Flocon_Von_Koch_vd.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Le flocon de Von Koch "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\">Sommaire</span>\n\n<span style=\"color:#8E44AD\">1.</span> <a href=\"#1\">Construction géométrique et notations</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">2.</span> <a href=\"#2\">Étude du périmètre du flocon de Von Koch </a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">3.</span> <a href=\"#3\">Étude de l'aire du flocon de Von Koch</a><br>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span id=\"1\">1. Construction géométrique et notations</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<BLOCKQUOTE style='background-color:#DDEEEE;'>\n    <strong>Description de la construction :</strong><br><br>\n    La figure initiale est un triangle équilatéral $P_0$ de côté $1$.<br><br>\n    À chaque étape, le polygone $P_n$ étant construit avec des côtés de longueur $a_n$, on obtient le polygone $P_{n+1}$ en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur $a_{n+1}=\\displaystyle \\frac{a_n}{3}$ , vers l’extérieur.<br><br>\n</BLOCKQUOTE>        \n    Activer la figure dynamique ci-dessous, qui permet de visualiser les polygones $P_n$ pour les premières valeurs de $n$.<br>\n    <i style=\"color: #FF0000\">(Pour faire apparaître et activer la figure dynamique, sélectionner la cellule et valider avec <strong>SHIFT+Entrée</strong>).</i>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Flocon de Von Koch\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/phgsjuu3/width/431/height/543/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"431px\" height=\"543px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<BLOCKQUOTE style='background-color:#DDEEEE;'>\n    <figure style=\"float: right;\">\n        <img src=\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Von_Koch_notations.gif\">\n    </figure>\n    <strong>Notations :</strong><br><br>\nPour tout $n \\in \\mathbb{N}$, on note :\n    <ul>\n        <li>$\\color{#3F48CC}{c_n}$ le <strong style=\"color:#3F48CC\">nombre de côtés</strong> du polygone $P_n$ ;</li>    \n        <li>$\\color{#22B14C}{a_n}$ la <strong style=\"color:#22B14C\">longueur des côtés</strong> du polygone $P_n$ ;</li> \n        <li>$\\color{#A349A4}{p_n}$ le <strong style=\"color:#A349A4\">périmètre</strong> du polygone $P_n$ ;</li> \n        <li>$\\color{#E36C0A}{A_n}$ l'<strong style=\"color:#E36C0A\">aire</strong> du polygone $P_n$.</li>\n    </ul>\n</BLOCKQUOTE> "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span id=\"2\">2. Étude du périmètre du flocon de Von Koch</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>2.1. $\\;$a. Donner les valeurs de $c_0$ ; $c_1$ et $c_2$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(c_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $c_n$ en fonction de $n$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ c. Combien le polygone $P_5$ a-t-il de côtés ?<br>\n$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{c_n}$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ e. Écrire une fonction Python <mark style=\"font-family: Consolas;\">c</mark> d'argument <mark style=\"font-family: Consolas;\">n</mark> permettant le calcul de $c(n)$.<br>\n$\\quad\\quad\\;$ Effectuer ensuite les saisies nécessaires pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction c permettant le calcul de c(n)\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>2.2. $\\;$a. Donner les valeurs exactes de $a_0$ ; $a_1$ et $a_2$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(a_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ c. Quelle est la longueur des côtés du polygone $P_5$ ?<br>\n$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{a_n}$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ e. La fonction Python <mark style=\"font-family: Consolas;\">a</mark> d'argument <mark style=\"font-family: Consolas;\">n</mark> donnée ci-dessous permet le calcul de la valeur exacte de $a(n)$.<br>\n$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultats de la questions 2.2.c.\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from sympy import Rational \n# Cet import permet d'utiliser la fonction Rational pour effectuer des calculs de fractions sous forme exacte\n\ndef a(n):\n    \"Fonction qui calcule la longueur des côtés du polygone P_n\"\n    return Rational(1,3**n)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"scrolled":true,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.2.c.