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<title>Estadística: inferencia y modelado - 3 Programación probabilista</title>
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<h1 class="quarto-secondary-nav-title"><span class="chapter-number">3</span> <span class="chapter-title">Programación probabilista</span></h1>
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<a href="./">Estadística: inferencia y modelado</a>
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<a href="./00_Probabilidad.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">1</span> <span class="chapter-title">Probabilidad</span></a>
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<a href="./01_Inferencia_Bayesiana.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">2</span> <span class="chapter-title">Inferencia Bayesiana</span></a>
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<a href="./02_Programación_probabilística.html" class="sidebar-item-text sidebar-link active"><span class="chapter-number">3</span> <span class="chapter-title">Programación probabilista</span></a>
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<a href="./03_Modelos_jerárquicos.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">4</span> <span class="chapter-title">Modelado Jerárquico</span></a>
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<a href="./04_Diagnóstico_MCMC.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">5</span> <span class="chapter-title">Diagnóstico del muestreo</span></a>
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<a href="./05_Regresión_lineal.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">6</span> <span class="chapter-title">Regresión Lineal</span></a>
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<li class="sidebar-item">
<div class="sidebar-item-container">
<a href="./06_Generalizando_modelos_lineales.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">7</span> <span class="chapter-title">Generalizando modelos lineales</span></a>
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<div class="sidebar-item-container">
<a href="./07_Comparación_de_modelos.html" class="sidebar-item-text sidebar-link"><span class="chapter-number">8</span> <span class="chapter-title">Comparación de modelos</span></a>
</div>
</li>
</ul>
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<nav id="TOC" role="doc-toc" class="toc-active">
<h2 id="toc-title">Table of contents</h2>
<ul>
<li><a href="#introducción-a-pymc" id="toc-introducción-a-pymc" class="nav-link active" data-scroll-target="#introducción-a-pymc"><span class="toc-section-number">3.1</span> Introducción a PyMC</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#el-problema-de-la-moneda-ahora-usando-pymc-y-arviz" id="toc-el-problema-de-la-moneda-ahora-usando-pymc-y-arviz" class="nav-link" data-scroll-target="#el-problema-de-la-moneda-ahora-usando-pymc-y-arviz"><span class="toc-section-number">3.1.1</span> El problema de la moneda, ahora usando PyMC y ArviZ</a></li>
<li><a href="#creación-del-modelo" id="toc-creación-del-modelo" class="nav-link" data-scroll-target="#creación-del-modelo"><span class="toc-section-number">3.1.2</span> Creación del modelo</a></li>
<li><a href="#inferencia" id="toc-inferencia" class="nav-link" data-scroll-target="#inferencia"><span class="toc-section-number">3.1.3</span> Inferencia</a></li>
<li><a href="#resumiendo-el-a-posteriori" id="toc-resumiendo-el-a-posteriori" class="nav-link" data-scroll-target="#resumiendo-el-a-posteriori"><span class="toc-section-number">3.1.4</span> Resumiendo el <em>a posteriori</em></a></li>
</ul></li>
<li><a href="#decisiones-basadas-en-el-posterior" id="toc-decisiones-basadas-en-el-posterior" class="nav-link" data-scroll-target="#decisiones-basadas-en-el-posterior"><span class="toc-section-number">3.2</span> Decisiones basadas en el posterior</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#rope" id="toc-rope" class="nav-link" data-scroll-target="#rope"><span class="toc-section-number">3.2.1</span> ROPE</a></li>
<li><a href="#funciones-de-perdida" id="toc-funciones-de-perdida" class="nav-link" data-scroll-target="#funciones-de-perdida"><span class="toc-section-number">3.2.2</span> Funciones de perdida</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#modelos-multiparamétricos" id="toc-modelos-multiparamétricos" class="nav-link" data-scroll-target="#modelos-multiparamétricos"><span class="toc-section-number">3.3</span> Modelos Multiparamétricos</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#inferencias-lumínicas" id="toc-inferencias-lumínicas" class="nav-link" data-scroll-target="#inferencias-lumínicas"><span class="toc-section-number">3.3.1</span> Inferencias lumínicas</a></li>
<li><a href="#modelos-robustos" id="toc-modelos-robustos" class="nav-link" data-scroll-target="#modelos-robustos"><span class="toc-section-number">3.3.2</span> Modelos robustos</a></li>
<li><a href="#accidentes-mineros" id="toc-accidentes-mineros" class="nav-link" data-scroll-target="#accidentes-mineros"><span class="toc-section-number">3.3.3</span> Accidentes mineros</a></li>
</ul></li>
<li><a href="#pruebas-predictivas-a-posteriori" id="toc-pruebas-predictivas-a-posteriori" class="nav-link" data-scroll-target="#pruebas-predictivas-a-posteriori"><span class="toc-section-number">3.4</span> Pruebas predictivas a posteriori</a></li>
<li><a href="#pruebas-predictivas-a-priori" id="toc-pruebas-predictivas-a-priori" class="nav-link" data-scroll-target="#pruebas-predictivas-a-priori"><span class="toc-section-number">3.5</span> Pruebas predictivas <em>a priori</em></a></li>
<li><a href="#comparando-grupos" id="toc-comparando-grupos" class="nav-link" data-scroll-target="#comparando-grupos"><span class="toc-section-number">3.6</span> Comparando grupos</a>
<ul class="collapse">
<li><a href="#d-de-cohen" id="toc-d-de-cohen" class="nav-link" data-scroll-target="#d-de-cohen"><span class="toc-section-number">3.6.1</span> d de Cohen</a></li>
<li><a href="#probabilidad-de-superioridad" id="toc-probabilidad-de-superioridad" class="nav-link" data-scroll-target="#probabilidad-de-superioridad"><span class="toc-section-number">3.6.2</span> Probabilidad de superioridad</a></li>
<li><a href="#el-conjunto-de-datos-tips" id="toc-el-conjunto-de-datos-tips" class="nav-link" data-scroll-target="#el-conjunto-de-datos-tips"><span class="toc-section-number">3.6.3</span> El conjunto de datos <em>tips</em></a></li>
</ul></li>
<li><a href="#resumen" id="toc-resumen" class="nav-link" data-scroll-target="#resumen"><span class="toc-section-number">3.7</span> Resumen</a></li>
<li><a href="#para-seguir-leyendo" id="toc-para-seguir-leyendo" class="nav-link" data-scroll-target="#para-seguir-leyendo"><span class="toc-section-number">3.8</span> Para seguir leyendo</a></li>
<li><a href="#ejercicios" id="toc-ejercicios" class="nav-link" data-scroll-target="#ejercicios"><span class="toc-section-number">3.9</span> Ejercicios</a></li>
</ul>
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</div>
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<main class="content" id="quarto-document-content">
<header id="title-block-header" class="quarto-title-block default">
<div class="quarto-title">
<h1 class="title d-none d-lg-block"><span class="chapter-number">3</span> <span class="chapter-title">Programación probabilista</span></h1>
</div>
<div class="quarto-title-meta">
</div>
</header>
<div class="cell" data-execution_count="1">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb1"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb1-1"><a href="#cb1-1"></a><span class="im">import</span> arviz <span class="im">as</span> az</span>
<span id="cb1-2"><a href="#cb1-2"></a><span class="im">import</span> pymc <span class="im">as</span> pm</span>
<span id="cb1-3"><a href="#cb1-3"></a><span class="im">import</span> preliz <span class="im">as</span> pz</span>
<span id="cb1-4"><a href="#cb1-4"></a><span class="im">import</span> numpy <span class="im">as</span> np</span>
<span id="cb1-5"><a href="#cb1-5"></a><span class="im">import</span> scipy.stats <span class="im">as</span> stats</span>
<span id="cb1-6"><a href="#cb1-6"></a><span class="im">import</span> pandas <span class="im">as</span> pd</span>
<span id="cb1-7"><a href="#cb1-7"></a><span class="im">import</span> matplotlib.pyplot <span class="im">as</span> plt</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</div>
<div class="cell" data-execution_count="2">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb2"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb2-1"><a href="#cb2-1"></a>az.style.use(<span class="st">"arviz-doc"</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</div>
<div class="cell" data-execution_count="3">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb3"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb3-1"><a href="#cb3-1"></a><span class="op">%%</span>javascript</span>
<span id="cb3-2"><a href="#cb3-2"></a>IPython.OutputArea.prototype._should_scroll <span class="op">=</span> function(lines) {</span>
