Coefficients_binomiaux_correction_vd.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# <span style=\"color:#6C3483\">Triangle de Pascal, propriétés des coefficients binomiaux </span> <span style=\"color:red\">(corrigé)</span>\n<span style=\"color:#6C3483\">Génération des coefficients binomiaux par la formule de Pascal, et propriétés des coefficients binomiaux.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\">Sommaire</span>\n\n<span style=\"color:#8E44AD\">1.</span> <a href=\"#1\">Triangle de Pascal</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">2.</span> <a href=\"#2\">Formule factorielle </a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">3.</span> <a href=\"#3\">Compléments : Quelques propriétés énoncées par Pascal</a><br>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"1\">1. Triangle de Pascal</span>\n\n<span style=\"color: #7C39C9\">Dans cette partie, nous étudierons le \"<strong>triangle arithmétique</strong>\" décrit par <a href=\"https://fr.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal\"><strong>Blaise Pascal</strong></a> dans son traité paru en 1655, pour ensuite implémenter en Python la construction de ce triangle.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.1. Suivre la vidéo suivante.__\n\n<video controls src=\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/video/Triangle_Pascal.mp4\" width=\"960\" height=\"540\" />"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.2. Tester la syntaxe Python fournie ci-dessous, qui permet de générer un tableau carré de dimension $N \\times N$.__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Tester cette cellule\nimport numpy as np\n\nN = 12 #nombre de lignes et de colonnes du tableau\n\nT = np.array( [ [0 for k in range(N)] for n in range(N)] )\nT","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.3. Écrire une fonction Python <mark>Pascal</mark> qui reçoit en argument un entier N et qui renvoie le tableau de dimension $N \\times N$ contenant le triangle de Pascal, c'est à dire tel que le coefficient de la $n$<sup>ème</sup> ligne et de la $k$<sup>ème</sup> colonne sera $\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$__\n<br>\n<br>\nAides :\n<ul>\n    <li>Commencer par créer un tableau de dimension $N \\times N$ rempli de coefficients $0$.</li>\n    <li>Compléter la première colonne du tableau à l'aide de la formule : \n        $$\\forall \\; 0 \\leq n \\leq N-1 \\;\\;;\\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix}=1$$</li>\n    <li>Compléter le reste du triangle à l'aide de la formule de Pascal :\n        $$\\forall \\; 1 \\leq n \\leq N-1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix}$$</li>\n</ul>\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Pascal\n\ndef Pascal(N):\n    \"\"\"\n    fonction qui renvoie le triangle de Pascal dans un tableau NxN\n    \"\"\"\n       \n    T=np.array( [ [0 for n in range(N)] for k in range(N)] )  # génération d'un tableau rempli de 0    \n    \n    for n in range(N):                                        # complétion de la première colonne avec des 1\n        T[n][0] = 1\n    \n    for n in range(1,N):                                      # applications de la formule de Pascal\n        for k in range(1,n+1):\n            T[n][k] = T[n-1][k-1] + T[n-1][k]\n    \n    return T\n    ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.4. Effectuer un appel à la fonction Python <mark>Pascal</mark> avec $N=12$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"Pascal(12)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"2\">2. Formule factorielle</span>\n\n<span style=\"color: #7C39C9\">Dans cette partie, à l'aide de la relation de Pascal, nous construirons une formule des calculs des combinaisons basée sur la notion de factorielle.</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.1. Pour tout entier $n \\geq 0$, on appelle factorielle de $n$ et on note $n!$ l'entier défini par :__\n\n$$n! = \\left\\{\n    \\begin{array}{ll}\n        1 & \\mbox{si } n =0 \\\\\n        1 \\times 2 \\times ... \\times n & \\mbox{sinon.}\n    \\end{array}\n\\right.$$\n\n__$\\quad$Écrire une fonction <mark>fact</mark> qui reçoit en argument un entier $n \\geq 0$ et renvoie la valeur de $n!$ .__\n<br>__$\\quad$Tester ensuite la fonction pour calculer $0!$ ; $3!$ et $6!$ .