\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>2.3. $\\;$a. Exprimer $p_n$ en fonction de $c_n$ et $a_n$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ b. Déterminer la valeur exacte du périmètre de $P_5$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ c. Écrire une fonction Python <mark style=\"font-family: Consolas;\">p</mark> d'argument <mark style=\"font-family: Consolas;\">n</mark> permettant le calcul de la valeur exacte de $p_n$<br>\n$\\quad\\quad\\;$ (on effectuera des appels aux fonctions précédentes avec les syntaxes <mark style=\"font-family: Consolas;\">c(n)</mark> et <mark style=\"font-family: Consolas;\">a(n)</mark>).   \n$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction p permettant le calcul de p(n) sous forme exacte\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n$\\quad$ d. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. Justifier que la suite $(p_n)_{n\\geq0}$ est géométrique. <br>    \n$\\quad$ e. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{p_n}$. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.\n</strong>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span id=\"3\">3. Étude de l'aire du flocon de Von Koch</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>3.1. $\\;$Démontrer qu'un triangle équilatéral de côté $a>0$ a pour aire $\\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2$.<br> \n3.2. $\\;$Donner la valeur de $A_0$.<br>\n3.3. $\\;$a. Combien de triangles sont ajoutés lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ ? Que vaut l'aire ajoutée ? En déduire la valeur de $A_1$.<br>\n$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python <mark style=\"font-family: Consolas;\">AireEqui</mark> d'argument <mark style=\"font-family: Consolas;\">a</mark> qui permet le calcul de la valeur exacte d'un triangle de côté $a$.<br>\n$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour effectuer le calcul de $A_1$ de la question 3.3.a.<br>\n$\\quad\\quad\\;$ (on utilisera respectivement les syntaxes <mark style=\"font-family: Consolas;\">a(0)</mark> et <mark style=\"font-family: Consolas;\">a(1)</mark> pour les longueurs des côtés de $P_0$ et $P_1$)\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from sympy import sqrt\n# Cet import permet d'utiliser la fonction sqrt pour effectuer des calculs avec racines carrées sous forme exacte\n\ndef AireEqui(a):\n    \"Fonction qui calcule l'aire d'un triangle équilatéral de côté a (sous forme exacte)\"\n    return sqrt(3)*Rational(a**2,4)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici la saisie pour retrouver le résultat de la question 3.3.a.\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<figure style=\"float: right;\">\n    <img src=\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Von_Koch_passage.gif\">\n</figure>\n<strong>3.4. On effectue maintenant un raisonnement similaire à celui de la question 3.2. dans le cas général.<br>\n$\\quad\\;\\;$ a. On considère un entier $n>0$.<br>\n$\\quad\\quad\\;\\;$ En raisonnant sur les aires ajoutées lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$, justifier que :<br>\n$\\quad\\quad\\;\\;$ $\\displaystyle A_n = A_{n-1}+c_{n-1}\\times \\frac{\\sqrt{3}}{4}{a_n}^2$<br>\n$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python <mark style=\"font-family: Consolas;\">A</mark> d'argument <mark style=\"font-family: Consolas;\">n</mark> permettant le calcul de $A_n$.<br> \n$\\quad\\quad\\;\\;$ Exécuter les saisies proposées pour obtenir la valeur exacte de $A_1$ et sa valeur décimale approchée.<br>\n$\\quad\\quad\\;\\;$ Vérifier la cohérence avec les résultats des questions 3.3.a. et 3.3.b.\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"def A(n):\n    \"fonction qui calcule l'aire du polygone P_n (sous forme exacte)\"\n    if n==0: return AireEqui(1)\n    return A(n-1)+c(n-1)*sqrt(3)*Rational(a(n)**2,4)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"A(1)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"A(1).evalf()","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<strong>\n$\\quad\\;\\;$ d. Effectuer des saisies pour évaluer $A_5$, $A_{10}$ et $A_{100}$.<br>\n$\\quad\\quad\\;\\;$ Que peut-on conjecturer pour la suite $(A_n)_{n\\geq0}$ ?<br>\n$\\quad\\quad\\;\\;$ Interpréter géométriquement ce résultat.<br>\n</strong>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser ces zones pour les saisies demandées\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Von_Koch](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Von_Koch.png)\n\n<center> <a href=\"https://fr.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch\">Niels Fabian Helge von Koch</a> (1870-1924)</center>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n<br><br>\n<span style=\"font-size:8px\">Dernière modification de l'activité : Juillet 2022</span>"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}