Geometrie_complexes_correction_vd.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# <span style=\"color:#6C3483\">Interprétations géométriques de nombres complexes</span> <span style=\"color:red\">(corrigé)</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\">Sommaire</span>\n\n<span style=\"color:#8E44AD\">I.</span> <a href=\"#I\">Interprétations géométriques de $z_B-z_A$ et $\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">II.</span> <a href=\"#II\">Applications directes </a><br><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">III.</span> <a href=\"#III\">Études de configurations</a>\n<ol style=\"color:#8E44AD\">\n    <li><a href=\"#III1\">Deux triangles rectangles isocèles rectangles en un même point</a></li> \n    <li><a href=\"#III2\">Trois triangles équilatéraux ayant un sommet commun</a></li>\n</ol>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#6C3483\" id=\"I\">I. Interprétations géométriques de $z_B-z_A$ et $\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$, on considère trois points distincts $A$ ; $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ et $z_C$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong style=\"color:#8E44AD\">1. En utilisant le point $M$ défini par $\\overrightarrow{OM}=\\overrightarrow{AB}$, démontrer le résultat suivant :</strong>\n\n<BLOCKQUOTE style='background-color:#F7E9DD;'>\n    <b style='color:#ED9246;'>À RETENIR</b><br>\n    Interprétation géométrique de $z_B-z_A$ :\n<ul>\n    <li>$\\left| z_B-z_A \\right| = AB$</li>\n    <li>$ arg \\left( z_B-z_A \\right) = \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{AB} \\right) \\;[2\\pi]$</li>\n</ul>\n</BLOCKQUOTE>  \n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\n$\\overrightarrow{AB}(z_B-z_A)=\\overrightarrow{OM}(z_M)$ donc :\n<ul>\n    <li>$\\left| z_B-z_A \\right| = \\left| z_M \\right| = OM = AB$ ;</li>\n    <li>$arg \\left( z_B-z_A \\right) = arg \\left( z_M \\right) \\;[2\\pi]= \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{OM} \\right) \\;[2\\pi] = \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{AB} \\right) \\;[2\\pi]$.</li>\n</ul>\n</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Complexes prop1\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/kstwzyfy/width/834/height/465/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"834px\" height=\"465px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong style=\"color:#8E44AD\">2. À l'aide de la propriété précédente, démontrer que :</strong>\n\n<BLOCKQUOTE style='background-color:#F7E9DD;'>\n    <b style='color:#ED9246;'>À RETENIR</b><br>\n    Interprétation géométrique de $\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ :\n<ul>\n    <li>$ \\displaystyle \\left| \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right| = \\frac{AC}{AB}$</li>\n    <li>$ \\displaystyle arg \\left( \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right) = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;;\\overrightarrow{AC} \\right) \\;[2\\pi]$</li>\n</ul>\n</BLOCKQUOTE>\n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\n<ul>\n    <li> $ \\displaystyle \\left| \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right| = \\displaystyle \\frac{ \\left| z_C-z_A \\right| }{ \\left| z_B-z_A \\right| } = \\frac{ AC }{ AB } $ ;</li>\n    <li> $\\displaystyle arg \\left( \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right) = arg \\left( z_C-z_A \\right) - arg \\left( z_B-z_A \\right) \\;[2\\pi] = \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{AC} \\right) - \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{AB} \\right) \\;[2\\pi] = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;; \\overrightarrow{u} \\right) + \\left( \\overrightarrow{u} \\;; \\overrightarrow{AC} \\right) \\;[2\\pi] = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;; \\overrightarrow{AC} \\right) \\;[2\\pi]$ .