cours_01_B.ipynb

{"cells":[{"metadata":{"init_cell":true,"run_control":{"marked":false},"hide_output":true,"hide_input":true,"trusted":true},"cell_type":"code","source":"# Permet de tout executer au lancement du notebook + conserver le notebook actif pendant 2h\nfrom IPython.display import Javascript\nfrom masquer import *\nJavascript(\"\"\"\nfunction repeter(){\nIPython.notebook.kernel.execute(\"a=1\");\n}\n// execute a = 1 en python toutes les 8 minutes pendant 2h\nlet timerId = setInterval(() => repeter(), 4800);\nsetTimeout(() => { clearInterval(timerId); alert('fin de cession'); }, 7200000);\n\n// Supprimer la taille limite pour la sortie d'une cellule\nIPython.OutputArea.prototype._should_scroll = function(lines) {\n    return false;\n};\nIPython.notebook.kernel.execute(\"url = '\" + window.location + \"'\");\n\n// Exécuter toutes les cellule du notebook\n    require(\n        ['base/js/namespace', 'jquery'], \n        function(jupyter, $) {\n            \n                \n                jupyter.actions.call('jupyter-notebook:run-all-cells-below');\n                jupyter.actions.call('jupyter-notebook:save-notebook');\n                Jupyter.actions.call('jupyter-notebook:hide-header')\n\n        }\n    );\"\"\")","execution_count":2,"outputs":[{"output_type":"execute_result","execution_count":2,"data":{"text/plain":"<IPython.core.display.Javascript object>","application/javascript":"\nfunction repeter(){\nIPython.notebook.kernel.execute(\"a=1\");\n}\n// execute a = 1 en python toutes les 8 minutes pendant 2h\nlet timerId = setInterval(() => repeter(), 4800);\nsetTimeout(() => { clearInterval(timerId); alert('fin de cession'); }, 7200000);\n\n// Supprimer la taille limite pour la sortie d'une cellule\nIPython.OutputArea.prototype._should_scroll = function(lines) {\n    return false;\n};\nIPython.notebook.kernel.execute(\"url = '\" + window.location + \"'\");\n\n// Exécuter toutes les cellule du notebook\n    require(\n        ['base/js/namespace', 'jquery'], \n        function(jupyter, $) {\n            \n                \n                jupyter.actions.call('jupyter-notebook:run-all-cells-below');\n                jupyter.actions.call('jupyter-notebook:save-notebook');\n                Jupyter.actions.call('jupyter-notebook:hide-header')\n\n        }\n    );"},"metadata":{}}]},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"# <span style=\"color:red;\"><center>Chapitre 1 : Représentation des données : types et valeurs de base</center></span>"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"-"}},"cell_type":"markdown","source":"## B. Ecrire un entier naturel dans une base"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"### I. Bases de numération\n\nLa **numération** est l'opération qui consiste à **compter (énumérer) un nombre entier d'entités**.\n\nVous ne le savez peut être pas mais vous comptez en **base 10** ou **base décimale**. Cela signifie que vous utilisez seulement **10 chiffres** (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) pour compter par **paquets de 10** (les unités, puis les dizaines, les centaines, ...).\n\nCeci n'a rien d'obligatoire ou naturel, on **peut tout aussi bien compter en base 2, 8 ou 16**. Evidemment, compter en **base 2**, c'est compter en **binaire**. La **base 16** est appelée **base hexadécimale**, elle utilise les lettres A, B, C, D, E et F pour compléter les 10 chiffres habituels."},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"### II. Principe de numération\nSoit $b$ un entier tel que $b \\geq 2$, alors tout nombre entier $k$ peut s'écrire sous la forme :\n$$k=a_n\\times b^n+a_{n-1}\\times b^{n-1} + ... +a_2 \\times b^2 + a_1 \\times b + a_0 \\times 1$$\noù $n$ et les $a_i$ sont des entiers naturels tel que $b^n < k$ et $ 0 \\leq a_i \\leq b-1$.\nLes $a_i$ sont alors les chiffres qui composent le nombre $k$ écrit dans la base $n$.\n\nPar exemple, le nombre 213 en base 10 (on devrait écrire $213_{10}$ pour préciser qu'on est en base 10 mais comme c'est la base par défaut, on peut s'en passer) vérifie bien :\n$$213 = 2 \\times 10^2+1\\times 10+3\\times 1$$\nMais ce même nombre peut s'écrire en base 3 ou en base 8 : $213 = 21220_3 = 325_8$"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"### III. Conversion en base 10 d'un nombre en base b\n\nDans ce cas c'est assez simple, il suffit d'appliquer la formule du II.\n#### Application\nVérifier par le calcul que $213 = 21220_3 = 325_8$, ou encore que $1101011_2=107_{10}$.