delta$, necesitamos los ángulos $\delta_1$ y $\delta_2$ en que la trayectoria se desvía de la recta no perturbada, para $t\to -\infty$ y $t\to +\infty$, respectivamene. Estos ángulos corresponden a un ángulo inicial $\varphi_{\rm i}=\varphi_0+\pi+\delta_1$ y final $\varphi_{\rm f}=\varphi_0-\delta_2$, y pueden ser determinados por la condición que en cada caso $r\to\infty$ o, equivalentemente $u=0$. El ángulo total de desvío es entonces $\delta=\delta_1+\delta_2$. Reemplazamos por tanto $\varphi=\varphi_{\rm i}=\varphi_0+\pi+\delta_1$ en la condición $u(\varphi_{\rm i})$ obtenemos, a primer orden en $\delta_1$:
\begin{eqnarray}
 0&=&u(\varphi_{\rm i})\\
&=&\frac{1}{D}\left[\sen(\pi+\delta_1)+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2(\pi+\delta_1)\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\sen\delta_1+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2\delta_1)\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\delta_1+\frac{m}{D}\left(1+1\right)\right]+\mathcal{O}(\delta_1^2).
\end{eqnarray}
Por lo tanto, obtenemos,
\begin{equation}
 \delta_1=\frac{2m}{D}.
\end{equation}
Similarmente, para $\varphi_{\rm f}=\varphi_0-\delta_2$ encontramos:
\begin{eqnarray}
 0&=&u(\varphi_{\rm f})\\
&=&\frac{1}{D}\left[-\sen\delta_2+\frac{m}{D}\left(1+\cos^2\delta_2\right)\right] \\
&=&\frac{1}{D}\left[-\delta_2+\frac{m}{D}\left(1+1\right)\right]+\mathcal{O}(\delta_2^2),
\end{eqnarray}
de modo que
\begin{equation}
 \delta_2=\frac{2m}{D}.
\end{equation}
Así obtenemos que el ángulo total de desvío es
\begin{equation}
 \delta\approx\frac{4m}{D},
\end{equation}
o, en términos de la masa del cuerpo central\footnote{Note que, en estricto rigor, la constante $D$ no es exactamente el valor mínimo de la coordenada radial en la trayectoria del fotón. La solución (\ref{solw1l}) implica que el mínimo de $r$ (máximo de $u$) se obtiene para $\varphi=\varphi_0+\pi/2$, y que a primer orden $r_{\rm min}=D/(1+m/D)\approx D-m$. La diferencia entre $D$ y $r_{\rm min}$ es por esto muy pequeña y despreciable en el contexto de de la aproximación usada.\label{fn8}},
\begin{equation}\marginnote{ángulo de desvío} \label{dlRG}
 \boxed{\delta\approx\frac{4GM}{c^2D}.}
\end{equation}

En 1911 Einstein presenta un primer cálculo para el ángulo de desvío de la luz en un campo gravitacional, basado en el principio de equivalencia, pero aún en el contexto de la teoría newtoniana. El valor calculado de esta forma resulta ser \textit{la mitad} del ángulo \eqref{dlRG} que predice teoría de Relatividad General completa. Ver \cite{Einstein11}, página 908. Es interesante notar además que si se considera la teoría newtoniana de la gravitación y a los fotones como partículas (masivas) que son atraidas por el Sol y que se mueven con rapidez $c$, también se obtiene el resultado correspondiente a la mitad de \eqref{dlRG}. Ver \cite{Will88} para mayores detalles.  Por otro lado, el resultado \eqref{dlRG} fue presentado por Einstein por primera vez en su paper de 1916 \cite{Einstein16} (ecuación 74, página 822).

Note también que, de acuerdo a \eqref{dlRG}, la teoría de RG predice un ángulo de desvío \textit{independiente de la frecuencia de la radiación}.