__\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction fact\n\ndef fact(n):\n    \"\"\"\n    fonction qui renvoie la factorielle de n\n    \"\"\"\n    f=1\n    for j in range(1,n+1):\n        f = f*j\n    return f\n     ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser cette cellule pour tester la fonction fact\n\nfact(0) , fact (3) , fact(6)\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.2. Voici des extraits du traité de Pascal qui lui permettent de construire son triangle :__\n\n![Illustration_binomiale_1](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_1.png)\n\n__$\\quad$Sous forme moderne, ces relations peuvent s'écrire :__\n<ul>\n    <li>$\\forall \\; n \\geq 0 \\;\\;;\\;\\; \\color{#A349A4}{ \\begin{pmatrix} n \\\\ 0 \\end{pmatrix} }=\\color{#A349A4}{ \\begin{pmatrix} n \\\\ n \\end{pmatrix} } = \\color{#A349A4}{1} $</li>\n    <li> $\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n-1 \\;\\;;\\;\\; \\color{#3F48CC}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}}=\\color{#3F48CC}{\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix}}+\\color{#3F48CC}{\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix}}$</li>\n</ul>\n\n\n__$\\quad$À l'aide de ces relations, démontrer par récurrence que : $$\\forall \\; n \\geq 0 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\;\\; \\color{#FF7F27}{ \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} = \\color{#FF7F27}{ \\frac{n!}{k!(n-k)!} }$$__\n\n\n<span style=\"color:#FF0000\">Posons, pour $n \\geq 0$ : $$P(n) : \" \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\;\\;  \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} =  \\frac{n!}{k!(n-k)!} \"$$. \n<br><br>\nTout d'abord $\\displaystyle \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = 1 = \\frac{0!}{0!(0-0)!}$ donc $P(0)$ est vraie. \n<br><br>\nSupposons que $P(n)$ est vraie pour un rang $n \\geq 0$ fixé.\n<br>\nSoit alors $k$ tel que $0 < k < n+1$.\n</span>\n\n$$\\color{#FF0000}{\\begin{pmatrix} n+1 \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} }$$ \n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \\frac{n!}{k!(n-k)!} }$$\n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \\frac{n!}{k!(n-k)!} }$$\n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{n!\\times k}{k!(n-k+1)!} + \\frac{n!\\times(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} }$$\n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{n!\\times (k+(n-k+1))}{k!(n-k+1)!} }$$\n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{n!\\times (n+1)}{k!(n-k+1)!} }$$\n<br>$$\\color{#FF0000}{= \\frac{(n+1)!}{k!((n+1)-k)!} }$$\n<br>\n<span style=\"color:#FF0000\">De plus, on a $\\displaystyle \\begin{pmatrix} n+1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = 1 = \\frac{(n+1)!}{0!(n+1-0)!}$ et $\\displaystyle \\begin{pmatrix} n+1 \\\\ n+1 \\end{pmatrix} = 1 = \\frac{(n+1)!}{(n+1)!((n+1)-(n+1))!}$\n<br>\nOn en déduit que $P(n+1)$ est vraie.\n<br><br>\nEn conclusion, la propriété $P(n)$ est fondée pour $n=0$ et héréditaire pour $n \\geq 0$, donc elle est vraie pour tout $n \\geq 0$.\n</span>\n\n\n$\\quad$Note : Pascal avait déjà connaissance de cette méthode de calcul :\n\n![Illustration_binomiale_19](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_19.png)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.3. À l'aide de la fonction <mark>fact</mark> définie précédemment, écrire une fonction Python <mark>Combinaison</mark> qui reçoit en argument $n$ et $k$ et qui renvoie la valeur de $\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$.__<br/>\n<br>\nAides:\n<ul>\n    <li>On pourra utiliser la fonction <mark>fact</mark> définie précédemment ;</li>\n    <li>On utilisera la syntaxe <mark>//</mark> pour la division, pour s'assurer que le résultat est de type entier.</li>\n</ul>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Combinaison\n\ndef Combinaison(n,k):\n    \"\"\"\n    fonction qui renvoie le nombre de combinaisons de k parmi n\n    \"\"\"\n    return fact(n)//(fact(k)*fact(n-k))\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.4. Effectuer un appel à votre fonction <mark>Combinaison</mark> pour calculer $\\begin{pmatrix} 11 \\\\ 4 \\end{pmatrix}$.__\n<br>\n__$\\quad$ Vérifier la cohérence du résultat en utilisant le triangle de Pascal obtenu à la question 1.4.