Algorithme_Brouncker_vd.ipynb

{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n\n<span style=\"color: #9317B4\"> Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec </span><span style=\"color: #B317B4\"><strong>SHIFT+Entrée</strong></span>.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# <span style=\"color:#6C3483\">Algorithme de Brouncker pour le calcul de ln(2)</span> "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### <span style=\"color:#8E44AD\">Sommaire</span>\n\n\n<span style=\"color:#8E44AD\">1.</span> <a href=\"#1\">Construction géométrique</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">2.</span> <a href=\"#2\">Implémentation de l'algorithme de Brouncker</a><br>\n<span style=\"color:#8E44AD\">3.</span> <a href=\"#3\">Recherche de la précision de la méthode</a><br>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<span style=\"color: #7C39C9\">*Le but de l'activité est d'obtenir une valeur approchée de $ln(2)$ à l'aide de l'<strong>algorithme de Brouncker</strong>, qui est basé sur une méthode géométrique.*</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"1\">1. Construction géométrique</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On considère la fonction $h$ définie sur $\\mathbb{R}^*  $ par $\\displaystyle h(x)=\\frac{1}{x}$.\n<br><br>\n__1.1. Démontrer que $ln(2)$ est l'aire de la zone délimitée par l'axe des abscisses, la courbe de la fonction $h$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. On cherche donc à donner une estimation de cette aire.__\n<br><br>\n\n\n<em>La figure dynamique suivante permet de visualiser la construction géométrique mise en œuvre.</em>\n<br><br>\n<span style=\"color: #FF0000\">Pour faire apparaître et activer l'animation, sélectionner la cellule ci-dessous et valider avec <strong>SHIFT+Entrée</strong>.</span>\n\n\n<span style=\"color: #BDBFBF\">Vous pouvez ensuite utiliser les menus cinématiques :</span>\n\n\n![Menus_animation](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/menus_animation_GeoGebra.png)\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Brouncker\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qk3xgkmr/width/806/height/586/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"806px\" height=\"586px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<br><br>\nOn \"empile\" successivement des rectangles sous la courbe de $h$ de la façon suivante : \n<ul>\n    <li>Le premier rectangle est construit sur l'axe des abscisses, entre les abscisses $1$ et $2$, et de hauteur maximale sous la courbe de $h$ ;</li>\n    <li>À chaque étape, on introduit les milieux des abscisses utilisées à l'étape précédente, et on construit à partir de ces abscisses et des précédentes des rectangles situés au dessus des précédents, de hauteurs maximales sous la courbe de $h$.</li>\n</ul>\n<br>\nAu vu de la figure, on <strong>admettra</strong> que les sommes des aires des rectangles ainsi successivement construits ont pour limite l'aire de la zone que l'on cherche à calculer.\n\nPour la suite, on utilisera les notations introduites sur les figures fournies.<br><br>\n\n__1.2. a. Calculer $Aire(R_1)$.__<br>\n__$\\quad\\;$ b. En raisonnant par soustraction, justifier que $\\displaystyle Aire(R_2)=\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}$__<br>\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Brouncker_etape1](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Brouncker_img1.png)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.3. En raisonnant par soustraction, justifier que $\\displaystyle Aire(R_3)=\\frac{1}{5}-\\frac{1}{6}$ puis que $\\displaystyle Aire(R_4)=\\frac{1}{7}-\\frac{1}{8}$.__<br>\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Brouncker_etape2](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Brouncker_img2.png)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__1.4 Donner les valeurs de $Aire(R_5)$, $Aire(R_6)$, $Aire(R_7)$ et $Aire(R_8)$.__<br><br>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Brouncker_etape3](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Brouncker_img3.png)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"2\">2. Implémentation de l'algorithme de Brouncker</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.1. Soit $k\\in\\mathbb{N}^*$. En réduisant au même dénominateur, exprimer $\\displaystyle \\frac{1}{2k-1}-\\frac{1}{2k}$ sous forme d'une fraction.__\n<br>\n\n__2.2. Justifier que la somme des $8$ rectangles $R_k$ précédemment construits, pour $1\\leq k \\leq 8$, vaut \n$\\displaystyle \\sum\\limits_{k=1}^8{\\frac{1}{(2k-1)\\times(2k)}} =\\frac{1}{1\\times2}+\\frac{1}{3\\times4}+...+\\frac{1}{15\\times16}$.__\n<br>\n\n__2.3. Écrire une fonction Python <mark>Brouncker</mark> qui permet de calculer cette somme.__\n<br>$\\quad\\;$On pourra incrémenter un accumulateur S dans une boucle pour additionner, l'une après l'autre, les aires de ces rectangles."