En el caso de rayos de luz pasando muy cerca de la superficie del Sol\footnote{Ver, por ejemplo, \url{http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/sunfact.html}.}, $D\approx R_\odot\approx 6.96\times 10^5\text{\,km}$, y entonces
\begin{equation}
\delta_\odot\approx\frac{4GM}{c^2R_\odot}\approx 4\left(\frac{1.48\text{\,km}}{6.96\times 10^5\text{\,km}}\right)\approx 4\times 2.13\times 10^{-6}{\rm\, rad}\approx 8.52\times 10^{-6}{\rm\, rad}\approx 1.75\text{''}.
\end{equation}

La observación de este efecto constituyó la \textit{primera verificación experimental de una predicción} de la teoría de gravitación de Einstein. El desvío de la luz fue medido en Mayo de 1919 por Eddington\footnote{Sir Arthur Eddington (1882-1944) astrofísico británico. Ver, por ejemplo, \url{http://es.wikipedia.org/wiki/Arthur_Stanley_Eddington}.} y colaboradores, a partir de mediciones ópticas de las posiciones de estrellas cercanas al Sol, medidas durante un eclipse total de Sol, observado desde las islas atlánticas de Sobral y Principe \cite{DED19}. Estos experimentos obtuvieron un resultado consistente con la predicción relativista, pero sólo con un 30\% de precisión. Sin embargo, los resultados sí permitían excluir un resultado nulo o la predicción ``cuasi-newtoniana'' (la mitad del valor de RG, es decir, $\approx 0.87$''). Se efectuaron nuevas medidas durante eclipses posteriores. En el del 30 de Junio de 1973 los resultados concordaban con la predicción de RG con un error del 10\%. Uno de las mayores fuentes de error en este tipo de observación es causada por la corona solar, que también curva los rayos que pasan por ella. Actualmente, la precisión alcanzada por los sistemas VLBI (Very Large Baseline Interferometry) han permitido mejorar sustancialmente la confirmación observacional de la predicción de RG para el desvío de la luz, con una desviación de 0.1\% \cite{SDLG04,Will06}.

\subsection{Redshift Gravitacional}\label{sec:redshift}
Revisaremos aquí la predicción para el redshift gravitacional (dilatación temporal gravitacional). En particular, derivaremos la expresión exacta para el redshift medido por dos observadores ``en reposo'' en el espaciotiempo de Schwarzschild. En particular consideraremos fotones que ``escapan'' del centro de fuerzas de manera radial. En este caso, debido a la simetría esférica podemos considerar que los fotones se mueven en trayectorias con $\theta=\pi/2$ y $\varphi=0$.

De la condición de curva nula para el fotón $g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=0$ obtenemos
\begin{equation}
 \left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ \left(1-\frac{2m}{r}\right)}=0.
\end{equation}
Por lo tanto,
\begin{equation}
 c\,dt=\pm\frac{dr}{ \left(1-\frac{2m}{r}\right)}.
\end{equation}
Los signos positivo y negativo corresponden a fotones ``escapando desde'' y ``cayendo hacia'' el centro de fuerzas, respectivamente. Para el primer caso, tenemos entonces que
\begin{eqnarray}
 c(t-t_0)&=&\int^r_{r_0}\frac{dr}{\left(1-\frac{2m}{r}\right)} \\
&=&\left.\left(r+2m\ln|r-2m|\right)\right|^r_{r_0} \\
&=&r-r_0+2m\ln\left(\frac{r-2m}{r_0-2m}\right).
\end{eqnarray}
En otras palabras,
\begin{equation} \label{tferf}
 t=t_0+\frac{1}{c}\left[r-r_0+2m\ln\left(\frac{r-2m}{r_0-2m}\right)\right].
\end{equation}
Esta relación define en forma implícita la ecuación de la trayectoria, exacta en el espaciotiempo de Schwarzschild, $r(t)$, del fotón escapando radialmente. Podemos verificar  aquí lo usado en la discusión del redshift gravitacional en la sección (\ref{zg1}): que $(\Delta t)_{\rm e}=(\Delta t)_{\rm r}$. En efecto, si un fotón es emitido en el evento con coordenadas $x^\mu_{{\rm e},1}=(ct_0,r_0,\pi/2,0)$ entonces éste llega a un punto con coordenada radial $r$ en el evento $x^\mu_{{\rm r},1}=(ct,r,\pi/2,0)$, donde $t$ es dado por (\ref{tferf}). Como (\ref{tferf}) es lineal en $t_0$ tendremos que si otro fotón es enviado desde $r_{\rm e}$ en el evento $x^\mu_{{\rm e},2}=(ct_0+c(\Delta t)_{\rm e},r_{\rm e},\pi/2,0)$, entonces llegará a $r$ en el evento $x^\mu_{{\rm r},2}=(ct+c(\Delta t)_{\rm e},r_{\rm r},\pi/2,0)$. En otras palabras, $(\Delta t)_{\rm e}=(\Delta t)_{\rm r}$. Este es un resultado general, válido para todo espaciotiempo estacionario (es decir, en que la métrica es independiente de la coordenada temporal).