</li>\n</ul>  \n</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Complexes prop2\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mhzhgxut/width/808/height/426/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"808px\" height=\"426px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#6C3483\" id=\"II\">II. Applications directes</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong><u style=\"color:#8E44AD\">Exercice 1 :</u></strong><br>\nOn considère les points $A$ ; $B$ et $C$  d’affixes respectives $z_A=1+i$ ; $z_B=2+3i$ et $z_C=-1+2i$.\n<ol>\n    <li>Réaliser une figure. Quelle semble être la nature du triangle $ABC$ ?</li>\n    <li>Calculer $\\displaystyle m= \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.</li>\n    <li>En interprétant géométriquement le module et un argument de $m$, en déduire la nature du triangle $ABC$.</li>\n    <li>On souhaite vérifier le résultat du calcul précédent à l'aide de saisies en Python :<br>\n        <BLOCKQUOTE style='background-color:#E9DDF7;'>\n        Le module <mark style=\"font-family: Consolas;\">sympy</mark> permet :\n        <ul>\n            <li>d'effectuer des calculs sous forme exacte avec racines carrées et $\\pi$ avec les syntaxes <mark style=\"font-family: Consolas;\">sqrt</mark> et <mark style=\"font-family: Consolas;\">pi</mark> ;</li>\n            <li>de créer un nombre complexe avec la syntaxe majuscule <mark style=\"font-family: Consolas;\">I</mark> pour le complexe $i$ ;</li>\n            <li>de simplifier une expression avec la fonction <mark style=\"font-family: Consolas;\">simplify</mark> ;</li>\n            <li>de calculer le module et l'argument d'un complexe respectivement à l'aide des fonctions <mark style=\"font-family: Consolas;\">abs</mark> et <mark style=\"font-family: Consolas;\">arg</mark>.</li>\n        </ul>\n        </BLOCKQUOTE>\n    Exécuter les cellules suivantes pour vérifier les calculs précédents.\n    </li>               \n</ol>\n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\n<ol>\n    <li>Le triangle $ABC$ semble isocèle rectangle en $A$.</li>\n    <li>$\\displaystyle m=\\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\\frac{-1+2i-(1+i)}{(2+3i)-(1+i)}=\\frac{-2+i}{1+2i}=\\frac{(-2+i) \\overline{(1+2i)}}{(1+2i) \\overline{(1+2i)}}=\\frac{(-2+i)(1-2i)}{1^2+2^2}=\\frac{5i}{5}=i=e^{i\\frac{\\pi}{2}}$</li>\n    <li>$\\displaystyle \\frac{ AC }{ AB }= \\left| \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right| = \\left| e^{i\\frac{\\pi}{2}} \\right| = 1$ donc $AB=AC$.<br>\n    $\\displaystyle \\left( \\overrightarrow{AB} \\;; \\overrightarrow{AC} \\right)  = arg \\left( \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right) \\;[2\\pi]= arg \\left( e^{i\\frac{\\pi}{2}} \\right) \\;[2\\pi]= \\frac{\\pi}{2} \\;[2\\pi]$<br>\n    Le triangle $ABC$ est donc isocèle rectangle en A.