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Brouncker qui renvoie la somme des 8 rectangles \n\n\n\n\n\n# Écrire ici l'appel à la fonction Brouncker\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On admet maintenant que la somme $\\displaystyle \\sum\\limits_{k=1}^n{\\frac{1}{(2k-1)\\times(2k)}} =\\frac{1}{1\\times2}+\\frac{1}{3\\times4}+...+\\frac{1}{(2n-1)\\times(2n)}$ a pour limite $ln(2)$ quand $n$ tend vers $+\\infty$.\n\n\n\n__2.4. Adapter la fonction <mark>Brouncker</mark> précédente pour qu'elle reçoive $n$ en argument et permette de calculer cette somme.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Brouncker qui renvoie la somme des n rectangles \n\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__2.5. Effectuer une saisie pour obtenir une valeur approchée de $ln(2)$ obtenue par la méthode de Brouncker avec 100 rectangles.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici l'appel à la fonction Brouncker\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## <span style=\"color:#8E44AD\" id=\"3\">3. Recherche de la précision de la méthode</span>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Dans la partie précédente, on a défini une suite $(u_n)_{n \\geq 1}$ définie par $\\displaystyle u_n=\\sum\\limits_{k=1}^n{\\frac{1}{(2k-1)\\times(2k)}} =\\frac{1}{1\\times2}+\\frac{1}{3\\times4}+...+\\frac{1}{(2n-1)\\times(2n)}$ en considérant une somme d'aires de rectangles construits sous la courbe de $h$\n<br><br>\nOn <strong>admet</strong> dans cette partie qu'en considérant des rectangles construits au dessus de la courbe de $h$, on peut définir une suite $\\displaystyle (v_n)_{n \\geq 1}$ définie par $ v_n=1-\\sum\\limits_{k=1}^n{\\frac{1}{(2k)\\times(2k+1)}} =1-\\frac{1}{2\\times3}-\\frac{1}{4\\times5}+...+\\frac{1}{(2n)\\times(2n+1)}$ qui vérifie $\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{v_n}=ln(2)$.\n<br><br>\n\n\n<em>La figure dynamique suivante permet de visualiser la construction géométrique mise en œuvre.</em>\n<br><br>\n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"<iframe scrolling=\"no\" title=\"Brouncker2\" src=\"https://www.geogebra.org/material/iframe/id/d5kdhemy/width/736/height/579/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false\" width=\"736px\" height=\"579px\" style=\"border:0px;\"> </iframe>\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On admettra que :<br>\n<ul>\n    <li>$\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{u_n}=\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{v_n}=ln(2)$</li><br>\n    <li>Pour tout $n \\geq 1$, on a $u_n \\leq ln(2) \\leq v_n$</li>\n</ul>\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"On fixe $m>0$.<br>\nAinsi, si $n$ vérifie $v_n - u_n \\leq m$, alors $u_n$ et $v_n$ fournissent un encadrement de $ln(2)$ d'amplitude inférieure à $m$.<br>\n\n__3.1. Reprendre la fonction Python <mark>Brouncker</mark> écrite dans la partie 2 et modifier cette fonction de telle sorte que :__\n\n+ la fonction reçoit $m$ en argument\n+ dans la boucle on calcule à la fois $u_n$ et $v_n$\n+ la boucle s'interrompt dès que $v_n - u_n \\leq m$\n+ la fonction renvoie les valeurs $u_n$ et $v_n$ finales\n<br><br>\nAide : On utilisera une boucle while, et on introduira une variable $T$ pour le calcul des termes de $v_n$."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Brouncker modifiée\n\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.2. À l'aide de la fonction obtenue à la question précédente, obtenir un encadrement de $ln(2)$ d'amplitude inférieure à $10^{-6}$.__"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Effectuer ici l'appel à la fonction\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"__3.3. La syntaxe <mark>from math import log</mark> permet d'utiliser la fonction Python <mark>log</mark> qui correspond à la fonction mathématique $ln$.__<br>\n__$\\quad\\;\\;$Effectuer la saisie nécessaire pour calculer $ln(2)$, et vérifier la cohérence de l'encadrement obtenu à la question précédente.__<br>"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici les saisies nécessaires pour calculer le logarithme népérien de 2\n\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![Brouncker](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/William_Brouncker.jpg)\n\n<center><a href=\"https://fr.wikipedia.org/wiki/William_Brouncker\">William Brouncker</a> (1620-1684) </center>"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"<i>© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.</i><br>\n<i>Les activités partagées sur <a href=\"https://capytale2.ac-paris.fr/web/accueil\"><strong>Capytale</strong></a> sont sous licence <a href=\"https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr/\">Creative Commons</a>.</i>\n<br><br>\n<span style=\"font-size:8px\">Dernière modification de l'activité : Juillet 2022</span>"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}