Por otro lado, los tiempos propios asociados a observadores ``en reposo'' en el punto de emisión y recepción, es decir, cuyas líneas de mundo tienen coordenada radial constate $r_{\rm e}$ y $r_{\rm r}$ respectivamente, quedan determinados por
\begin{equation}
 ds^2=c^2d\tau^2=\left(1-\frac{2m}{r}\right)c^2dt^2,
\end{equation}
de modo que
\begin{equation}
\Delta\tau_{\rm e}=\sqrt{1-\frac{2m}{r_{\rm e}}}\, (\Delta t)_{\rm e}, \qquad
\Delta\tau_{\rm r}=\sqrt{1-\frac{2m}{r_{\rm r}}}\, (\Delta t)_{\rm r}.
\end{equation}
Con estos ingredientes, obtenemos
\begin{equation}\marginnote{Dilatación temporal gravitacional}\label{rgsch}
\boxed{\frac{\Delta\tau_{\rm r}}{\Delta\tau_{\rm e}}=\sqrt{\frac{1-\frac{2m}{r_{\rm r}}}{1-\frac{2m}{r_{\rm e}}}}}.
\end{equation}
Compare esta expresión con aquella encontrada en el límite de campo débil, expresiones  (\ref{zapp1}) y (\ref{zapp2}).

\subsection{Tiempo de Vuelo (Efecto Shapiro)*}
Aquí estudiaremos la predicción de la teoría de Einstein de la gravitación en lo que respecta al \textit{tiempo de vuelo} de señales luminosas en la métrica de Schwarzschild.

