TP1 (1).ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n# TP1 Probabilité et statistique\n<html>\n   <head>\n      <title>HTML Base Tag Example</title>\n      <base href = \"https://github.com/nevermind78/Proba_stat_4_LM\" />\n   </head>\n   <body>\n      <img src = \"https://th.bing.com/th/id/OIP.Quijt6_GuJ-OzuMSNQ_S1gHaHa?pid=Api&rs=1\" width=\"200\" alt = \"Logo Image\"/>\n    </body>\n\n</html>\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from __future__ import print_function\nimport numpy as np\nimport pandas as pd\nfrom ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual\nimport ipywidgets as widgets","execution_count":1,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Probabilités - approche fréquentiste\n### Définition par la fréquence relative :\n* une expérience d’ensemble fondamental  est exécutée plusieurs fois sous les mêmes conditions.\n* Pour chaque événement E de , n(E) est le nombre de fois où l’événement E survient lors des n premières répétitions de l’expérience.\n* P(E), la probabilité de l’événement E est définie de la manière suivante :\n\n$$P(E)=\\lim_{n\\to\\infty}\\dfrac{n(E)}{n} $$ "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Simulation d'un dé parfait"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# seed the random number generator\nnp.random.seed(1)\n\n# Example: sampling \n#\n# do not forget that Python arrays are zero-indexed,\n# and the 2nd argument to NumPy arange must be incremented by 1\n# if you want to include that value\nn = 6\nk = 200000\nT=np.random.choice(np.arange(1, n+1), k, replace=True)\nunique, counts = np.unique(T, return_counts=True)\ndic=dict(zip(unique, counts))\ndf=pd.DataFrame(list(dic.items()),columns=['i','Occurence'])\ndf.set_index(['i'], inplace=True)\ndf['Freq']=df['Occurence']/k\ndf['P({i})']='{}'.format(1/6)\ndf","execution_count":2,"outputs":[{"data":{"text/html":"<div>\n<style scoped>\n    .dataframe tbody tr th:only-of-type {\n        vertical-align: middle;\n    }\n\n    .dataframe tbody tr th {\n        vertical-align: top;\n    }\n\n    .dataframe thead th {\n        text-align: right;\n    }\n</style>\n<table border=\"1\" class=\"dataframe\">\n  <thead>\n    <tr style=\"text-align: right;\">\n      <th></th>\n      <th>Occurence</th>\n      <th>Freq</th>\n      <th>P({i})</th>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>i</th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n    </tr>\n  </thead>\n  <tbody>\n    <tr>\n      <th>1</th>\n      <td>33346</td>\n      <td>0.166730</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>2</th>\n      <td>33221</td>\n      <td>0.166105</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>3</th>\n      <td>33447</td>\n      <td>0.167235</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>4</th>\n      <td>33224</td>\n      <td>0.166120</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>5</th>\n      <td>33379</td>\n      <td>0.166895</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>6</th>\n      <td>33383</td>\n      <td>0.166915</td>\n      <td>0.16666666666666666</td>\n    </tr>\n  </tbody>\n</table>\n</div>","text/plain":"   Occurence      Freq               P({i})\ni                                          \n1      33346  0.166730  0.16666666666666666\n2      33221  0.166105  0.16666666666666666\n3      33447  0.167235  0.16666666666666666\n4      33224  0.166120  0.16666666666666666\n5      33379  0.166895  0.16666666666666666\n6      33383  0.166915  0.16666666666666666"},"execution_count":2,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Ajouter de l'intéraction "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def dice_sim(k=100):\n    n = 6    \n    T=np.random.choice(np.arange(1, n+1), k, replace=True)\n    unique, counts = np.unique(T, return_counts=True)\n    dic=dict(zip(unique, counts))\n    df=pd.DataFrame(list(dic.items()),columns=['i','Occurence'])\n    