<span id="cb3-3"><a href="#cb3-3"></a> <span class="cf">return</span> false<span class="op">;</span></span>
<span id="cb3-4"><a href="#cb3-4"></a>}</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<script type="application/javascript">
IPython.OutputArea.prototype._should_scroll = function(lines) {
return false;
}
</script>
</div>
</div>
<blockquote class="blockquote">
<p>Nuestros golems raramente tienen forma física, pero a menudo están hechos de arcilla y viven <em>in silicio</em> como código de computadora -Richard McElreath</p>
</blockquote>
<p>Los objetivos de este capítulo son:</p>
<ul>
<li>Construir modelos con PyMC</li>
<li>Analizar modelos con PyMC y ArviZ</li>
<li>Explorar formas alternativas de interpretar el <em>a posteriori</em></li>
<li>La importancia del tamaño del efecto vs la irrelavancia de la significancia.</li>
<li>Aprender sobre modelos jerárquicos
<ul>
<li>agrupamiento-parcial</li>
<li>efecto de <em>contracción</em></li>
</ul></li>
</ul>
<p>La estadística Bayesiana es conceptualmente muy simple, tenemos lo <em>conocido</em> y lo <em>desconocido</em>. El teorema de Bayes se utiliza para condicionar lo desconocido usando lo conocido, si tenemos suerte este proceso conducirá a una reducción de la incertidumbre sobre lo desconocido. Por lo general nos referimos a lo conocido como datos y los consideramos fijo mientras que lo desconocido toma la forma de parámetros de distribuciones de probabilidad. La simpleza conceptual para formular modelos Bayesianos contrasta con la dificultad matemático/computacional para resolverlos. Por muchos años esto fue un verdadero problema y retrasó la adopción de métodos Bayesianos.</p>
<p>A fin de poder resolver los modelos Bayesianos se recurre a métodos numéricos que pueden ser considerados como <em>motores universales de inferencia</em>. El hecho que tales motores sean posibles ha motivado el surgimiento de la programación probabilística, este tipo de lenguajes permiten una separación clara entre la creación de los modelos y el proceso de inferencia.</p>
<p>Un lenguaje de programación probabilístico es, en lineas generales, un lenguaje que le permite al usuario describir, en una pocas lineas de código (las necesarias para describir el modelo), un modelo probabilístico completo. Luego se procede a utilizar este modelo para realizar la inferencia de forma automática. Se espera que la programación probabilística tenga un gran impacto en estadística, <em>machine learning</em> y otras disciplinas al permitir que científicos construyan modelos complejos en menor tiempo y de forma menos propensa a errores.</p>
<p>Una buena analogía sobre el impacto que un lenguaje de programación puede tener en la ciencia es la introducción del lenguaje de programación Fortran hace más de 6 décadas. Fortran permitió a los científicos, por primera vez, abstraerse de muchos de los detalles computacionales y centrarse en la construcción de métodos numéricos, modelos y simulaciones de una manera más natural. De manera similar, se espera que los lenguajes de programación probabilísticos escondan del usuario detalles sobre cómo las probabilidades son manipuladas y cómo se lleva a cabo la inferencia, dejando que los usuarios se centren en la especificación del modelo y en el análisis e interpretación de los resultados.</p>
<section id="introducción-a-pymc" class="level2" data-number="3.1">
<h2 data-number="3.1" class="anchored" data-anchor-id="introducción-a-pymc"><span class="header-section-number">3.1</span> Introducción a PyMC</h2>
<p>PyMC es un paquete para programación probabilística bajo Python. PyMC es lo suficientemente madura para resolver muchos problemas estadísticos. PyMC permite crear modelos probabilísticos usando una sintaxis intuitiva y fácil de leer que es muy similar a la sintaxis usada para describir modelos probabilísticos.</p>
<p>La mayoría de las funciones de PyMC están escritas en Python. Mientras que las partes computacionalmente demandantes están escritas en NumPy y <a href="https://pytensor.readthedocs.io/en/latest/">PyTensor</a>. Pytensor es una biblioteca de Python que permite definir, optimizar y evaluar expresiones matemáticas que involucran matrices multidimensionales de manera eficiente. PyTensor es hija de Theano una librería de Python originalmente desarrollada para <em>deep learning</em> (que es a su vez la antesesora de TensorFlow, PyTorch, etc).</p>
<section id="el-problema-de-la-moneda-ahora-usando-pymc-y-arviz" class="level3" data-number="3.1.1">
<h3 data-number="3.1.1" class="anchored" data-anchor-id="el-problema-de-la-moneda-ahora-usando-pymc-y-arviz"><span class="header-section-number">3.1.1</span> El problema de la moneda, ahora usando PyMC y ArviZ</h3>
<p>A continuación revisitaremos el problema de la moneda visto en el capítulo anterior, usando esta vez PyMC para definir nuestro modelo y hacer inferencia. Luego usaremos ArviZ para analizar el <em>a posterori</em>.</p>
<p>A continuación generaremos datos sintéticos, en este caso asumiremos que conocemos el valor the <span class="math inline">\(\theta\)</span> y lo llamaremos <code>theta_real</code>, y luego intentaremos <em>averiguar</em> este valor <em>como si no</em> lo conocieramos. En un problema <em>real</em> <code>theta_real</code> sería desconocido y realizaríamos un proceso de inferencia precisamtente para averiguar su valor.</p>
<div class="cell" data-execution_count="4">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb4"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb4-1"><a href="#cb4-1"></a>np.random.seed(<span class="dv">123</span>)</span>
<span id="cb4-2"><a href="#cb4-2"></a>n_experimentos <span class="op">=</span> <span class="dv">4</span></span>
<span id="cb4-3"><a href="#cb4-3"></a>theta_real <span class="op">=</span> <span class="fl">0.35</span> <span class="co"># en una situación real este valor es desconocido</span></span>
<span id="cb4-4"><a href="#cb4-4"></a>datos <span class="op">=</span> pz.Binomial(n<span class="op">=</span><span class="dv">1</span>, p<span class="op">=</span>theta_real).rvs(size<span class="op">=</span>n_experimentos)</span>
<span id="cb4-5"><a href="#cb4-5"></a>datos</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display" data-execution_count="4">
<pre><code>array([1, 0, 0, 0])</code></pre>
</div>
</div>
</section>
<section id="creación-del-modelo" class="level3" data-number="3.1.2">
<h3 data-number="3.1.2" class="anchored" data-anchor-id="creación-del-modelo"><span class="header-section-number">3.1.2</span> Creación del modelo</h3>
<p>Ahora que tenemos nuestros datos es necesario especificar el modelo. Para ello usaremos una distribución beta (con parámetros <span class="math inline">\(\alpha=\beta=1\)</span>) como <em>a priori</em> y la distribución de Bernoulli como likelihood. Usando la notación usual en estadística tenemos:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{align}
\theta &\sim \operatorname{Beta}(\alpha=1, \beta=1)\\
Y &\sim \operatorname{Bin}(n=1, p=\theta)
\end{align}\]</span></p>
<blockquote class="blockquote">
<p>Cada uno de los elementos del <em>array</em> <code>datos</code> es un experimento de Bernoulli, es decir un experimento donde solo es posible obtener dos valores (0 o 1) si en cambio tuviera el número total de “caras” obtenidas en varios experimentos de Bernoulli podríamos modelar el likelihood como una distribución Binomial.</p>
</blockquote>
<p>Esto modelo se traduce casi literalmente a PyMC, veamos:</p>
<div class="cell" data-execution_count="5">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb6"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb6-1"><a href="#cb6-1"></a><span class="cf">with</span> pm.Model() <span class="im">as</span> nuestro_primer_modelo:</span>
<span id="cb6-2"><a href="#cb6-2"></a> θ <span class="op">=</span> pm.Beta(<span class="st">"θ"</span>, alpha<span class="op">=</span><span class="dv">1</span>, beta<span class="op">=</span><span class="dv">1</span>) <span class="co"># a priori</span></span>
<span id="cb6-3"><a href="#cb6-3"></a> y <span class="op">=</span> pm.Bernoulli(<span class="st">"y"</span>, p<span class="op">=</span>θ, observed<span class="op">=</span>datos) <span class="co"># likelihood</span></span>
<span id="cb6-4"><a href="#cb6-4"></a> <span class="co"># y = pm.Binomial('y',n=n_experimentos, p=θ, observed=sum(datos))</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</div>
<p>En la primer linea hemos creado un nuevo objeto llamado <em>nuestro_primer_modelo</em>. Este objeto contiene información sobre el modelo y las variables que lo conforman. PyMC usa el bloque <em>with</em> para indicar que todas las lineas que están dentro de él hacen referencia al mismo modelo (que en este caso se llama <em>nuestro_primer_modelo</em>).</p>
<p>La segunda linea de código, especifica el <em>a priori</em>, como pueden ver la sintaxis sigue de cerca a la notación matemática, la única diferencia es que el primer argumento es siempre una <em>cadena</em> que especifica el nombre de la variable aleatoria (el nombre es usado internamente por PyMC), este nombre siempre deberá coincidir con el nombre de la variable de Python a la que se le asigna. De no ser así el código correrá igual, pero puede conducir a errores y confusiones al analizar el modelo.</p>