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Utiliser cette cellule pour tester la fonction Combinaison\n\nCombinaison(11,4)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"3\">3. Compléments : Quelques propriétés énoncées par Pascal</span>\n\n<span style=\"color: #7C39C9\">Dans cette partie, nous nous intéresserons à des propriétés du triangle arithmétique que Pascal cite dans son traité, et en donnerons les formules équivalentes sous forme moderne.<br>Nous démontrerons les plus simples, et vérifierons simplement la validité des autres pour des valeurs particulières.</span>\n<br><br>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.1. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_2](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_2.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$ \\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n-1 \\;\\;; \\color{#00B050}{\\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}  \\;}=\\color{#00B050}{\\;  \\sum\\limits_{j=0}^{k} \\begin{pmatrix} n-1-k+j \\\\ j \\end{pmatrix} } $$\n\n\n__$\\quad$ Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de vérifier la validité de cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour vérifier la formule dans un cas particulier\n\nn=8\nk=5\n\na = Combinaison(n,k)\n\nb = sum( [ Combinaison(n-1-k+j,j) for j in range(k+1) ])\n\na,b","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.2. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_3](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_3.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n\n$$ \\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;; \\color{#FF7F27}{  \\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} } \\;=\\; \\color{#FF7F27}{ \\sum\\limits_{j=0}^{n-k} \\begin{pmatrix} n-j-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix} }$$\n\n\n__$\\quad$ Proposer ci-dessous une saisie Python permettant de vérifier cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__\n<br>$\\quad\\;$On pourra s'inspirer des syntaxes fournies dans la question 3.1."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Proposer ici une vérification de la formule dans un cas particulier\n\nn=8\nk=5\n\na = Combinaison(n,k)\n\nb = sum( [ Combinaison(n-j-1,k-1) for j in range(n-k+1) ] )\n\na,b ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.3. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_4](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_4.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$ \\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n-1 \\;\\;; \\color{#00A2E8}{\\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}  }\\;-1=\\color{#00A2E8}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k-1} \\sum\\limits_{m=j}^{n-1-k+j} \\begin{pmatrix} m \\\\ j \\end{pmatrix}}$$\n\n\n__$\\quad$ Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de vérifier la validité de cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__"},{"metadata":{"scrolled":true,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"n=8\nk=5\n\na = Combinaison(n,k) -1\n\nb = sum ( [sum( [ Combinaison(m,j) for m in range(j,n-k+j) ]) for j in range(k) ] )\n\na,b","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.4. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_5](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_5.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n\n$$ \\forall \\; n \\geq 0 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n \\;\\;; \\color{#BF8F00}{\\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} \\;=\\;\\color{#BF8F00}{ \\begin{pmatrix} n \\\\ n-k \\end{pmatrix} }$$\n\n\n__$\\quad$ Démontrer cette propriété.__\n\n\n$$ \\color{#FF0000}{\\forall \\; n \\geq 0 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n \\;\\;; \\;\\; \\begin{pmatrix} n \\\\ n-k \\end{pmatrix} \\;=\\frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!}=\\frac{n!}{(n-k)!k!}=\\;\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} }$$\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.5. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_6](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_6.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n\n$$ \\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;; \\color{#8080FF}{\\;  \\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} }\\;= 2 \\times \\color{#404080}{ \\sum\\limits_{j=0}^{n-1} \\begin{pmatrix} n-1 \\\\ j \\end{pmatrix} }$$\n\n\n__$\\quad$ a. Proposer ci-dessous une saisie Python permettant de vérifier cette formule pour une valeur particulière de $n$.