df.set_index(['i'], inplace=True)\n    df['Freq']=df['Occurence']/k\n    df['P({i})']='{0:.3f}'.format(1/6)\n    return df\n    ","execution_count":3,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"dice_sim(100)","execution_count":4,"outputs":[{"data":{"text/html":"<div>\n<style scoped>\n    .dataframe tbody tr th:only-of-type {\n        vertical-align: middle;\n    }\n\n    .dataframe tbody tr th {\n        vertical-align: top;\n    }\n\n    .dataframe thead th {\n        text-align: right;\n    }\n</style>\n<table border=\"1\" class=\"dataframe\">\n  <thead>\n    <tr style=\"text-align: right;\">\n      <th></th>\n      <th>Occurence</th>\n      <th>Freq</th>\n      <th>P({i})</th>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>i</th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n    </tr>\n  </thead>\n  <tbody>\n    <tr>\n      <th>1</th>\n      <td>19</td>\n      <td>0.19</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>2</th>\n      <td>16</td>\n      <td>0.16</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>3</th>\n      <td>17</td>\n      <td>0.17</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>4</th>\n      <td>15</td>\n      <td>0.15</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>5</th>\n      <td>15</td>\n      <td>0.15</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>6</th>\n      <td>18</td>\n      <td>0.18</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n  </tbody>\n</table>\n</div>","text/plain":"   Occurence  Freq P({i})\ni                        \n1         19  0.19  0.167\n2         16  0.16  0.167\n3         17  0.17  0.167\n4         15  0.15  0.167\n5         15  0.15  0.167\n6         18  0.18  0.167"},"execution_count":4,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"interact(dice_sim,k=widgets.IntSlider(min=1000, max=50000, step=500, value=10));","execution_count":5,"outputs":[{"data":{"application/vnd.jupyter.widget-view+json":{"model_id":"a195f2610f9d457c8e4a479ce2fc91d9","version_major":2,"version_minor":0},"text/plain":"interactive(children=(IntSlider(value=1000, description='k', max=50000, min=1000, step=500), Output()), _dom_c…"},"metadata":{},"output_type":"display_data"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Cas d'un dé truqué"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"p=[0.1, 0.1, 0.1, 0.1,0.1,0.5]\nsum(p)","execution_count":6,"outputs":[{"data":{"text/plain":"1.0"},"execution_count":6,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def dice_sim(k=100,q=[[0.1, 0.1, 0.1, 0.1,0.1,0.5],[0.2, 0.1, 0.2, 0.1,0.1,0.3]]):\n    n = 6\n    qq=q\n    T=np.random.choice(np.arange(1, n+1), k, replace=True,p=qq)\n    unique, counts = np.unique(T, return_counts=True)\n    dic=dict(zip(unique, counts))\n    df=pd.DataFrame(list(dic.items()),columns=['i','Occurence'])\n    df.set_index(['i'], inplace=True)\n    df['Freq']=df['Occurence']/k\n    df['P({i})']=['{0:.3f}'.format(j) for j in q]\n    return df","execution_count":7,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"interact(dice_sim,k=widgets.IntSlider(min=1000, max=50000, step=500, value=10));","execution_count":8,"outputs":[{"data":{"application/vnd.jupyter.widget-view+json":{"model_id":"49aa41fa0f80460fac61e032025cbdb8","version_major":2,"version_minor":0},"text/plain":"interactive(children=(IntSlider(value=1000, description='k', max=50000, min=1000, step=500), Dropdown(descript…"},"metadata":{},"output_type":"display_data"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Exercice 1: \n\nTester l'intéraction précédente pour plusieurs valeurs de `p`\nDonner votre conclusion :"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Conclusion \n# la simulation montra que reagit avec la meme maniere \n# on remarque que la frequance est appepre egal a la valeur de la probabilite quan a  deja fixer","execution_count":9,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Permutation Aléatoire"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"np.random.seed(2)\n\nm = 1\nn = 10\n\nv = np.arange(m, n+1)\nprint('v =', v)\n\nnp.random.shuffle(v)\nprint('v, shuffled =', v)","execution_count":10,"outputs":[{"name":"stdout","output_type":"stream","text":"v = [ 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10]\nv, shuffled = [ 5  2  6  1  8  3  4  7 10  9]\n"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Exercice 2\nVérifier que les permutation aléatoires sont uniforme , c'est à dire que la probabilité de générer une permutation d'élement de {1,2,3} est 1/6.