<blockquote class="blockquote">
<p>Es importante recalcar que las variables de PyMC, como <span class="math inline">\(\theta\)</span>, no son números sino objetos que representan distribuciones. Es decir objetos a partir de los cuales es posible calcular probabilidades y generar números aleatorios.</p>
</blockquote>
<p>En la tercer linea de código se especifica el <em>likelihood</em>, que como verán es similar a la linea anterior con la diferencia que hemos agregado un argumento llamado <code>observed</code> al cual le asignamos nuestros datos. Esta es la forma de indicarle a PyMC cuales son los datos. Los datos pueden ser números, listas de Python, <em>arrays</em> de NumPy o <em>data_frames</em> de Pandas.</p>
</section>
<section id="inferencia" class="level3" data-number="3.1.3">
<h3 data-number="3.1.3" class="anchored" data-anchor-id="inferencia"><span class="header-section-number">3.1.3</span> Inferencia</h3>
<p>Nuestro modelo ya está completamente especificado, lo único que nos resta hacer es obtener el <em>a posteriori</em>. En el capítulo anterior vimos como hacerlo de forma analítica, ahora lo haremos con métodos numéricos.</p>
<p>En PyMC la inferencia se realiza escribiendo las siguientes lineas:</p>
<div class="cell" data-scrolled="true" data-execution_count="6">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb7"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb7-1"><a href="#cb7-1"></a><span class="cf">with</span> nuestro_primer_modelo:</span>
<span id="cb7-2"><a href="#cb7-2"></a> idata <span class="op">=</span> pm.sample(<span class="dv">1000</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (4 chains in 4 jobs)
NUTS: [θ]</code></pre>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<style>
/* Turns off some styling */
progress {
/* gets rid of default border in Firefox and Opera. */
border: none;
/* Needs to be in here for Safari polyfill so background images work as expected. */
background-size: auto;
}
progress:not([value]), progress:not([value])::-webkit-progress-bar {
background: repeating-linear-gradient(45deg, #7e7e7e, #7e7e7e 10px, #5c5c5c 10px, #5c5c5c 20px);
}
.progress-bar-interrupted, .progress-bar-interrupted::-webkit-progress-bar {
background: #F44336;
}
</style>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<div>
<progress value="8000" class="" max="8000" style="width:300px; height:20px; vertical-align: middle;"></progress>
100.00% [8000/8000 00:00<00:00 Sampling 4 chains, 0 divergences]
</div>
</div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Sampling 4 chains for 1_000 tune and 1_000 draw iterations (4_000 + 4_000 draws total) took 1 seconds.</code></pre>
</div>
</div>
<p>Primero llamamos al objeto que definimos como nuestro modelo (<em>nuestro_primer_modelo</em>), indicando de esta forma que es sobre ese objeto que queremos realizar la inferencia. En la segunda linea le indicamos a PyMC que deseamos 1000 muestras. Esta linea luce inocente, pero internamente PyMC está haciendo muchas cosas por nosotros. Algunas de las cuales son detalladas en el mensaje que se imprime en pantalla.</p>
<p>Veamos este mensaje:</p>
<ul>
<li>La primer linea indica que PyMC ha asignado el método de muestreo NUTS, el cual es un muy buen método para variables continuas.</li>
<li>La segunda linea nos da información sobre cómo se inicializaron los valores de NUTS. Un detalle que por ahora no nos preocupa.</li>
<li>La tercer linea indica que PyMC correrá cuatro cadenas en paralelo, es decir generará cuatro muestras independientes del <em>a posteriori</em>. Esta cantidad puede ser diferente en sus computadoras ya que es determinada automáticamente en función de los procesadores disponibles (que en mi caso, 4). <code>sample</code> tiene un argumento <code>chains</code> que permite modificar este comportamiento.</li>
<li>La cuarta linea indica qué variable ha sido asignada a cual método de muestreo. En este caso la información es redundante, ya que tenemos una sola variable, pero esto no siempre es así. PyMC permite combinar métodos de muestreo, ya sea de forma automática basado en propiedades de las variables a muestrear o especificado por el usuario usando el argumento <code>step</code>.</li>
<li>La quinta linea es una barra de progreso con varias métricas sobre la velocidad del muestreo, que en este caso (y para referencia futura) es muy alta. Tambiém indica la cantidad de cadenas usadas y la cantidad de divergencias. Tener 0 divergencias es ideal, más adelante discutiremos la razón.</li>
<li>Por último tenemos un detalle de la cantidad de muestras generadas, aunque pedimos 1000 obtuvimos 8000, la razón es que es son 1000 por cadena (4 cadenas en mi caso), es decir 4000. Todavía nos queda explicar 4000 muestras <em>extras</em>, estas se corresponden a 1000 por cadena y son muestras que PyMC utiliza para <em>auto-tunear</em> el método de muestreo. Estás muestras son luego descartadas automáticametne ya que no son muestras representativas del posterior. La cantidad de pasos que se usan para <em>tunear</em> el algoritmo de muestro se puede cambiar con el argumento <code>tune</code> de la función <code>pm.sample(.)</code>.</li>
</ul>
</section>
<section id="resumiendo-el-a-posteriori" class="level3" data-number="3.1.4">
<h3 data-number="3.1.4" class="anchored" data-anchor-id="resumiendo-el-a-posteriori"><span class="header-section-number">3.1.4</span> Resumiendo el <em>a posteriori</em></h3>
<p>Por lo general, la primer tarea a realizar luego de haber realizado un muestreo es evaluar como lucen los resultados. La función <code>plot_forestplot</code> de ArviZ es muy útil para esta tarea.</p>
<div class="cell" data-execution_count="7">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb10"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb10-1"><a href="#cb10-1"></a>az.plot_forest(idata, combined<span class="op">=</span><span class="va">True</span>, figsize<span class="op">=</span>(<span class="dv">6</span>, <span class="dv">2</span>))<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-8-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>El punto indica la media, la linea gruesa el rango intercuartial y las lineas finas el HDI 94%</p>
<blockquote class="blockquote">
<p>Es importante notar que la variable <code>y</code> es una variable observada, es decir conocida. Mientras que en gráfico anterior estamos dibujando solo <span class="math inline">\(\theta\)</span> que es la única variables desconocida, y por lo tanto muestreada.</p>
</blockquote>
<p>Si quisieramos un resúmen numérico de los resultados podemos usar:</p>
<div class="cell" data-execution_count="8">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb11"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb11-1"><a href="#cb11-1"></a>az.summary(idata, kind<span class="op">=</span><span class="st">"stats"</span>)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display" data-execution_count="8">
<div>
<table class="dataframe table table-sm table-striped">
<thead>
<tr>
<th></th>
<th>mean</th>
<th>sd</th>
<th>hdi_3%</th>
<th>hdi_97%</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<th>θ</th>
<td>0.332</td>
<td>0.176</td>
<td>0.035</td>
<td>0.646</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</div>
<p>Como resultado obtenemos un DataFrame con los valores de la media, la desviación estándar y el intervalo HDI 94% (hdi_3 hdi_97).</p>
<p>Otra forma de resumir visualmente el a posteriori es usar la función <code>plot_posterior</code> que viene con ArviZ, ya hemos utilizado esta distribución en el capítulo anterior para un falso a posteriori. Vamos a usarlo ahora con un posterior real. Por defecto, esta función muestra un histograma para variables discretas y KDEs para variables continuas. También obtenemos la media de la distribución (podemos preguntar por la mediana o moda usando el argumento <code>point_estimate</code>) y el 94% HDI como una línea negra en la parte inferior de la gráfica. Se pueden establecer diferentes valores de intervalo para el HDI con el argumento <code>hdi_prob</code>. Este tipo de gráfica fue presentado por John K. Kruschke en su gran libro “Doing Bayesian Data Analysis”.</p>
<div class="cell" data-execution_count="9">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb12"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb12-1"><a href="#cb12-1"></a>az.plot_posterior(idata)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-10-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
</section>
</section>
<section id="decisiones-basadas-en-el-posterior" class="level2" data-number="3.2">
<h2 data-number="3.2" class="anchored" data-anchor-id="decisiones-basadas-en-el-posterior"><span class="header-section-number">3.2</span> Decisiones basadas en el posterior</h2>