Para obtener información del tiempo de vuelo de una señal luminosa debemos analizar cómo cambia la coordenada temporal $t$ a lo largo de la línea de mundo del rayo de luz.
Usando (\ref{ccl}) podemos escribir
\begin{equation}
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=r'\frac{mc}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\frac{1}{r^2}.
\end{equation}
Reemplazando ahora la expresión para $r'$ determinada por la relación (\ref{ecrpf}) encontramos que
\begin{equation}
\frac{1}{c}\frac{dr}{dt}=\pm\, I(r),
\end{equation}
donde hemos definido
\begin{equation}
I(r):=\frac{1}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\sqrt{\alpha^2+\frac{2m}{r^3}-\frac{1}{r^2}}.
\end{equation}
Ahora aplicamos esta expresión al caso en que el fotón se mueve desde un punto con coordenadas $(ct_T,r_T,\pi/2,\varphi_T)$ hacia el centro de fuerzas, hasta el punto $(ct_0,r_0,\pi/2,\varphi_0)$ de máximo acercamiento. En este primer tramo $dr/dt<0$ y entonces
\begin{equation}\label{Dti1}
c\,(t_0-t_T)=-\int^{r_0}_{r_T}\frac{dr}{I(r)}.
\end{equation}
En el segundo tramo, desde $(ct_0,r_0,\pi/2,\varphi_0)$ hasta $(ct_V,r_V,\pi/2,\varphi_V)$, tenemos que $dr/dt>0$ y entonces
\begin{equation}\label{Dti2}
c\,(t_V-t_0)=\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}.
\end{equation}
El intervalo total de coordenada temporal en el proceso de vuelo (``de ida'') es entonces dado por $t_V-t_T$. Usando (\ref{Dti1}) y (\ref{Dti2}) obtenemos
\begin{eqnarray}
c\,(t_V-t_T)&=&\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}-\int^{r_0}_{r_T}\frac{dr}{I(r)} \\
&=&\int_{r_0}^{r_V}\frac{dr}{I(r)}+\int_{r_0}^{r_T}\frac{dr}{I(r)}. \label{cDtI}
\end{eqnarray}
Para evaluar esta expresión es necesario escribir $\alpha$ en términos de $r_0=r_{\rm min}$, la coordenada radial mínima al centro de fuerzas sobre la trayectoria del fotón. Esta coordenada mínima se encuentra, ver nota al pie \ref{fn8}, para el ángulo $\varphi_{\rm min}=\varphi_0+\pi/2$ y satisface $u(\varphi_{\rm min})=1/r_{\rm min}$, $u'(\varphi_{\rm min})=0$, con
\begin{equation}
 r_0=D\left(1-\frac{m}{D}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Usando estas condiciones, la relación (\ref{ecul0}) implica que
\begin{equation}
 \alpha^2=\frac{1}{r^2_0}\left(1-\frac{2m}{r_0}\right),
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}
\alpha=\frac{1}{r_0}\left(1-\frac{m}{r_0}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con esto, podemos expresar la función $I(r)$ como
\begin{eqnarray}
 I(r)&=&\frac{1}{\alpha}\left(1-\frac{2m}{r}\right)\sqrt{\alpha^2+\frac{2m}{r^3}-\frac{1}{r^2}} \\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}\right)\left(1+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{2m}{r_0}-\frac{2mr_0^2}{r^3}-\frac{r_0^2}{r^2}} +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}-\frac{2m}{r_0}\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)}+\mathcal{O}(\epsilon^2) \\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\left[\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}+\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}}\left(-\frac{2m}{r_0}\right)\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)\right] +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{m}{r_0}\frac{\left(1-\frac{r_0^3}{r^3}\right)}{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\right] +\mathcal{O}(\epsilon^2)\\
&=&\left(1-\frac{2m}{r}+\frac{m}{r_0}\right)\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{m}{r_0}\frac{\left(1+\frac{r_0}{r}+\frac{r_0^2}{r^2}\right)}{1+\frac{r_0}{r}}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2) \\
&=&\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}\left[1-\frac{mr_0}{r(r+r_0)}-\frac{r_0}{r}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{eqnarray}
De esta forma, obtenemos
\begin{equation}
 \frac{1}{I(r)}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_0^2}{r^2}}}\left[1+\frac{mr_0}{r(r+r_0)}+\frac{r_0}{r}\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2),
\end{equation}
y entonces
\begin{equation}
 \int\frac{dr}{I(r)}=\sqrt{r^2-r_0^2}+2m\ln\left(r+\sqrt{r^2-r_0^2}\right)+m\sqrt{\frac{r-r_0}{r+r_0}}+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{equation}
Con este resultado podemos evaluar el intervalor $(\Delta t)_{\rm ir}$ de ``ida y regreso''\footnote{Note que este intervalo es en rigor el intervalo de coordenada temporal. El tiempo propio que un observador en $r_T$ registra en el viaje de ida y regreso del fotón es dado, a primer orden, por $(\Delta\tau)_{\rm ir}=(1-m/r_T)(\Delta t)_{\rm ir}$.} que, de acuerdo a (\ref{cDtI}), es entonces dado por
\begin{eqnarray}
\frac{c}{2}\,(\Delta t)_{\rm ir}&=&\sqrt{r_V^2-r_0^2}+\sqrt{r_T^2-r_0^2}+2m\ln\left[\frac{\left(r_V+\sqrt{r_V^2-r_0^2}\right)\left(r_T+\sqrt{r_T^2-r_0^2}\right)}{r_0^2}\right] \nonumber\\
&&+m\left(\sqrt{\frac{r_V-r_0}{r_V+r_0}}+\sqrt{\frac{r_T-r_0}{r_T+r_0}}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).
\end{eqnarray}
En el caso que $r_0=R_\odot\ll r_V, r_T$ (``conjunción superior'') el efecto es máximo:
\begin{eqnarray}
c\,(\Delta t)_{\rm ir}&\approx& 2\left[r_V+r_T+2m\ln\left[\frac{\left(2r_V\right)\left(2r_T\right)}{R_\odot^2}\right]+m\left(1+1\right) \right]\\
&\approx&2\left[(r_V+r_T)+2m\left(1+\ln\left[\frac{4r_Vr_T}{R_\odot^2}\right]\right)\right].
\end{eqnarray}
Para el Sol, Venus y la Tierra $r_V\approx r_T\approx 10^8\text{\,km}$, el segundo término es $\approx 2\times 10^{-4}\text{\, s}$. Note que hemos despreciado el movimiento de Venus y la Tierra en el periodo en que el rayo de luz realiza su viaje de ida y regreso ($\sim 20\text{ min}$). El uso de este efecto para testear la teoría de RG fue propuesto por I. Shapiro en 1964 \cite{Shapiro64} y verificado la predicción con precisión cada vez mayor en los casos en que la señal enviada ``rebota'' en Mercurio, Venus \cite{Shapiro71}. Este valor ha sido confirmado con una desviación del 5\%. Ver \cite{Wei72} para mayores detalles. En el año 2010 Demorest et al. usaron el retardo de Shapiro para determinar la masas de una estrella de neutrones en un sistema binario, ver \cite{Demorest}.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{fig/fig-shapiro-delay-2.pdf}
\caption{Mediciones de Radar del efecto Shapiro.}
\end{center}
\end{figure}