\n\n**Astuce** : En python, on peut signaler qu'un nombre est écrit en binaire en le faisant précéder par ``0b``. Ainsi ``print(0b1101011)`` affiche la valeur décimale correspondant à $1101011$."},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"### IV. Conversion en base b d'un nombre en base 10\n\nL'opération est un peu plus compliquée dans ce sens là mais le principe reste simple.\n\nPour convertir un nombre entier $n$ de la base 10 à la base $b$, il faut, en gros, compter combien de paquets de taille $b$ peut contenir $n$, c'est-à-dire faire la division entière de $n$ par $b$. Mais si cela donne un nombre plus grand que $b$, alors on a à faire à un nombre à plusieurs chiffres et il va falloir aussi regarder le nombre de paquets de $b^2$, $b^3$, ... que contient $n$ jusqu'à ce qu'on trouve $0$, c'est-à-dire jusqu'à ce que $b^k > n$."},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"cell_type":"markdown","source":"#### Exemple\n\nConvertissons 213 en base 8 :\n\n* $213\\,//\\,8 = 26$ reste $5$\n* $26 > 8$ alors on caclule $213\\,//\\,8^2=3$ reste $21$\n* $213\\,//\\,8^3=0$ donc ce n'est pas la peine d'aller plus loin\n* Par contre, $21\\,//\\,8=2$ reste $5$\n* Finalement, on a trouvé que $213 = 3\\times 8^2 + 2 \\times 8^1 + 5 \\times 8^0$ soit $213=325_8$.\n"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"cell_type":"markdown","source":"Cette façon de faire est un peu fastidieuse, il existe une méthode plus simple. Faisons la division entière de 213 par 8, puis divisons le résultat obtenu à nouveau par 8 et ainsi de suite jusqu'à obtenir 0 :\n* $213\\,//\\,8 = 26$ reste <span style=\"color:red;\">$5$</span>\n* $26\\,//\\,8 = 3$ reste <span style=\"color:red;\">$2$</span>\n* $3\\,//\\,8 = 0$ reste <span style=\"color:red;\">$3$</span>\n\nEn écrivant les restes obtenus en partant de la fin on obtient le résultat recherché : <span style=\"color:red;\">$213=325_8$</span>\n\nEn python, l'utilisation de l'opérateur ``%`` qui donne directement le reste de la division entière rend cette méthode particulièrement efficace à programmer."},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"cell_type":"markdown","source":"#### Application\nUtiliser cette méthode pour effectuer *à la main* les conversions suivantes :\n* 106 en base 2\n* 413 en base 8\n* 1512 en base 16 (on rappelle qu'en base 16, les chiffres après 9 sont représentés par les lettres A, B, C, D, E, F)\n\n**Astuce :** Pour vérifier vos résultats, vous pouvez utiliser les fonctions ``bin()``, ``oct()`` et ``hex()`` qui permettent de convertir un nombre entier décimal en, respectivement, binaire (base 2), octale (base 8) et hexadécimale (base 16).\n"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"slide"}},"cell_type":"markdown","source":"### V. Conséquences sur le codage des entiers en informatique\n\nDans un ordinateur, si on décide d'allouer 1 octet = 8 bits pour coder les nombres entiers alors on peut coder des entiers allant de $0=00000000_2$ à $255=11111111_2$, soit $256=2^8$ valeurs possibles. C'est peu !\nAvec 32 bits = 4 octets on peut coder $2^{32}=4\\, 294 \\,967\\, 296$ entiers, c'est mieux mais ça ne suffit même pas à compter les humains vivant sur Terre.\nAvec 64 bits = 8 octets, on peut coder $2^{64} = 18\\, 446\\, 744\\, 073\\, 709\\, 551 \\,616$ entiers, dans la plupart des cas, ça devrait être suffisant ! ;)"},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"cell_type":"markdown","source":"De manière générale, pour savoir **combien de bits sont nécessaires pour coder un entier $n$ en binaire**, il faut chercher le plus grand $k$ tel que $n<2^k$.\n\nPar exemple, pour $n=32$ :\n* $32 \\geq 2^0=1$\n* $32 \\geq 2^1=2$\n* $32 \\geq 2^2=4$\n* $32 \\geq 2^3=8$\n* $32 \\geq 2^4=16$\n* $32 \\geq 2^5=32$\n* $32 < 2^5=64$\n\nIl faut donc $k=5$ bits et en effet : $32=100000_2$."},{"metadata":{"slideshow":{"slide_type":"subslide"}},"cell_type":"markdown","source":"**Le plus souvent, les entiers sont codés sur 8, 16, 32 ou 64 bits.** Mais certains langages, comme python, sont capables d'adapter le nombre de bits alloués aux entiers en fonction de leur taille.\n\nPour le TD sur les changements de base, ça se passe [là](TD_01_1.ipynb) et pour la suite du cours, ça se passe [ici](cours_01_C.ipynb)."}],"metadata":{"kernelspec":{"name":"python3","display_name":"Python 3","language":"python"},"language_info":{"name":"python","version":"3.7.8","mimetype":"text/x-python","codemirror_mode":{"name":"ipython","version":3},"pygments_lexer":"ipython3","nbconvert_exporter":"python","file_extension":".py"},"celltoolbar":"none"},"nbformat":4,"nbformat_minor":4}