<p>A veces describir el <em>a posteriori</em> no es suficiente, y es necesario tomar decisiones basadas en nuestras inferencias. Esto suele implicar reducir una estimación continua a una dicotómica: sí-no, enfermo-sano, contaminado-seguro, etc. Es posible, por ejemplo, que tengamos que decidir si la moneda está o no sesgada. Una moneda sesgada sería una que no caiga cara con probabilidad 0.5. Por lo tanto una forma de evaluar el sesgo es comparar el valor de referencia 0.5 contra el intervalo HPD. En la figura anterior, podemos ver que el HPD va de <span class="math inline">\(\approx 0.02\)</span> a <span class="math inline">\(\approx 0.71\)</span> y, por lo tanto, 0.5 está incluido en el HPD. Según el <em>a posterioriri</em> la moneda parece estar sesgada hacia las cecas, pero no podemos descartar por completo el valor de 0.5. Si esta conclusión nos deja sabor a poco entonces tendremos que recopilar más datos para así reducir la varianza del <em>a posteriori</em> o buscar información para definir un <em>a priori</em> más informativo.</p>
<section id="rope" class="level3" data-number="3.2.1">
<h3 data-number="3.2.1" class="anchored" data-anchor-id="rope"><span class="header-section-number">3.2.1</span> ROPE</h3>
<p>Estrictamente la probabilidad de observar el valor exacto de 0.5 es nula, además en la práctica no nos suele interesar tener precisión infinita si no que solemos tener una idea del rango de error que es tolerable o despreciable. Una posibilidad consiste en definir lo que se conoce como <em>región de equivalencia práctica</em> o ROPE (<em>Region Of Practical Equivalence</em>). Podríamos tener buenas razones para considerar que cualquier valor entre 0,45 y 0,55 es prácticamente equivalente a 0.5. No hay reglas generales para definir un ROPE ya que esta es una decisión contexto-dependiente. Para algunos problemas 0.05 podría ser mucho para otros poco, en algunos casos un rango simétrico es útil en otros es una mala idea.</p>
<p>Ya establecido la ROPE podemos usar las siguientes reglas para tomar una decisión:</p>
<ul>
<li><p>El valor de un parámetro es considerado improbable (o rechazado) si la totalidad de la ROPE cae por fuera del HPD 94% del parámetro en cuestión.</p></li>
<li><p>El valor de un parámetro es aceptado si la ROPE contiene por completo al HPD 94% del parámetro en cuestión.</p></li>
</ul>
<blockquote class="blockquote">
<p>Una ROPE es un intervalo arbitrario que se determina usando conocimiento previo y relevante sobre un tema. Cualquier valor dentro de este inervalo es considera equivalente.</p>
</blockquote>
<p>Usando la función <code>plot_posterior</code> de ArviZ, podemos graficar el posterior junto con el HPD y la ROPE.</p>
<div class="cell" data-execution_count="10">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb13"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb13-1"><a href="#cb13-1"></a>az.plot_posterior(idata, rope<span class="op">=</span>[<span class="fl">0.45</span>, <span class="fl">0.55</span>])<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-11-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Otra herramienta que nos puede asistir en la toma de decisiones es comparar el <em>a posteriori</em> con un valor de referencia. La función <code>plot_posterior</code> también nos permite hacer esto:</p>
<div class="cell" data-execution_count="11">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb14"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb14-1"><a href="#cb14-1"></a>az.plot_posterior(idata, ref_val<span class="op">=</span><span class="fl">0.5</span>)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-12-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>El valor de referencia está indicado con una linea turquesa, junto con la proporción del posterior por debajo y por arriba del valor de referencia.</p>
<p>Para una discusión más detallada del uso de la ROPE pueden leer el capítulo 12 del gran libro <em>“Doing Bayesian Data Analysis”</em> de John Kruschke. Este capítulo también discute cómo realizar pruebas de hipótesis de forma Bayesiana y los problemas de realizar este tipo de análisis, ya sea de forma Bayesiana o no-Bayesiana.</p>
</section>
<section id="funciones-de-perdida" class="level3" data-number="3.2.2">
<h3 data-number="3.2.2" class="anchored" data-anchor-id="funciones-de-perdida"><span class="header-section-number">3.2.2</span> Funciones de perdida</h3>
<p>Una alternativa más <em>formal</em> al uso de las ROPEs son las <strong>Funciones de pérdida</strong>. Para poder tomar la mejor decisión posible es necesario tener la mejor descripción posible de un problema y luego una evaluación correcta de los costos y beneficios. Bajo el marco Bayesiano lo primero implica obtener una distribución <em>a posteriori</em>, lo segundo se puede conseguir mediante la aplicación de una función de perdida. Una función de perdida es una forma de medir cuan distinta es una estimación respecto del valor <em>real</em> (o de referencia) de un parámetro. Algunos ejemplos comunes son:</p>
<ul>
<li>La perdida cuadrática <span class="math inline">\((\theta - \hat \theta)^2\)</span></li>
<li>La perdida absoluta $|- | $</li>
<li>La perdida 0-1 <span class="math inline">\(I(\theta \ne \hat{\theta})\)</span> siendo <span class="math inline">\(I\)</span> la función indicatriz</li>
</ul>
<p>La función de perdida (o su inversa) reciben diversos nombres según el campo de aplicación como funciones de costo, funciones objetivo, funciones de fitness (sic), funciones de utilidad, etc.</p>
<p>En la práctica generalmente desconocemos el valor correcto de <span class="math inline">\(\theta\)</span> y a duras penas tendremos un posterior adecuado, por lo tanto lo que se hace es tratar de encontrar el valor de <span class="math inline">\(\hat \theta\)</span> que minimice el <strong>valor esperado</strong> de la función de perdida. Esto implica promediar la función de perdida sobre todo el posterior, promediamos sobre el posterior porque desconocemos el valor de <span class="math inline">\(\theta\)</span>.</p>
<p>En el siguiente ejemplo tenemos dos funciones de pérdida. La función absoluta <code>lossf_a</code> y la cuadrática <code>lossf_b</code>. Evaluamos cada una de las funciones para distintos valores de <span class="math inline">\(\hat \theta\)</span> sobre una grilla de 500 puntos y encontramos el mínimo.</p>
<div class="cell" data-execution_count="12">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb15"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb15-1"><a href="#cb15-1"></a>_, ax <span class="op">=</span> plt.subplots(<span class="dv">1</span>)</span>
<span id="cb15-2"><a href="#cb15-2"></a>grid <span class="op">=</span> np.linspace(<span class="dv">0</span>, <span class="dv">1</span>, <span class="dv">500</span>)</span>
<span id="cb15-3"><a href="#cb15-3"></a>θ_pos <span class="op">=</span> az.extract(idata, var_names<span class="op">=</span><span class="st">"θ"</span>)</span>
<span id="cb15-4"><a href="#cb15-4"></a>lossf_a <span class="op">=</span> [np.mean(<span class="bu">abs</span>(i <span class="op">-</span> θ_pos)) <span class="cf">for</span> i <span class="kw">in</span> grid]</span>
<span id="cb15-5"><a href="#cb15-5"></a>lossf_b <span class="op">=</span> [np.mean((i <span class="op">-</span> θ_pos) <span class="op">**</span> <span class="dv">2</span>) <span class="cf">for</span> i <span class="kw">in</span> grid]</span>
<span id="cb15-6"><a href="#cb15-6"></a></span>
<span id="cb15-7"><a href="#cb15-7"></a><span class="cf">for</span> i, (lossf, c) <span class="kw">in</span> <span class="bu">enumerate</span>(<span class="bu">zip</span>([lossf_a, lossf_b], [<span class="st">"C0"</span>, <span class="st">"C1"</span>])):</span>
<span id="cb15-8"><a href="#cb15-8"></a> mini <span class="op">=</span> np.argmin(lossf)</span>
<span id="cb15-9"><a href="#cb15-9"></a> ax.plot(grid, lossf, c)</span>
<span id="cb15-10"><a href="#cb15-10"></a> ax.plot(</span>
<span id="cb15-11"><a href="#cb15-11"></a> grid[mini],</span>
<span id="cb15-12"><a href="#cb15-12"></a> lossf[mini],</span>
<span id="cb15-13"><a href="#cb15-13"></a> <span class="st">"o"</span>,</span>
<span id="cb15-14"><a href="#cb15-14"></a> color<span class="op">=</span>c,</span>
<span id="cb15-15"><a href="#cb15-15"></a> label<span class="op">=</span><span class="ss">f"función de perdida </span><span class="sc">{</span>[<span class="st">'a'</span>,<span class="st">'b'</span>][i]<span class="sc">}</span><span class="ss">"</span>,</span>
<span id="cb15-16"><a href="#cb15-16"></a> )</span>
<span id="cb15-17"><a href="#cb15-17"></a> pos <span class="op">=</span> (np.<span class="bu">max</span>(lossf) <span class="op">-</span> np.<span class="bu">min</span>(lossf)) <span class="op">*</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb15-18"><a href="#cb15-18"></a> ax.annotate(<span class="ss">f"</span><span class="sc">{</span>grid[mini]<span class="sc">:.2f}</span><span class="ss">"</span>, (grid[mini], lossf[mini] <span class="op">+</span> pos), color<span class="op">=</span>c)</span>
<span id="cb15-19"><a href="#cb15-19"></a> ax.set_yticks([])</span>
<span id="cb15-20"><a href="#cb15-20"></a> ax.set_xlabel(<span class="vs">r"$\hat \theta$"</span>)</span>