</li>\n</ol>\n</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Import du module sympy\nfrom sympy import *\n\n# Mise en mémoire des valeurs de z_A; z_B et z_C\nz_A = 1+I ; z_B = 2+3*I ; z_C = -1+2*I\n\n# Calcul de m\nm = (z_C-z_A)/(z_B-z_A)\n\nm","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Évaluation de la valeur de m\nsimplify(m)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Détermination du module de m\nabs(m)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Détermination de l'argument de m\narg(m)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<b><u style=\"color:#8E44AD\">Exercice 2 :</u></b><br>\n<ol>\n    <li>De la même manière que dans l’exercice 1, déterminer par le calcul la nature des triangles suivants :\n    <ul>\n        <li>$DEF$ tel que  $z_D=-2+i$  ;  $z_E=-1+4i$  et  $z_F=4-i$.</li>\n        <li>$IJK$ tel que $\\displaystyle z_I=\\sqrt{3}+i$  ;  $ z_J=4i$  et  $\\displaystyle z_K=-\\sqrt{3}+i$.</li>\n    </ul>\n    <li>Vérifier les calculs précédents à l'aide de saisies Python.</li>\n</ol>\n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\n<ol>\n    <li>On détermine la nature des triangles par le calcul :\n    <ul>\n        <li>$\\displaystyle \\frac{z_F-z_D}{z_E-z_D}=\\frac{4-i-(-2+i)}{(-1+4i)-(-2+i)}=\\frac{6-2i}{1+3i}=\\frac{(6-2i) \\overline{(1+3i)}}{(1+3i) \\overline{(1+3i)}}=\\frac{(6-2i)(1-3i)}{1^2+3^2}=\\frac{-20i}{10}=-2i=2e^{-i\\frac{\\pi}{2}}$<br>\n        $\\displaystyle \\frac{ DF }{ DE }=\\displaystyle \\left| \\frac{z_F-z_D}{z_E-z_D} \\right| = \\left| 2e^{-i\\frac{\\pi}{2}} \\right| = 2$ donc $DF=2DE$.<br>\n    $\\displaystyle \\left( \\overrightarrow{DE} \\;; \\overrightarrow{DF} \\right)=arg \\left( \\frac{z_F-z_D}{z_E-z_D} \\right) \\;[2\\pi]= arg \\left( 2e^{-i\\frac{\\pi}{2}} \\right) \\;[2\\pi]= -\\frac{\\pi}{2} \\;[2\\pi]$<br>\n            Le triangle $DEF$ est donc rectangle en $D$ (et $DF=2DE$).</li>\n        <li>$\\displaystyle \\frac{z_J-z_K}{z_I-z_K}=\\frac{4i-(-\\sqrt{3}+i)}{\\sqrt{3}+i-(-\\sqrt{3}+i)}=\\frac{\\sqrt{3}+3i}{2\\sqrt{3}}=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}=e^{i\\frac{\\pi}{3}}$<br>\n        $\\displaystyle \\frac{ KJ }{ KI }=\\displaystyle \\left| \\frac{z_J-z_K}{z_I-z_K} \\right| = \\left| e^{i\\frac{\\pi}{3}} \\right| = 1$ donc $KJ=KI$.<br>\n    $\\displaystyle \\left( \\overrightarrow{KI} \\;; \\overrightarrow{KJ} \\right)=arg \\left( \\frac{z_J-z_K}{z_I-z_K} \\right) \\;[2\\pi]= arg \\left( e^{i\\frac{\\pi}{3}} \\right) \\;[2\\pi]= -\\frac{\\pi}{3} \\;[2\\pi]$<br>\n            Le triangle $IJK$ est donc équilatéral.</li>\n    </ul>\n</ol>\n</span>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour vérifier les calculs relatifs au triangle DEF\nz_D = -2+I ; z_E = -1+4*I ; z_F = 4-I\n\nn = (z_F-z_D)/(z_E-z_D)\nn","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\nsimplify(n)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(n)\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"arg(n)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour vérifier les calculs relatifs au triangle IJK\nz_I = sqrt(3)+I ; z_J = 4*I ; z_K = -sqrt(3)+I\n\np = (z_J-z_I)/(z_K-z_I)\np","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(p)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(p)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"arg(p)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#6C3483\" id=\"III\">III. Études de configurations</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Dans cette partie, on dira qu'un triangle $ABC$ est :\n<ul>\n    <li><b>direct</b> si l'angle $\\left( A \\;; \\overrightarrow{AB} ; \\overrightarrow{AC} \\right)$ a un argument dans l'intervalle $]0;\\pi[$, modulo $2\\pi$.