\nEn effet les permutations de {1,2,3} sont :\n* 1 2 3\n* 1 3 2\n* 2 1 3\n* 2 3 1\n* 3 1 2\n* 3 2 1\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"k =10\nm = 1\nn = 3\nv = np.arange(m, n+1)\nT=[]\nfor i in range(k):\n    np.random.shuffle(v)\n    w=np.copy(v)\n    T.append(w)","execution_count":11,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"TT=[str(i) for i in  T]\nTT","execution_count":12,"outputs":[{"data":{"text/plain":"['[1 3 2]',\n '[3 1 2]',\n '[1 2 3]',\n '[1 3 2]',\n '[3 1 2]',\n '[3 1 2]',\n '[1 3 2]',\n '[2 1 3]',\n '[3 1 2]',\n '[2 3 1]']"},"execution_count":12,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"k =1000\nm = 1\nn = 3\nv = np.arange(m, n+1)\nT=[]\nfor i in range(k):\n    np.random.shuffle(v)\n    w=np.copy(v)\n    T.append(w)\n\nTT=[str(i) for i in  T]\nunique, counts = np.unique(TT, return_counts=True)\ndic=dict(zip(unique, counts))\ndf=pd.DataFrame(list(dic.items()),columns=['i','Occurence'])\ndf.set_index(['i'], inplace=True)\ndf['Freq']=df['Occurence']/k\ndf['P({i,j,k})']='{0:.3f}'.format(1/6)\ndf","execution_count":13,"outputs":[{"data":{"text/html":"<div>\n<style scoped>\n    .dataframe tbody tr th:only-of-type {\n        vertical-align: middle;\n    }\n\n    .dataframe tbody tr th {\n        vertical-align: top;\n    }\n\n    .dataframe thead th {\n        text-align: right;\n    }\n</style>\n<table border=\"1\" class=\"dataframe\">\n  <thead>\n    <tr style=\"text-align: right;\">\n      <th></th>\n      <th>Occurence</th>\n      <th>Freq</th>\n      <th>P({i,j,k})</th>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>i</th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n      <th></th>\n    </tr>\n  </thead>\n  <tbody>\n    <tr>\n      <th>[1 2 3]</th>\n      <td>169</td>\n      <td>0.169</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>[1 3 2]</th>\n      <td>180</td>\n      <td>0.180</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>[2 1 3]</th>\n      <td>161</td>\n      <td>0.161</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>[2 3 1]</th>\n      <td>169</td>\n      <td>0.169</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>[3 1 2]</th>\n      <td>157</td>\n      <td>0.157</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n    <tr>\n      <th>[3 2 1]</th>\n      <td>164</td>\n      <td>0.164</td>\n      <td>0.167</td>\n    </tr>\n  </tbody>\n</table>\n</div>","text/plain":"         Occurence   Freq P({i,j,k})\ni                                   \n[1 2 3]        169  0.169      0.167\n[1 3 2]        180  0.180      0.167\n[2 1 3]        161  0.161      0.167\n[2 3 1]        169  0.169      0.167\n[3 1 2]        157  0.157      0.167\n[3 2 1]        164  0.164      0.167"},"execution_count":13,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Donner  votre conclusion en expliquant le script "},{"metadata":{"trusted":true},"cell_type":"code","source":"## Explication \n\n# la simulation montra que reagit avec la meme maniere\n","execution_count":1,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## Probabilité conditionnelle "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Rappelons que l'interprétation fréquentiste de la probabilité conditionnelle basée sur un grand nombre `n` de répétitions d'une expérience est $ P (A | B) ≈ n_ {AB} / n_ {B} $, où $ n_ {AB} $ est le nombre de fois où $ A \\cap B $ se produit et $ n_ {B} $ est le nombre de fois où $ B $ se produit. Essayons cela par simulation et vérifions les résultats de l'exemple 2.2.5. Utilisons donc [`numpy.random.choice`] (https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.0/reference/generated/numpy.random.choice.html) pour simuler les familles` n`, chacun avec deux enfants.