<span id="cb15-21"><a href="#cb15-21"></a> ax.legend()</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-13-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Las curvas son similares entre sí e incluso los mínimos son simialres, <span class="math inline">\(\hat{\theta} \approx 0.31\)</span> para <code>lossf_a</code> y <span class="math inline">\(\hat{\theta} \approx 0.33\)</span> para <code>lossf_b</code></p>
<p>Lo que es interesante es que el primer valor se corresponde con la mediana del posterior y el segundo con su media.</p>
<div class="cell" data-scrolled="true" data-execution_count="13">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb16"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb16-1"><a href="#cb16-1"></a>np.median(θ_pos).item(), np.mean(θ_pos).item()</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display" data-execution_count="13">
<pre><code>(0.31254373513365896, 0.33241202565639266)</code></pre>
</div>
</div>
<p>Si bien esto no es una prueba formal, espero que haya sido un ejemplo lo suficientemente claro como para ilustrar el mensaje más importante de esta sección:</p>
<blockquote class="blockquote">
<p>Diferentes funciones de pérdida se relacionan con diferentes estimaciones puntuales</p>
</blockquote>
<p>Por lo tanto, si queremos ser formales al momento de computar una estimación puntual, debemos decidir qué función de costo utilizar. O a la inversa, si elegimos una estimación puntual implicitamente estamos eligiendo una función de pérdida.</p>
<p>La ventaja de elegir explicitamente una función de perdida es que podemos ajustarla a las necesidades de un problema particular, en vez de utilizar un criterio predefinido. En muchos casos el costo asociado a una toma de decisión es asimétrico, esto es común en salud pública como sucede con vacunas o con la interrupción voluntaria del embarazo; procedimientos simples, baratos y seguros que previenen una gran cantidad de inconvenientes con un bajo riesgo de complicaciones.</p>
<p>Dado que, en general, el <em>a posteriori</em> toma la forma de muestras finitas almacenadas en una computadora, es posible escribir código que refleje funciones de perdidas sin necesidad de estar acotado por la conveniencia matemática o la simplicidad. El siguiente es un ejemplo bastante pavo de esto.</p>
<div class="cell" data-execution_count="14">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb18"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb18-1"><a href="#cb18-1"></a>lossf <span class="op">=</span> []</span>
<span id="cb18-2"><a href="#cb18-2"></a><span class="cf">for</span> i <span class="kw">in</span> grid:</span>
<span id="cb18-3"><a href="#cb18-3"></a> f <span class="op">=</span> np.cos(i) <span class="op">*</span> (<span class="dv">1</span> <span class="op">-</span> i) <span class="op">+</span> np.sin(i) <span class="op">*</span> (i)</span>
<span id="cb18-4"><a href="#cb18-4"></a> lossf.append(f)</span>
<span id="cb18-5"><a href="#cb18-5"></a></span>
<span id="cb18-6"><a href="#cb18-6"></a>mini <span class="op">=</span> np.argmin(lossf)</span>
<span id="cb18-7"><a href="#cb18-7"></a>plt.plot(grid, lossf)</span>
<span id="cb18-8"><a href="#cb18-8"></a>plt.plot(grid[mini], lossf[mini], <span class="st">"o"</span>)</span>
<span id="cb18-9"><a href="#cb18-9"></a>pos <span class="op">=</span> (np.<span class="bu">max</span>(lossf) <span class="op">-</span> np.<span class="bu">min</span>(lossf)) <span class="op">*</span> <span class="fl">0.05</span></span>
<span id="cb18-10"><a href="#cb18-10"></a>plt.annotate(<span class="ss">f"</span><span class="sc">{</span>grid[mini]<span class="sc">:.2f}</span><span class="ss">"</span>, (grid[mini], lossf[mini] <span class="op">+</span> pos))</span>
<span id="cb18-11"><a href="#cb18-11"></a>plt.yticks([])</span>
<span id="cb18-12"><a href="#cb18-12"></a>plt.xlabel(<span class="vs">r"$\hat \theta$"</span>)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-15-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Ahora bien, en la práctica no es cierto que todo el mundo elija una estimación puntual porque realmente acuerda, o tiene presente, alguna función de perdida en particular, en general la elección es por conveniencia, o tradición. Se usa la mediana porque es más robusta que la media a valores extremos o se usa la media porque es un concepto familiar y simple de entender, o porque pensamos que tal o cual observable es realmente un promedio de algún fenómeo subyacente (como moléculas golpeandose entre sí o genes interactuando con el ambiente).</p>
</section>
</section>
<section id="modelos-multiparamétricos" class="level2" data-number="3.3">
<h2 data-number="3.3" class="anchored" data-anchor-id="modelos-multiparamétricos"><span class="header-section-number">3.3</span> Modelos Multiparamétricos</h2>
<p>Prácticamente todos los modelos de interés en estadística, son multiparamétricos, es decir modelos con más de un parámetro.</p>
<p>Suele suceder que no todos los parámetros requeridos para construir un modelo son de interés, supongamos que quisiéramos estimar el valor medio de una distribución Gaussiana, a menos que sepamos el valor <em>real</em> de la desviación estándar, nuestro modelo deberá contener un parámetro para la media y uno para la desviación estándar. Los parámetros que no son de inmediato interés pero son necesarios para definir un modelo de forma completa se llaman <em>nuisance parameters</em> (o parámetro estorbo).</p>
<p>En estadística Bayesiana todos los parámetros tienen el mismo estatus, por lo que la diferencia entre <em>nuisance</em> o no <em>nuisance</em> no es fundamental bajo ningún concepto, sino que depende completamente de nuestras preguntas.</p>
<p>En principio podría parecer que incorporar parámetros que no nos interesan es un ejercicio de futilidad. Sin embargo, es todo lo contrario, al incorporar estos parámetros permitimos que la incertidumbre que tenemos sobre ellos se propague de forma adecuada a los resultados.</p>
<section id="inferencias-lumínicas" class="level3" data-number="3.3.1">
<h3 data-number="3.3.1" class="anchored" data-anchor-id="inferencias-lumínicas"><span class="header-section-number">3.3.1</span> Inferencias lumínicas</h3>
<p>A finales del siglo XIX Simon Newcomb realizó varios experimentos para determinar la velocidad de la luz. En uno de ellos Newcomb midió el tiempo que le tomaba a la luz recorrer 7442 metros.</p>
<p>A continuación se muestra sus resultados, 66 mediciones.</p>
<div class="cell" data-execution_count="15">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb19"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb19-1"><a href="#cb19-1"></a>datos <span class="op">=</span> np.array([<span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.26</span>, <span class="fl">248.33</span>, <span class="fl">248.24</span>, <span class="fl">248.34</span>, <span class="fl">247.56</span>, <span class="fl">248.27</span>, <span class="fl">248.16</span>,</span>
<span id="cb19-2"><a href="#cb19-2"></a> <span class="fl">248.4</span>, <span class="fl">247.98</span>, <span class="fl">248.29</span>, <span class="fl">248.22</span>, <span class="fl">248.24</span>, <span class="fl">248.21</span>, <span class="fl">248.25</span>, <span class="fl">248.3</span>,</span>
<span id="cb19-3"><a href="#cb19-3"></a> <span class="fl">248.23</span>, <span class="fl">248.29</span>, <span class="fl">248.31</span>, <span class="fl">248.19</span>, <span class="fl">248.24</span>, <span class="fl">248.2</span>, <span class="fl">248.36</span>, <span class="fl">248.32</span>,</span>
<span id="cb19-4"><a href="#cb19-4"></a> <span class="fl">248.36</span>, <span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.25</span>, <span class="fl">248.21</span>, <span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.29</span>, <span class="fl">248.37</span>, <span class="fl">248.25</span>,</span>
<span id="cb19-5"><a href="#cb19-5"></a> <span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.26</span>, <span class="fl">248.3</span>, <span class="fl">248.32</span>, <span class="fl">248.36</span>, <span class="fl">248.26</span>, <span class="fl">248.3</span>, <span class="fl">248.22</span>,</span>
<span id="cb19-6"><a href="#cb19-6"></a> <span class="fl">248.36</span>, <span class="fl">248.23</span>, <span class="fl">248.27</span>, <span class="fl">248.27</span>, <span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.27</span>, <span class="fl">248.31</span>, <span class="fl">248.27</span>,</span>
<span id="cb19-7"><a href="#cb19-7"></a> <span class="fl">248.26</span>, <span class="fl">248.33</span>, <span class="fl">248.26</span>, <span class="fl">248.32</span>, <span class="fl">248.32</span>, <span class="fl">248.24</span>, <span class="fl">248.39</span>, <span class="fl">248.28</span>,</span>
<span id="cb19-8"><a href="#cb19-8"></a> <span class="fl">248.24</span>, <span class="fl">248.25</span>, <span class="fl">248.32</span>, <span class="fl">248.25</span>, <span class="fl">248.29</span>, <span class="fl">248.27</span>, <span class="fl">248.28</span>, <span class="fl">248.29</span>,</span>
