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04.跳表.md

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跳表
2020-10-23 02:21:13 -0700
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数据结构和算法
数据结构和算法
跳表
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跳表

什么是跳表

对于一个有序数组,可以使用高效的二分查找法,其时间复杂度为 O(log n)

但是,即使是有序的链表,也只能使用低效的顺序查找,其时间复杂度为 O(n)

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如何提高链表的查找效率呢?

我们可以对链表加一层索引。具体来说,可以每两个结点提取一个结点到上一级,我们把抽出来的那一级叫作索引索引层。索引节点中通过一个 down 指针,指向下一级结点。通过这样的改造,就可以支持类似二分查找的算法。我们把改造之后的数据结构叫作跳表(Skip list)。

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随着数据的不断增长,一级索引层也变得越来越长。此时,我们可以为一级索引再增加一层索引层:二级索引层。

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随着数据的膨胀,当二级索引层也变得很长时,我们可以继续为其添加新的索引层。这种链表加多级索引的结构,就是跳表

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跳表的时间复杂度

在一个具有多级索引的跳表中,第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k 级索引结点的个数就是 n/(2k)。所以跳表查询数据的时间复杂度就是 O(logn)

跳表的空间复杂度

比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

索引节点数 = n/2 + n/4 + n/8 … + 8 + 4 + 2 = n-2

所以,跳表的空间复杂度是 O(n)

跳表的存储空间其实还有压缩空间。比如,我们增加索引节点的范围,由“每两个节点抽一个上级索引节点”改为“每五个节点抽一个上级索引节点”,可以显著节省存储空间。

实际上,在软件开发中,我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时,我们习惯性地把要处理的数据看成整数,但是在实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。

跳表的操作

跳表是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速的插入、删除、查找操作,写起来也不复杂,甚至可以替代红黑树(Red-black tree)。

高效的动态插入和删除

跳表不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)

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  • 插入操作:对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(log n),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(log n)
  • 删除操作:如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果我们用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

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如红黑树、AVL 树这样的平衡二叉树,是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡,而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候,我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。如何选择加入哪些索引层呢?可以通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

为什么需要跳表

跳表是一种动态数据结构,支持快速的插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)

跳表的空间复杂度是 O(n)。不过,跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单,但是作为一种动态数据结构,比起红黑树来说,实现要简单多了。所以很多时候,我们为了代码的简单、易读,比起红黑树,我们更倾向用跳表。

跳表的应用场景

经典实现:Redis 的 Sorted Set、JDK 的 ConcurrentSkipListMapConcurrentSkipListSet 都是基于跳表实现。

为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合,而不是红黑树?

Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个:

  • 插入一个数据;
  • 删除一个数据;
  • 查找一个数据;
  • 按照区间查找数据(比如查找值在 [100, 356] 之间的数据);
  • 迭代输出有序序列。

其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高。

参考资料