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"np.random.seed(34)\n\nn = 10**5\nchild1 = np.random.choice([1,2], n, replace=True) \nchild2 = np.random.choice([1,2], n, replace=True) \n\nprint('child1:\\n{}\\n'.format(child1))\n\nprint('child2:\\n{}\\n'.format(child2))","execution_count":15,"outputs":[{"name":"stdout","output_type":"stream","text":"child1:\n[2 1 1 ... 1 2 1]\n\nchild2:\n[2 2 2 ... 2 2 1]\n\n"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Ici, «child1» est un «tableau NumPy» de longueur «n», où chaque élément est un 1 ou un 2. En laissant 1 pour «fille» et 2 pour «garçon», ce «tableau» représente le sexe du enfant aîné dans chacune des familles «n». De même, «enfant2» représente le sexe du plus jeune enfant de chaque famille.\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"np.random.choice([\"girl\", \"boy\"], n, replace=True)","execution_count":16,"outputs":[{"data":{"text/plain":"array(['boy', 'boy', 'boy', ..., 'boy', 'boy', 'boy'], dtype='<U4')"},"execution_count":16,"metadata":{},"output_type":"execute_result"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"mais il est plus pratique de travailler avec des valeurs numériques.\n\nSoit $ A $ l'événement où les deux enfants sont des filles et $ B $ l'événement où l'aîné est une fille. Suivant l'interprétation fréquentiste, nous comptons le nombre de répétitions où $ B $ s'est produit et le nommons `n_b`, et nous comptons également le nombre de répétitions où $ A \\cap B $ s'est produit et le nommons` n_ab`. Enfin, nous divisons `n_ab` par` n_b` pour approximer $ P (A | B) $."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"n_b = np.sum(child1==1)\nn_ab = np.sum((child1==1) & (child2==1))\n\nprint('P(both girls | elder is girl) = {:0.2F}'.format(n_ab / n_b))","execution_count":17,"outputs":[{"name":"stdout","output_type":"stream","text":"P(both girls | elder is girl) = 0.50\n"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"L'esperluette `&` est un élément par élément $ AND $, donc `n_ab` est le nombre de familles où le premier et le deuxième enfant sont des filles. Lorsque nous avons exécuté ce code, nous avons obtenu 0,50, confirmant notre réponse $ P (\\text {les deux filles | l'aîné est une fille}) = 1/2 $.\n\nSoit maintenant $ A $ l'événement où les deux enfants sont des filles et $ B $ l'événement selon lequel au moins l'un des enfants est une fille. Alors $ A \\cap B $ est le même, mais `n_b` doit compter le nombre de familles où au moins un enfant est une fille. Ceci est accompli avec l'opérateur élémentaire $ OR $ `|` (ce n'est pas une barre de conditionnement; c'est un $ OR $ inclusif, retournant `True` si au moins un élément est` True`)."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"n_b = np.sum((child1==1) | (child2==2))\nn_ab = np.sum((child1==1) & (child2==1))\n\nprint('P(both girls | at least one girl) = {:0.2F}'.format(n_ab / n_b))","execution_count":18,"outputs":[{"name":"stdout","output_type":"stream","text":"P(both girls | at least one girl) = 0.33\n"}]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Pour nous, le résultat était de 0,33, confirmant que $ P (\\text {les deux filles | au moins une fille}) = 1/3 $."}],"metadata":{"kernelspec":{"name":"python3","display_name":"Python 3","language":"python"},"language_info":{"name":"python","version":"3.6.11","mimetype":"text/x-python","codemirror_mode":{"name":"ipython","version":3},"pygments_lexer":"ipython3","nbconvert_exporter":"python","file_extension":".py"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":4}