<span id="cb19-9"><a href="#cb19-9"></a> <span class="fl">248.16</span>, <span class="fl">248.23</span>])</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
</div>
<p>Si graficamos estas medidas veremos que la distribución parece Gaussiana excepto por dos medidas inusualmente bajas.</p>
<div class="cell" data-execution_count="16">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb20"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb20-1"><a href="#cb20-1"></a>ax <span class="op">=</span> az.plot_kde(datos, rug<span class="op">=</span><span class="va">True</span>)</span>
<span id="cb20-2"><a href="#cb20-2"></a>ax.set_yticks([])<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-17-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Por simplicidad vamos a suponer que los datos siguen una distribución Gaussiana, después de todo es lo que en general se esperaría, en general, al medir una misma <em>cosa</em> varias veces. Una distribución Gaussiana queda definida por dos parámetros, la media y la desviación estándar, como desconocemos estas dos cantidades necesitamos establecer dos <em>a prioris</em> uno para cada parámetro. Un modelo probabilístico razonable sería el siguiente.</p>
<p><span class="math display">\[\begin{align}
\mu &\sim U(l, h) \\
\sigma &\sim \mathcal{HN}(\sigma_{\sigma}) \\
y &\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)
\end{align}\]</span></p>
<p>Es decir, <span class="math inline">\(\mu\)</span> proviene de una distribución uniforme entre los límites <span class="math inline">\(l\)</span> y <span class="math inline">\(h\)</span> y <span class="math inline">\(\sigma\)</span> proviene de una media-normal (<em>half-normal</em>) con desviación estándar <span class="math inline">\(\sigma_{\sigma}\)</span>, esta distribución es como una Gaussiana pero restringida al rango <span class="math inline">\([0, \infty]\)</span>. Por último los datos <span class="math inline">\(y\)</span>, como dijimos anteriormente, proviene de una distribución normal, especificada por <span class="math inline">\(\mu\)</span> y <span class="math inline">\(\sigma\)</span>.</p>
<p>Si desconocemos por completo cuales podrían ser los valores de <span class="math inline">\(\mu\)</span> y de <span class="math inline">\(\sigma\)</span>, podemos fijar valores para los <em>a prioris</em> que reflejen nuestra ignorancia.</p>
<p>Para la distribución uniforme una opción podría ser un intervalo con límite inferior de 0 y superior de 1 segundo. El límite inferior de 0 tiene sentido ya que las velocidades no pueden ser negativas, el límite superior de un 1 segundo es un valor elevado en la escala de los datos. Otra posibilidad sería usar los datos como guía por ejemplo <span class="math inline">\((l=datos.min() / 100, h=l+datos.min() * 100)\)</span>. De esta forma garantizamos que el <em>a priori</em> contenga el rango de los datos pero que sea mucho más amplio, reflejando que no tenemos demasiado información para fijar un <em>a priori</em> de forma más precisa. Los Bayesianos puristas consideran usar los datos para estimar <em>los a prioris</em> ¡como alta traición! Ojo con las almas de cristal (¡en todo ámbito!).</p>
<p>Bajo ciertas condiciones los <em>a prioris</em> uniformes puede ser problemáticos, tanto desde el punto de vista estadístico como computacional, por lo que se recomienda evitarlos, en general se recomienda evitar <em>a prioris</em> con <strong>límites</strong>, como la distribución uniforme, a menos que tengamos información confiable sobre esos límites. Por ejemplo sabemos que las probabilidades están restringidas al intervalo [0, 1]. Pero no hay una buena razón para limitar la velocidad de la luz (bueno ¡no la había en los tiempos de Newcomb!).</p>
<p>En la siguiente celda podrán ver que he elegido un par de <em>a prioris</em> y hay otros comentados. Comparen cómo corre el modelo con los distintos <em>a prioris</em>, tanto en términos de los resultados como los tiempos y <em>calidad</em> del muestreo.</p>
<div class="cell" data-execution_count="17">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb21"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb21-1"><a href="#cb21-1"></a><span class="cf">with</span> pm.Model() <span class="im">as</span> modelo_g:</span>
<span id="cb21-2"><a href="#cb21-2"></a> <span class="co"># los a prioris</span></span>
<span id="cb21-3"><a href="#cb21-3"></a> μ <span class="op">=</span> pm.Uniform(<span class="st">"μ"</span>, <span class="dv">240</span>, <span class="dv">250</span>)</span>
<span id="cb21-4"><a href="#cb21-4"></a> <span class="co"># μ = pm.Normal('μ', 240, 100) # otro a priori alternativo</span></span>
<span id="cb21-5"><a href="#cb21-5"></a> σ <span class="op">=</span> pm.HalfNormal(<span class="st">"σ"</span>, sigma<span class="op">=</span><span class="dv">1</span>)</span>
<span id="cb21-6"><a href="#cb21-6"></a> <span class="co"># σ = pm.HalfNormal('σ', sigma=datos.std() * 100)</span></span>
<span id="cb21-7"><a href="#cb21-7"></a> <span class="co"># el likelihood</span></span>
<span id="cb21-8"><a href="#cb21-8"></a> y <span class="op">=</span> pm.Normal(<span class="st">"y"</span>, mu<span class="op">=</span>μ, sigma<span class="op">=</span>σ, observed<span class="op">=</span>datos)</span>
<span id="cb21-9"><a href="#cb21-9"></a> idata_g <span class="op">=</span> pm.sample()</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (4 chains in 4 jobs)
NUTS: [μ, σ]</code></pre>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<style>
/* Turns off some styling */
progress {
/* gets rid of default border in Firefox and Opera. */
border: none;
/* Needs to be in here for Safari polyfill so background images work as expected. */
background-size: auto;
}
progress:not([value]), progress:not([value])::-webkit-progress-bar {
background: repeating-linear-gradient(45deg, #7e7e7e, #7e7e7e 10px, #5c5c5c 10px, #5c5c5c 20px);
}
.progress-bar-interrupted, .progress-bar-interrupted::-webkit-progress-bar {
background: #F44336;
}
</style>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<div>
<progress value="8000" class="" max="8000" style="width:300px; height:20px; vertical-align: middle;"></progress>
100.00% [8000/8000 00:01<00:00 Sampling 4 chains, 0 divergences]
</div>
</div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Sampling 4 chains for 1_000 tune and 1_000 draw iterations (4_000 + 4_000 draws total) took 1 seconds.</code></pre>
</div>
</div>
<p>Como se puede ver el plot-posterior tiene ahora dos subpaneles, una por cada parámetro. Cada uno se corresponde a una variable <em>marginal</em> del <em>a posteriori</em> que en este caso es bi-dimensional.</p>
<div class="cell" data-execution_count="18">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb24"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb24-1"><a href="#cb24-1"></a>az.plot_posterior(idata_g)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-19-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>La siguiente figura muestra la distribución <em>a posteriori</em> (que como ya mencionamos en bidimensional), junto con las distribuciones marginales para los parámetros <span class="math inline">\(\mu\)</span> y <span class="math inline">\(\sigma\)</span>.</p>
<div class="cell" data-execution_count="19">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb25"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb25-1"><a href="#cb25-1"></a>az.plot_pair(idata_g, kind<span class="op">=</span><span class="st">"kde"</span>, marginals<span class="op">=</span><span class="va">True</span>)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-20-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Una vez computado el <em>a posteriori</em> podemos realizar diversos cálculos a partir de él. Uno de esos cálculos consiste en <em>simular datos</em> (<span class="math inline">\(\tilde{y}\)</span>). Matemáticamente lo que queremos calcular es:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation}
p(\tilde{y} \,|\, y) = \int p(\tilde{y} \,|\, \theta) \, p(\theta \,|\, y) \, d\theta
\end{equation}\]</span></p>
<p>donde:</p>
<p><span class="math inline">\(y\)</span> son los datos observados mientras que <span class="math inline">\(\theta\)</span> corresponde a los parámetros del modelo.</p>
<p>Siguiendo el ejemplo de la velocidad de la luz, <span class="math inline">\(\theta\)</span> corresponde a <span class="math inline">\(\mu\)</span> y a <span class="math inline">\(\sigma\)</span>. Computacionalmente podemos obtener <span class="math inline">\(\tilde{y}\)</span> de la siguiente forma:</p>
<ol type="1">
<li>Elegimos una muestra al azar de las generadas por PyMC (un valor para <span class="math inline">\(\mu_i\)</span> y <span class="math inline">\(\sigma_i\)</span>)</li>
<li>Generamos un <em>dato sintético</em> usando el mismo <em>likelihood</em> que usamos en el modelo, en este caso <span class="math inline">\(\tilde{y_i} \sim N(\mu_i, \sigma_i)\)</span></li>
<li>Repetimos 1 y 2 hasta obtener la cantidad requerida de muestras.</li>
</ol>