__\n<br>$\\quad\\quad$On pourra s'inspirer des syntaxes fournies dans la question 3.1."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Proposer ici une vérification de la formule dans un cas particulier\n\nn=6\n\na = sum( [ Combinaison(n,k) for k in range(n+1) ] )\n\nb = 2*sum( [ Combinaison(n-1,j) for j in range(n) ] )\n\na,b ","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__$\\quad$b. En décomposant sous la forme :__ \n\n$$\\begin{matrix} {2\\times \\sum\\limits_{j=0}^{n-1}\\begin{pmatrix}n-1\\\\j\\end{pmatrix}} & = & \\begin{pmatrix}n-1\\\\0\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\1\\end{pmatrix}+ & ...+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-2\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-1\\end{pmatrix} & {}\n              \\\\ {                                                                 } & {} & + & \\begin{pmatrix}n-1\\\\0\\end{pmatrix}+ & ...+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-3\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-2\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-1\\end{pmatrix}\n\\end{matrix}$$\n\n\n__$\\quad\\;\\;\\;$et en regroupant les termes par deux, démontrer la formule annoncée.__\n\n\n$$\\color{#FF0000}{\\begin{matrix} {2\\times \\sum\\limits_{j=0}^{n-1}\\begin{pmatrix}n-1\\\\j\\end{pmatrix}} & = & \\begin{pmatrix}n-1\\\\0\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\1\\end{pmatrix}+ & ...+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-2\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-1\\end{pmatrix} & {}\n              \\\\ {                                                                 } & {} & + & \\begin{pmatrix}n-1\\\\0\\end{pmatrix}+ & ...+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-3\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-2\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n-1\\\\n-1\\end{pmatrix}\n              \\\\ {} & = & 1+ & \\begin{pmatrix}n\\\\1\\end{pmatrix}+ & ...+ & \\begin{pmatrix}n\\\\n-2\\end{pmatrix}+ & \\begin{pmatrix}n\\\\n-1\\end{pmatrix} & {+1}\n              \\\\ {} & {=} & {\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} & {} & {} & {} & {} & {}\n\\end{matrix}}$$\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__$\\quad$ c. En déduire que la suite de terme général $\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$ est géométrique, en précisant son premier terme et sa raison.<br>$\\quad\\quad$ Donner ensuite l'expression de $\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$ en fonction de $n$. Ce résultat est énoncé ainsi par Pascal :__\n\n\n<span style=\"color:red\">Posons $u_n=\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$. On passe d'un terme de cette suite au suivant en multipliant par $2$, donc la suite $(u_n)_{n \\geq 0}$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=\\sum\\limits_{k=0}^{0} \\begin{pmatrix} 0 \\\\ k \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix}=1$. Par propriété des suites géométriques, il s'en suit que pour tout $n \\geq 0$ ; $u_n=\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} = 2^n.$</span>\n\n\n\n![Illustration_binomiale_7](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_7.png)\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__$\\quad$ d. Déduire de la question précédente que $\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\color{#8080FF}{\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} }-1 = \\color{#00A2E8}{\\sum\\limits_{m=0}^{n-1} \\sum\\limits_{k=0}^{m} \\begin{pmatrix} m \\\\ k \\end{pmatrix}} $.__ \n\n\n<span style=\"color:red\">Par propriété de la somme des termes d'une suite géométrique, on a :</span> \n$$\\color{#FF0000}{\\sum\\limits_{m=0}^{n-1}{u_m}=\\sum\\limits_{m=0}^{n-1}{2^m}=\\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1=u_n-1}$$   \n<span style=\"color:red\">et puisque $u_n=\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}$, on obtient :</span>\n$$\\color{#FF0000}{\\sum\\limits_{m=0}^{n-1} \\sum\\limits_{k=0}^{m} \\begin{pmatrix} m \\\\ k \\end{pmatrix}=\\sum\\limits_{k=0}^{n} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}-1}$$\n\n\n\n__Le résultat précédent est énoncé ainsi par Pascal :__\n![Illustration_binomiale_8](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_8.png)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.6. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_9](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_9.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n\n$$\\ \\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq K \\leq n-1 \\;\\;; \\color{#C65911}{\\;\\; \\sum\\limits_{k=0}^{K} \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix} }\\;=\\; \\color{#2F75B5}{ \\sum\\limits_{k=0}^{K} \\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix}}\\;+\\;\\color{#00B0F0}{ \\sum\\limits_{k=0}^{K-1} \\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix} }$$\n\n\n\n__$\\quad$ Vérifier que cette propriété est correcte pour $n=6$ et $K=3$ (cellules représentées sur l'illustration).__"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.7. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_10](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_10.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peuvt s'écrire :__\n\n$$ \\forall \\; k \\geq 1 \\;\\;; \\color{#FF7F27}{\\;\\; \\begin{pmatrix} 2k \\\\ k \\end{pmatrix} }\\;= 2 \\times \\color{#FFAEC9}{\\begin{pmatrix} 2k-1 \\\\ k \\end{pmatrix}}\\;= 2 \\times \\color{#FFC90E}{ \\begin{pmatrix} 2k-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix} }$$\n\n__$\\quad$ Démontrer cette propriété.__\n\n\n$$\\color{#FF0000}{ \\forall \\; k \\geq 1 \\;\\;; \\;\\; 2 \\times \\begin{pmatrix} 2k-1 \\\\ k \\end{pmatrix}\\; = 2 \\times \\frac{(2k-1)!}{((2k-1)-k)!k!} = \\frac{2k}{k} \\times \\frac{(2k-1)!}{(k-1)!k!} = \\frac{(2k)!}{(k)!k!} = \\frac{(2k)!}{(k)!(2k-k)!} = \\begin{pmatrix} 2k \\\\ k \\end{pmatrix} }$$\n\n$$\\color{#FF0000}{ \\forall \\; k \\geq 1 \\;\\;; \\;\\; 2 \\times \\begin{pmatrix} 2k-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix}\\; = 2 \\times \\frac{(2k-1)!}{((2k-1)-(k-1))!(k-1)!} = \\frac{2k}{k} \\times \\frac{(2k-1)!}{k!(k-1)!} = \\frac{(2k)!}{(k)!k!} = \\frac{(2k)!}{(k)!(2k-k)!} = \\begin{pmatrix} 2k \\\\ k \\end{pmatrix} }$$\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.8. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_11](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_11.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n-k+1} }{ \\color{#22B14C}{k} }$$\n\n__$\\quad$ Démontrer cette propriété.__\n\n\n$$\\color{#FF0000}{\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} { \\begin{pmatrix} n \\\\ k-1 \\end{pmatrix}}  = \\frac{n!}{k!(n-k)!} \\times \\frac{(n-(k-1))!(k-1)!}{n!} = \\frac{n!(n-k+1))!(k-1)!}{k!(n-k)!n!} = \\frac{ n-k+1} { k} }$$\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.9. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_12](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_12.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n} }{ \\color{#22B14C}{n-k} }$$\n\n__$\\quad$ Démontrer cette propriété.__\n\n\n$$\\color{#FF0000}{\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} { \\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k \\end{pmatrix}}  = \\frac{n!}{k!(n-k)!} \\times \\frac{((n-1)-k)!k!}{(n-1)!} = \\frac{n!(n-k-1)!k!}{k!(n-k)!(n-1)!} = \\frac{ n} { n-k} }$$"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.10. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_13](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_13.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{\\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n} }{ \\color{#22B14C}{k} }$$\n\n__$\\quad$ Démontrer cette propriété.__\n\n\n$$\\color{#FF0000}{\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} { \\begin{pmatrix} n-1 \\\\ k-1 \\end{pmatrix}}  = \\frac{n!}{k!(n-k)!} \\times \\frac{((n-1)-(k-1))!(k-1)!}{(n-1)!} = \\frac{n!(n-k)!(k-1)!}{k!(n-k)!(n-1)!} = \\frac{ n} { k} }$$"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.11. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_14](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_14.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 1 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k} \\begin{pmatrix} n-k+j \\\\ j \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{\\begin{pmatrix} n \\\\ k \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n+1} }{ \\color{#22B14C}{n+1-k} }$$\n\n__$\\quad$ Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de vérifier la validité de cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour vérifier la formule dans un cas particulier\n\nn=9\nk=3\n\na = sum( [ Combinaison(n-k+j,j) for j in range(k+1) ] ) / Combinaison(n,k)\n\nb = (n+1)/(n+1-k)\n\na,b \n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.12. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_15](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_15.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n-1 \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k+1} \\begin{pmatrix} n-j \\\\ k+1-j \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k} \\begin{pmatrix} n-j \\\\ k-j \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n+1-k} }{ \\color{#22B14C}{k+1} }$$\n\n__$\\quad$ Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de vérifier la validité de cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour vérifier la formule dans un cas particulier\n\nn=7\nk=3\n\na = sum( [ Combinaison(n-j,k+1-j) for j in range(k+2) ] ) / sum( [ Combinaison(n-j,k-j) for j in range(k+1) ] )\n\nb = (n+1-k)/(k+1)\n\na,b \n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.13. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_16](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_16.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n-1 \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#22B14C}{ \\sum\\limits_{m=k}^{n} \\begin{pmatrix} m \\\\ k \\end{pmatrix}} }{ \\color{#0070C0}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k} \\begin{pmatrix} n-j \\\\ k-j \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#22B14C}{n+1-k} }{ \\color{#0070C0}{k+1} }$$\n\n__$\\quad$ Proposer ci-dessous une saisie Python permettant de vérifier cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__\n<br>$\\quad\\;$On pourra s'inspirer des syntaxes fournies dans la question 3.12."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Proposer ici une vérification de la formule dans un cas particulier\n\nn=7\nk=4\n\na = sum( [ Combinaison(m,k) for m in range(k,n+1) ] ) / sum( [ Combinaison(n-j,k-j) for j in range(k+1) ] )\n\nb = (n+1-k)/(k+1)\n\na,b \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.14. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_17](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_17.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$\\forall \\; n \\geq 1 \\;\\;;\\; \\forall \\; 0 \\leq k \\leq n \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#0070C0}{ \\sum\\limits_{j=0}^{n-k} \\begin{pmatrix} n-j \\\\ n-k-j \\end{pmatrix}} }{ \\color{#22B14C}{ \\sum\\limits_{j=0}^{k} \\begin{pmatrix} n-j \\\\ k-j \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#0070C0}{n+1-k} }{ \\color{#22B14C}{k+1} }$$\n\n__$\\quad$ Proposer ci-dessous une saisie Python permettant de vérifier cette formule pour des valeurs particulières de $n$ et $k$.__\n<br>$\\quad\\;$On pourra s'inspirer des syntaxes fournies dans la question 3.12."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Proposer ici une vérification de la formule dans un cas particulier\n\nn=9\nk=2\n\na = sum( [ Combinaison(n-j,n-k-j) for j in range(n-k+1) ] ) / sum( [ Combinaison(n-j,k-j) for j in range(k+1) ] )\n\nb = (n+1-k)/(k+1)\n\na,b \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\n__3.15. Extrait du traité de Pascal:__\n\n![Illustration_binomiale_18](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Coeff_bin/Coeff_bin_18.png)\n\n__$\\quad$ Sous forme moderne, cette propriété peut s'écrire :__\n\n$$ \\forall \\; k \\geq 1 \\;\\;;\\quad \\frac{ \\color{#22B14C}{ \\begin{pmatrix} 2k \\\\ k \\end{pmatrix}} }{ 4 \\times \\color{#0070C0}{ \\begin{pmatrix} 2(k-1) \\\\ k-1 \\end{pmatrix}} } = \\frac{ \\color{#22B14C}{2k-1} }{ \\color{#0070C0}{2k} }$$\n\n__$\\quad$ Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de vérifier la validité de cette formule pour une valeur particulière de $k$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Exécuter cette cellule pour vérifier la formule dans un cas particulier\n\n\nk=3\n\na = Combinaison(2*k,k) / (4*Combinaison(2*(k-1),k-1))\n\nb = (2*k-1)/(2*k)\n\na,b \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Pascal](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Blaise_Pascal.png)\n\n<center> <a href=\"https://fr.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal\">Blaise Pascal</a> (1623-1662)</center>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n<br><br>\n<span style=\"font-size:8px\">Dernière modification de l'activité : Juillet 2022</span>"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}