</li>\n    <li><b>indirect</b> si l'angle $\\left( A \\;; \\overrightarrow{AB} ; \\overrightarrow{AC} \\right)$ a un argument dans l'intervalle $]-\\pi;0[$, modulo $2\\pi$.</li>\n</ul>\n(on différenciera donc les triangles $ABC$ et $ACB$, qui sont l'un direct et l'autre indirect)\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Complexes dir indir\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ykvrevgj/width/696/height/317/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"696px\" height=\"317px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On admettra également la généralisation des résultats vus précédemment, pour 4 points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ et $z_D$.\n\n<BLOCKQUOTE style='background-color:#F7E9DD;'>\n    Interprétation géométrique de $\\displaystyle \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ :\n<ul>\n    <li>$ \\displaystyle \\left| \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \\right| = \\frac{CD}{AB}$</li>\n    <li>$ \\displaystyle arg \\left( \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \\right) = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;;\\overrightarrow{CD} \\right) \\;[2\\pi]$</li>\n</ul>\n</BLOCKQUOTE> \n<br>\n<br>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"III1\"> III.1. Deux triangles rectangles isocèles rectangles en un même point </span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\nDans le plan complexe $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$, on considère deux triangles $OAB$ et $OCD$ qui sont rectangles directs.<br>\nOn note $M$ le milieu de $[BC]$.<br><br>\n1. Dans cette question, les points $A$ et $C$ ont pour affixe respectives $z_A=4-i$ et $z_C=-3+5i$.<br>\na. Activer la cellule ci-dessous pour obtenir la figure.<br>\n$\\;\\;\\;$Quelle conjecture peut-on émettre concernant les droites $(OM)$ et $(AD)$ ?\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Complexes Config 1\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mwjfkvev/width/780/height/430/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"780px\" height=\"430px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>$\\quad\\;\\;$b. Déterminer les affixes respectives $z_B$ ; $z_D$ et $z_M$ des points $B$ ; $D$ et $M$.<br>\n$\\quad\\;\\;$c. À l'aide de saisies Python, déterminer la valeur de $\\displaystyle \\frac{z_M}{z_D-z_A}$.<br>\n$\\quad\\quad\\;$Vérifier ensuite par le calcul le résultat obtenu à la question c.<br>\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones de saisie pour les calculs\nz_A = 4-I ; z_C = -3+5*I ; z_B = z_A*I ; z_D = z_C*I\nz_M = (z_B+z_C)/2\n\nk = (z_M)/(z_D-z_A)\nk","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(k)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"abs(k)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"arg(k)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n$\\quad\\;\\;$d. Que peut-on conclure concernant les droites $(OM)$ et $(AD)$ ? et concernant les longueurs des segments $[OM]$ et $[AD]$ ?<br>\n</strong>    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n2. Dans cette question, on revient au cas général où les affixes $z_A$ et $z_C$ des points $A$ et $C$ sont quelconques.<br>\n$\\;\\;\\;$a. Déplacer les points $A$ et $C$ sur la figure fournie. Quelle conjecture peut-on émettre ?<br>\n$\\;\\;\\;$b. Démontrer cette conjecture.\n</strong>\n<br><br>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<span style=\"color:red\">\n<ol>\n    <li>Cas où  $z_A=4-i$ et $z_C=-3+5i$.