<p>Usando PyMC podemos calcular esto llamando a la función <code>sample_ppc</code>. El siguiente código devuelve 100 predicciones cada una de ellas de igual tamaño al de los datos.</p>
<div class="cell" data-execution_count="20">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb26"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb26-1"><a href="#cb26-1"></a>ppc_g <span class="op">=</span> pm.sample_posterior_predictive(idata_g, model<span class="op">=</span>modelo_g)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Sampling: [y]</code></pre>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<style>
/* Turns off some styling */
progress {
/* gets rid of default border in Firefox and Opera. */
border: none;
/* Needs to be in here for Safari polyfill so background images work as expected. */
background-size: auto;
}
progress:not([value]), progress:not([value])::-webkit-progress-bar {
background: repeating-linear-gradient(45deg, #7e7e7e, #7e7e7e 10px, #5c5c5c 10px, #5c5c5c 20px);
}
.progress-bar-interrupted, .progress-bar-interrupted::-webkit-progress-bar {
background: #F44336;
}
</style>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<div>
<progress value="4000" class="" max="4000" style="width:300px; height:20px; vertical-align: middle;"></progress>
100.00% [4000/4000 00:00<00:00]
</div>
</div>
</div>
<p>Los datos simulados los podemos usar para compararlos con los datos observados y de esta forma evaluar el modelo. Esto se conoce como prueba predictivas <em>a posteriori</em>, como ya adelantamos algo en el capítulo anterior. En la siguiente gráfica la linea negra corresponde a los datos observados mientras que las lineas azules (semitrasparentes) corresponden a datos predichos por el modelo.</p>
<div class="cell" data-scrolled="true" data-execution_count="21">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb28"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb28-1"><a href="#cb28-1"></a>az.plot_ppc(ppc_g, num_pp_samples<span class="op">=</span><span class="dv">200</span>)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-22-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Según la gráfica anterior ¿Cuán bueno considerás que es nuestro modelo?</p>
</section>
<section id="modelos-robustos" class="level3" data-number="3.3.2">
<h3 data-number="3.3.2" class="anchored" data-anchor-id="modelos-robustos"><span class="header-section-number">3.3.2</span> Modelos robustos</h3>
<p>Un problema con el modelo anterior es que asume una distribución normal pero tenemos dos puntos que caen muy alejados de los valores medios. Esos puntos podrían estar alejados debido a errores experimentales en la toma de esos dos datos o podría haber un error al registrarlos o al trascribirlos. Si algo de esto sucedió podríamos justificar su eliminación de nuestro conjunto de datos (dejando registro de la eliminación y de las razones por las cuales lo hicimos). Otra opción es usar el rango inter-cuartil (u otro método <em>estadístico</em>) para declarar esos dos puntos como datos aberrantes ¡y desterrarlos de nuestros datos! Otra opción es dejarlos pero utilizar un modelo más robusto a valores alejados de la media.</p>
<p>Uno de los inconvenientes al asumir normalidad, es que la media es muy sensible a valores aberrantes. La razón está en la colas de la Gaussiana, aún cuando las colas se extienden de <span class="math inline">\(-\infty\)</span> a <span class="math inline">\(\infty\)</span>, la probabilidad de encontrar un valor cae rápidamente a medida que nos alejamos de la media, como se puede apreciar en la siguiente tabla que indica el porcentaje de valores que se encuentra a medida que nos alejamos de la media en unidades de desviación estándar (sd).</p>
<table class="table">
<thead>
<tr class="header">
<th>sd</th>
<th>1</th>
<th>2</th>
<th>3</th>
<th>4</th>
<th>5</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr class="odd">
<td>%</td>
<td>68</td>
<td>95</td>
<td>99.7</td>
<td>99.994</td>
<td>99.99994</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>Una alternativa a la distribución Gaussiana es usar una distribución t de Student, lo interesante de esta distribución es que además de estar definida por una media y una escala (análogo de la desviación estándar) está definida por un parámetro <span class="math inline">\(\nu\)</span>, usualmente llamado grados de libertad, o <em>grados de normalidad</em>, ya que <span class="math inline">\(\nu\)</span> controla cuan <em>pesadas</em> son las colas de la distribución. Cuando <span class="math inline">\(\nu = 1\)</span> (la distribución se llama de Cauchy o de Lorentz) las colas son muy pesadas, el 95% de los puntos está entre -12,7 y 12,7, en cambio en una Gaussiana (con desviación estándar 1) esto ocurre entre -1,96 y 1,96. En el límite de <span class="math inline">\(\nu\)</span> tendiendo a infinito estamos en presencia de una Gaussiana. La distribución t es realmente particular, cuando <span class="math inline">\(\nu <= 1\)</span> la distribución no tiene media definida y la varianza solo está definida para valores de <span class="math inline">\(\nu > 2\)</span>.</p>
<p>La siguiente figura muestra una distribución t de Student para distintos valores de <span class="math inline">\(\nu\)</span>.</p>
<div class="cell" data-execution_count="22">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb29"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb29-1"><a href="#cb29-1"></a>_, ax <span class="op">=</span> plt.subplots(figsize<span class="op">=</span>(<span class="dv">10</span>, <span class="dv">5</span>))</span>
<span id="cb29-2"><a href="#cb29-2"></a></span>
<span id="cb29-3"><a href="#cb29-3"></a>x_values <span class="op">=</span> np.linspace(<span class="op">-</span><span class="dv">10</span>, <span class="dv">10</span>, <span class="dv">500</span>)</span>
<span id="cb29-4"><a href="#cb29-4"></a><span class="cf">for</span> df <span class="kw">in</span> [<span class="dv">1</span>, <span class="dv">2</span>, <span class="dv">5</span>, <span class="dv">20</span>, np.inf]:</span>
<span id="cb29-5"><a href="#cb29-5"></a> ax <span class="op">=</span> pz.StudentT(df, <span class="dv">0</span>, <span class="dv">1</span>).plot_pdf(support<span class="op">=</span>(<span class="op">-</span><span class="dv">7</span>, <span class="dv">7</span>))</span>
<span id="cb29-6"><a href="#cb29-6"></a></span>
<span id="cb29-7"><a href="#cb29-7"></a></span>
<span id="cb29-8"><a href="#cb29-8"></a>ax.legend(loc<span class="op">=</span><span class="st">"center left"</span>, bbox_to_anchor<span class="op">=</span>(<span class="fl">0.65</span>, <span class="fl">0.5</span>))<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-23-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>Ahora que conocemos la distribución t de Student, podemos usarla en nuestro modelo:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{align}
\mu &\sim U(l, h) \\
\sigma &\sim \mathcal{HN}(\sigma_h) \\
\nu &\sim Expon(\lambda) \\
y &\sim StudentT(\mu, \sigma, \nu)
\end{align}\]</span></p>
<p>En algunos modelos puede ser buena idea sumar 1 a la distribución exponencial a fin de asegurarse que <span class="math inline">\(\nu \ge 1\)</span> . En principio <span class="math inline">\(\nu\)</span> puede tomar valores de [0, <span class="math inline">\(\infty]\)</span>, pero en mi experiencia valores de <span class="math inline">\(\nu < 1\)</span> pueden traer problemas durante el muestreo, ya que pueden aparecer valores demasiado alejados de la media (las colas son extremadamente gordas!). Esto puede ocurrir con modelos con datos <em>marcadamente aberrantes</em>, veremos un ejemplo de esto en el capítulo 4.</p>
<p>Gráficamente:</p>
<p><img src="img/velocidad_luz_t.png" width="400"></p>
<div class="cell" data-execution_count="23">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb30"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb30-1"><a href="#cb30-1"></a><span class="cf">with</span> pm.Model() <span class="im">as</span> modelo_t:</span>
<span id="cb30-2"><a href="#cb30-2"></a> <span class="co"># los a prioris</span></span>
<span id="cb30-3"><a href="#cb30-3"></a> μ <span class="op">=</span> pm.Uniform(<span class="st">"μ"</span>, <span class="dv">240</span>, <span class="dv">250</span>)</span>
<span id="cb30-4"><a href="#cb30-4"></a> σ <span class="op">=</span> pm.HalfNormal(<span class="st">"σ"</span>, sigma<span class="op">=</span><span class="dv">100</span>)</span>
<span id="cb30-5"><a href="#cb30-5"></a> ν <span class="op">=</span> pm.Exponential(<span class="st">"ν"</span>, <span class="dv">1</span> <span class="op">/</span> <span class="dv">30</span>)</span>
<span id="cb30-6"><a href="#cb30-6"></a> <span class="co"># el likelihood</span></span>
<span id="cb30-7"><a href="#cb30-7"></a> y <span class="op">=</span> pm.StudentT(<span class="st">"y"</span>, mu<span class="op">=</span>μ, sigma<span class="op">=</span>σ, nu<span class="op">=</span>ν, observed<span class="op">=</span>datos)</span>
<span id="cb30-8"><a href="#cb30-8"></a> idata_t <span class="op">=</span> pm.sample()</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Auto-assigning NUTS sampler...
