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// ConvexHullTrickLiDeque
// 单调队列维护凸包
package main
import (
"bufio"
"fmt"
"os"
)
func main() {
// https://atcoder.jp/contests/colopl2018-final-open/tasks/colopl2018_final_c
// 对每个i 求 f(i,j)=a[j]+(j-i)^2 的最小值
// 化简得 f(i,j)=(a[j]+j^2-2ij)+i^2
// 其中j变化的函数是关于i的一次函数(直线) -2j*i+j^2+a[j]
// !将这n条直线加入到CHT中,然后对每个i求最小值即可
in := bufio.NewReader(os.Stdin)
out := bufio.NewWriter(os.Stdout)
defer out.Flush()
var n int
fmt.Fscan(in, &n)
A := make([]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
fmt.Fscan(in, &A[i])
}
cht := NewConvexHullTrickDeque(true)
for i := 0; i < n; i++ {
cht.AddLine(-2*i, i*i+A[i], i)
}
for i := 0; i < n; i++ {
// res, _ := cht.QueryMonotoneInc(i)
res, _ := cht.Query(i)
fmt.Fprintln(out, res+i*i)
}
}
const INF int = 1e18
type Line struct{ k, b, id int }
type ConvexHullTrickDeque struct {
isMin bool
dq *Deque
}
func NewConvexHullTrickDeque(isMin bool) *ConvexHullTrickDeque {
return &ConvexHullTrickDeque{
isMin: isMin,
dq: &Deque{},
}
}
// 追加一条直线.需要保证斜率k是单调递增或者是单调递减的.
func (cht *ConvexHullTrickDeque) AddLine(k, b, id int) {
if !cht.isMin {
k, b = -k, -b
}
line := &Line{k, b, id}
if cht.dq.Empty() {
cht.dq.AppendLeft(line)
return
}
if cht.dq.Front().k <= k {
if cht.dq.Front().k == k {
if cht.dq.Front().b <= b {
return
}
cht.dq.PopLeft()
}
for cht.dq.Len() >= 2 && cht.check(line, cht.dq.Front(), cht.dq.At(1)) {
cht.dq.PopLeft()
}
cht.dq.AppendLeft(line)
} else {
if cht.dq.Back().k == k {
if cht.dq.Back().b <= b {
return
}
cht.dq.Pop()
}
for cht.dq.Len() >= 2 && cht.check(cht.dq.At(cht.dq.Len()-2), cht.dq.Back(), line) {
cht.dq.Pop()
}
cht.dq.Append(line)
}
}
// O(logn) 查询 k*x + b 的最小(大)值以及对应的直线id.
// 如果不存在直线,返回的id为-1.
func (cht *ConvexHullTrickDeque) Query(x int) (res, lineId int) {
if cht.dq.Empty() {
res, lineId = INF, -1
if !cht.isMin {
res = -INF
}
return
}
left, right := -1, cht.dq.Len()-1
for left+1 < right {
mid := (left + right) >> 1
a, _ := cht.getY(cht.dq.At(mid), x)
b, _ := cht.getY(cht.dq.At(mid+1), x)
if a >= b {
left = mid
} else {
right = mid
}
}
res, lineId = cht.getY(cht.dq.At(right), x)
if !cht.isMin {
res = -res
}
return
}
// O(1) 查询 k*x + b 的最小(大)值以及对应的直线id.
//
// 需要保证x是单调递增的.
// 如果不存在直线,返回的id为-1.
func (cht *ConvexHullTrickDeque) QueryMonotoneInc(x int) (res, lineId int) {
if cht.dq.Empty() {
res, lineId = INF, -1
if !cht.isMin {
res = -INF
}
return
}
for cht.dq.Len() >= 2 {
a, _ := cht.getY(cht.dq.Front(), x)
b, _ := cht.getY(cht.dq.At(1), x)
if a < b {
break
}
cht.dq.PopLeft()
}
res, lineId = cht.getY(cht.dq.Front(), x)
if !cht.isMin {
res = -res
}
return
}
// O(1) 查询 k*x + b 的最小(大)值以及对应的直线id.
//
// 需要保证x是单调递减的.
// 如果不存在直线,返回的id为-1.
func (cht *ConvexHullTrickDeque) QueryMonotoneDec(x int) (res, lineId int) {
if cht.dq.Empty() {
res, lineId = INF, -1
if !cht.isMin {
res = -INF
}
return
}
for cht.dq.Len() >= 2 {
a, _ := cht.getY(cht.dq.Back(), x)
b, _ := cht.getY(cht.dq.At(cht.dq.Len()-2), x)
if a < b {
break
}
cht.dq.Pop()
}
res, lineId = cht.getY(cht.dq.Back(), x)
if !cht.isMin {
res = -res
}
return
}
func (cht *ConvexHullTrickDeque) check(a, b, c *Line) bool {
if b.b == a.b || c.b == b.b {
return sign(b.k-a.k)*sign(c.b-b.b) >= sign(c.k-b.k)*sign(b.b-a.b)
}
return (b.k-a.k)*sign(c.b-b.b)*abs(c.b-b.b) >= (c.k-b.k)*sign(b.b-a.b)*abs(b.b-a.b)
}
func (cht *ConvexHullTrickDeque) getY(line *Line, x int) (int, int) {
return line.k*x + line.b, line.id
}
func sign(x int) int {
if x == 0 {
return 0
} else if x > 0 {
return 1
} else {
return -1
}
}
func abs(x int) int {
if x < 0 {
return -x
}
return x
}
type E = *Line
type Deque struct{ l, r []E }
func (q Deque) Empty() bool { return len(q.l) == 0 && len(q.r) == 0 }
func (q Deque) Len() int { return len(q.l) + len(q.r) }
func (q *Deque) AppendLeft(v E) { q.l = append(q.l, v) }
func (q *Deque) Append(v E) { q.r = append(q.r, v) }
func (q *Deque) PopLeft() (v E) {
if len(q.l) > 0 {
q.l, v = q.l[:len(q.l)-1], q.l[len(q.l)-1]
} else {
v, q.r = q.r[0], q.r[1:]
}
return
}
func (q *Deque) Pop() (v E) {
if len(q.r) > 0 {
q.r, v = q.r[:len(q.r)-1], q.r[len(q.r)-1]
} else {
v, q.l = q.l[0], q.l[1:]
}
return
}
func (q Deque) Front() E {
if len(q.l) > 0 {
return q.l[len(q.l)-1]
}
return q.r[0]
}
func (q Deque) Back() E {
if len(q.r) > 0 {
return q.r[len(q.r)-1]
}
return q.l[0]
}
// 0 <= i < q.Size()
func (q Deque) At(i int) E {
if i < len(q.l) {
return q.l[len(q.l)-1-i]
}
return q.r[i-len(q.l)]
}