<br>\n        $\\;$a. Il semble que les droites $(OM)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.<br>\n        $\\;$b. $OAB$ est isocèle rectangle direct donc $\\displaystyle \\frac{z_B}{z_A}=e^{i\\frac{\\pi}{2}}=i$ donc $z_B=iz_A=1+4i$.<br>\n        $\\quad$De même en considérant $OCD$ on a $z_D=iz_C=-5-3i$<br>\n        $\\quad$ $\\displaystyle z_M=\\frac{z_B+z_C}{2}=\\frac{1+4i-3+5i}{2}=\\frac{-2+9i}{2}=-1+\\frac{9}{2}i$<br>\n    $\\;$c. $\\displaystyle \\frac{z_M}{z_D-z_A}=\\frac{-1+\\frac{9}{2}i}{-5-3i-(4-i)}=\\frac{1}{2}\\times\\frac{-2+9i}{-9-2i}=\\frac{1}{2}\\times \\frac{-i(-9-2i)}{-9-2i}=-\\frac{1}{2}i=\\frac{1}{2}e^{-i\\frac{\\pi}{2}}$<br>\n    $\\;$d. $\\displaystyle \\frac{ OM }{ AD }=\\displaystyle \\left| \\frac{z_M}{z_D-z_A} \\right| = \\left| \\frac{1}{2}e^{-i\\frac{\\pi}{2}} \\right| = \\frac{1}{2}$ donc $AD=2OM$.<br>\n       $\\quad$ $\\displaystyle \\left( \\overrightarrow{AD} \\;; \\overrightarrow{OM} \\right)=arg \\left( \\frac{z_M}{z_D-z_A} \\right) \\;[2\\pi]= arg \\left( \\frac{1}{2}e^{-i\\frac{\\pi}{2}} \\right) \\;[2\\pi]= -\\frac{\\pi}{2} \\;[2\\pi]$ donc $(AD)$ et $(OM)$ sont perpendiculaires. \n    </li>\n    <li>Cas général.<br>\n        $\\;$a. Il semble que quelles que soient les positions de $A$ et $C$, le résultat vu en 1.d reste valable.<br>\n        $\\;$b. Comme dans la partie 1, on peut établir que :<br>\n        $\\quad$ $z_B=iz_A$ ; $z_D=iz_C$ ; $\\displaystyle z_M=\\frac{z_B+z_C}{2}$<br>\n        $\\quad$ On en déduit :<br>\n        $\\quad$ $\\displaystyle \\frac{z_M}{z_D-z_A}=\\frac{1}{2}\\times \\frac{z_B+z_C}{z_D-z_A} = \\frac{1}{2}\\times \\frac{iz_A+z_C}{iz_C-z_A} = \\frac{1}{2}\\times \\frac{-i(-z_A+iz_C)}{iz_C-z_A} = -\\frac{1}{2}i = \\frac{1}{2}e^{-i\\frac{\\pi}{2}}$<br>\n        $\\quad$ce qui permet de conclure de la même façon que dans la question 1.d.\n    </li>\n</ol>\n</span>   \n        "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"III2\"> III.2. Trois triangles équilatéraux ayant un sommet commun </span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\nOn se place dans le plan complexe $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$ et on pose $\\displaystyle j=e^{i\\frac{2\\pi}{3}}=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.<br>\nDans cette étude, l'affixe d'un point $M$ sera systématiquement désignée par la notation $z_M$.\n<br><br>\n\n1. Condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit équilatéral<br><br>\n$\\;\\;\\;$a. Exécuter les cellules Python suivantes (la fonction <mark style=\"font-family: Consolas;\">conjugate</mark> permet de calculer le conjugué d'un complexe).<br>\n$\\quad\\;\\;$Quelles relations vérifiées par $j$ obtient-on ?<br>\n$\\quad\\;\\;$Vérifier ces résultats par le calcul, et justifier en particulier que $1+j=e^{i\\frac{\\pi}{3}}$\n</strong>\n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\na.\n<ul>\n    <li>$\\displaystyle j^3=\\left( e^{i\\frac{2\\pi}{3}} \\right) ^3 = e^{2i\\pi} =1$</li>\n    <li>$\\displaystyle j^2-\\overline{j}= \\left( e^{i\\frac{2\\pi}{3}} \\right) ^2 -\\overline{e^{i\\frac{2\\pi}{3}}} = e^{i\\frac{4\\pi}{3}} - e^{-i\\frac{2\\pi}{3}}=0$ donc $\\displaystyle j^2=\\overline{j}$</li>\n    <li>$\\displaystyle 1+j+j^2=1+j+\\overline{j}=1+2Re(j)=1+2\\times \\left( -\\frac{1}{2} \\right) = 0$ donc $\\displaystyle 1+j+j^2=0$</li>\n    <li>$\\displaystyle 1+j=-j^2=-\\overline{j}=- \\left( -\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\right) = \\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2} = e^{i\\frac{\\pi}{3}}$</li>\n</ul>\n</span>        "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"j = (-1+I*sqrt(3))/2\nj","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(j**3)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(j**2-conjugate(j))","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(1+j+j**2)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"simplify(1+j)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n$\\;\\;\\;$b. On considère trois points distincts $M$ ; $N$ et $P$.