Initializing NUTS using jitter+adapt_diag...
Multiprocess sampling (4 chains in 4 jobs)
NUTS: [μ, σ, ν]</code></pre>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<style>
/* Turns off some styling */
progress {
/* gets rid of default border in Firefox and Opera. */
border: none;
/* Needs to be in here for Safari polyfill so background images work as expected. */
background-size: auto;
}
progress:not([value]), progress:not([value])::-webkit-progress-bar {
background: repeating-linear-gradient(45deg, #7e7e7e, #7e7e7e 10px, #5c5c5c 10px, #5c5c5c 20px);
}
.progress-bar-interrupted, .progress-bar-interrupted::-webkit-progress-bar {
background: #F44336;
}
</style>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<div>
<progress value="8000" class="" max="8000" style="width:300px; height:20px; vertical-align: middle;"></progress>
100.00% [8000/8000 00:02<00:00 Sampling 4 chains, 0 divergences]
</div>
</div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Sampling 4 chains for 1_000 tune and 1_000 draw iterations (4_000 + 4_000 draws total) took 3 seconds.</code></pre>
</div>
</div>
<p>Comparemos las estimaciones entre ambos modelos</p>
<div class="cell" data-execution_count="24">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb33"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb33-1"><a href="#cb33-1"></a>az.summary(idata_g)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display" data-execution_count="24">
<div>
<table class="dataframe table table-sm table-striped">
<thead>
<tr>
<th></th>
<th>mean</th>
<th>sd</th>
<th>hdi_3%</th>
<th>hdi_97%</th>
<th>mcse_mean</th>
<th>mcse_sd</th>
<th>ess_bulk</th>
<th>ess_tail</th>
<th>r_hat</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<th>μ</th>
<td>248.262</td>
<td>0.014</td>
<td>248.235</td>
<td>248.286</td>
<td>0.0</td>
<td>0.0</td>
<td>4325.0</td>
<td>3343.0</td>
<td>1.0</td>
</tr>
<tr>
<th>σ</th>
<td>0.109</td>
<td>0.010</td>
<td>0.092</td>
<td>0.128</td>
<td>0.0</td>
<td>0.0</td>
<td>3632.0</td>
<td>2723.0</td>
<td>1.0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</div>
<div class="cell" data-execution_count="25">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb34"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb34-1"><a href="#cb34-1"></a>az.summary(idata_t)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display" data-execution_count="25">
<div>
<table class="dataframe table table-sm table-striped">
<thead>
<tr>
<th></th>
<th>mean</th>
<th>sd</th>
<th>hdi_3%</th>
<th>hdi_97%</th>
<th>mcse_mean</th>
<th>mcse_sd</th>
<th>ess_bulk</th>
<th>ess_tail</th>
<th>r_hat</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<th>μ</th>
<td>248.274</td>
<td>0.006</td>
<td>248.262</td>
<td>248.286</td>
<td>0.000</td>
<td>0.000</td>
<td>3774.0</td>
<td>2893.0</td>
<td>1.0</td>
</tr>
<tr>
<th>σ</th>
<td>0.041</td>
<td>0.007</td>
<td>0.029</td>
<td>0.054</td>
<td>0.000</td>
<td>0.000</td>
<td>2315.0</td>
<td>2464.0</td>
<td>1.0</td>
</tr>
<tr>
<th>ν</th>
<td>2.578</td>
<td>0.885</td>
<td>1.156</td>
<td>4.200</td>
<td>0.018</td>
<td>0.012</td>
<td>2514.0</td>
<td>2517.0</td>
<td>1.0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
</div>
</div>
<p>En este caso, vemos que la estimación de <span class="math inline">\(\mu\)</span> es muy similar entre los dos modelos, aunque la estimación de <span class="math inline">\(\sigma\)</span>, pasó de ser de ~10 a ~4. Esto es consecuencia de que la distribución t asigna menos peso a los valores alejados de la media que la distribución Gaussiana.</p>
<p>Hagamos un prueba predictiva <em>a posteriori</em> para el nuevo modelo.</p>
<div class="cell" data-execution_count="26">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb35"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb35-1"><a href="#cb35-1"></a>ppc_t <span class="op">=</span> pm.sample_posterior_predictive(idata_t, model<span class="op">=</span>modelo_t)</span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-stderr">
<pre><code>Sampling: [y]</code></pre>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<style>
/* Turns off some styling */
progress {
/* gets rid of default border in Firefox and Opera. */
border: none;
/* Needs to be in here for Safari polyfill so background images work as expected. */
background-size: auto;
}
progress:not([value]), progress:not([value])::-webkit-progress-bar {
background: repeating-linear-gradient(45deg, #7e7e7e, #7e7e7e 10px, #5c5c5c 10px, #5c5c5c 20px);
}
.progress-bar-interrupted, .progress-bar-interrupted::-webkit-progress-bar {
background: #F44336;
}
</style>
</div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<div>
<progress value="4000" class="" max="4000" style="width:300px; height:20px; vertical-align: middle;"></progress>
100.00% [4000/4000 00:00<00:00]
</div>
</div>
</div>
<div class="cell" data-execution_count="27">
<div class="sourceCode cell-code" id="cb37"><pre class="sourceCode numberSource python number-lines code-with-copy"><code class="sourceCode python"><span id="cb37-1"><a href="#cb37-1"></a>az.plot_ppc(ppc_t, num_pp_samples<span class="op">=</span><span class="dv">200</span>)</span>
<span id="cb37-2"><a href="#cb37-2"></a>plt.xlim(<span class="dv">247</span>, <span class="dv">250</span>)<span class="op">;</span></span></code><button title="Copy to Clipboard" class="code-copy-button"><i class="bi"></i></button></pre></div>
<div class="cell-output cell-output-display">
<p><img src="02_Programación_probabilística_files/figure-html/cell-28-output-1.png" class="img-fluid"></p>
</div>
</div>
<p>¿Qué conclusión se puede sacar de comparar esta prueba predictiva a posteriori con la anterior?</p>
</section>
<section id="accidentes-mineros" class="level3" data-number="3.3.3">
<h3 data-number="3.3.3" class="anchored" data-anchor-id="accidentes-mineros"><span class="header-section-number">3.3.3</span> Accidentes mineros</h3>
<p>Este ejemplo está tomado del <a href="https://www.pymc.io/projects/docs/en/latest/learn/core_notebooks/pymc_overview.html#case-study-2-coal-mining-disasters">tutorial</a> de PyMC.</p>