<br>   \n$\\quad\\;\\;$ Démontrer que le triangle $MNP$ est équilatéral direct si et seulement si $z_M+jz_N+j^2z_P=0$.<br>\n</strong> \n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\nb.\n$MNP$ est équilatéral direct<br>\n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow \\frac{z_M-z_N}{z_P-z_N}=e^{i\\frac{\\pi}{3}}$<br>   \n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow \\frac{z_M-z_N}{z_P-z_N}=1+j$<br>      \n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow z_M-z_N=(1+j)(z_P-z_N)$<br> \n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow z_M+(-1+(1+j))z_N-(1+j)z_P=0$<br>  \n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow z_M+jz_N-(-j^2)z_P=0$<br> \n$\\quad \\displaystyle \\Leftrightarrow z_M+jz_N+j^2z_P=0$<br>\n</span>     "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n2. Application<br>\n<br>\n$\\;\\;\\;$On considère 6 points $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ ; $E$ et $F$ tels que $OAB$ ; $OCD$ et $OEF$ sont des triangles équilatéraux directs.<br>\n$\\;\\;\\;$$M$; $N$ et $P$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ ; $[DE]$ et $[FA]$.<br>\n<br>\n$\\;\\;\\;$a. Activer la figure dynamique fournie ci-dessous. Quelle conjecture peut-on faire concernant le triangle $MNP$ ? \n</strong>     "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Complexes Config 2\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ukakctvh/width/618/height/590/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"618px\" height=\"590px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n$\\quad\\quad$b. Exprimer $z_A$ ; $z_C$ et $z_E$ respectivement en fonction de $z_B$ ; $z_D$ et $z_F$.<br>\n$\\quad\\quad$c. Exprimer $z_M$ ; $z_N$ et $z_P$ en fonction de $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ ; $z_D$ ; $z_E$ et $z_F$.<br>\n$\\quad\\quad$d. Calculer $z_M+jz_N+j^2z_P$. Conclure. \n</strong>\n<br>\n<br>\n<span style=\"color:red\">\nb. $OAB$ est équilatéral direct donc $ABO$ aussi et d'après la caractérisation vue en 1. on a : $z_A+jz_B+j^2\\times0=0$ c'est-à-dire $z_A=-jz_B$.<br>\n$\\;\\;\\;$De la même façon, on a $z_C=-jz_D$ et $z_E=-jz_F$.<br>\nc. $\\displaystyle z_M=\\frac{1}{2}(z_B+z_C)$ ; $\\displaystyle z_N=\\frac{1}{2}(z_D+z_E)$ et $\\displaystyle z_P=\\frac{1}{2}(z_F+z_A)$.<br>\nd. $\\displaystyle z_M+jz_N+j^2z_P=\\frac{1}{2} \\left( z_B+z_C+j(z_D+z_E)+j^2(z_F+z_A) \\right)$<br>\n    $\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\;\\; \\displaystyle =\\frac{1}{2} \\left( z_B+z_C+jz_D+jz_E+j^2z_F+j^2z_A \\right)$<br>\n    $\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\;\\; \\displaystyle =\\frac{1}{2} \\left( z_B-jz_D+jz_D-j^2z_F+j^2z_F-j^3z_B \\right)$ et comme $j^3=1$ :<br>    \n    $\\displaystyle z_M+jz_N+j^2z_P=0$ donc $MNP$ est un triangle équilatéral direct<br>\n</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n<br><br>\n<span style=\"font-size:8px\">Dernière modification de l'activité : Juillet 2022</span>"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}