chapter_data_structure/number_encoding/

[giscus[bot]]

chapter_data_structure/number_encoding/

一本动画图解、能运行、可提问的数据结构与算法入门书

https://www.hello-algo.com/chapter_data_structure/number_encoding/

[GoldVelen]

K神写的非常好，我看的津津有味，直到我遇到了公式。他怎么就这样那样求得了各项的取值范围了😭

[krahets]

“生活可能会欺骗你，但数学不会。不会就是不会。”

[liweijian199011]

在计算机中，是不是都需要将数字转换成原码，再转换成反码，最后转换成补码这样的操作过程？另外，想问一下，这个转换的过程是什么地方做的，编译器？还是操作系统？

[cs7eric]

转换是在计算机执行加减法的时候进行的，也就是 计算机会在执行加减法的时候自动将原码转换为补码，并且在运算完成之后，再转换回去，是逻辑门、寄存器等硬件设备完成的

[viyiY2K]

刚学了这个！举手来抢答！我之前也对尾数部分（分数位 N）的范围困惑过！

我们先考虑取得最大值的情况：当 N 为全 1 时，在 IEEE 754 的标准下，这部分总共有 24 个有效数字（23 个加上小数点前隐藏的那个 1 ），这部分用二进制表示是 $(1.11111111111111111111111)_2$ 。

二进制数转十进制数的常规方法是按权展开求和（即文中 $\sum_{i=1}^{23} b_{23-i}2^{-i}$ 部分），但手动转 23 个位权相加简直太麻瓜了(╯°□°）╯︵ ┻━┻。

我们先来简化一下情况，假设要计算 $(0.11)_2$ 的十进制数，一种方法是 $1\times2^{-1}+1\times2^{-2}=0.5+0.25=0.75$ ，另外一种方法则是用 1 减去最后一位的权值，即 $1-2^{-2}=1-0.25=0.75$ ，同样能得到正确结果。

同理，上述式中的 $(0.11111111111111111111111)_{2}=(1-2^{-23})_{10}$ ，其中 $2^{-23}$ 即 $b_0$ 的权值。接着再加上小数点前面的 1，则有 $1+(1-2^{-23})=2-2^{-23}$。

最小值的情况就简单得多啦，全 0 就是全 0。不过要记得加上 IEEE 754 中隐藏的小数点前的 1，所以最小是 1 不是 0。

综上，N 的取值范围用十进制表示的话就是 $[1,2-2^{-23}]$ 啦(๑•̀ㅂ•́)و✧。

[muzishuiji]

我竟然看懂了，不好，开始长脑子了～

[Belowbelow]

上学时《计算机组成原理》学的云里雾里，那时候如果能看到这篇文章就好了(～￣▽￣)～

[sdyjf]

哈哈哈还得是K神，看完终于明白数值编码以及为什么这么编码了

[CHINA-T]

一般都懒得评论的，但这文章确实让我对这一块有了新的认识，只惜没早点刷到，K神点赞。

[Azirliang]

第一张图片里面的“除符号为外”，应该是“除符号位外”

[krahets]

谢谢！

[MIracleyin]

终于明白为什么需要补码了！

[kankan-web]

我也是

[curly210102]

1 + (-2) 的计算过程用补码来表示会不会更直观一点呢？能直接指向以补码存储的原因

[krahets]

Hi，这个示例是为了展示反码的作用。补码在反码的基础上进一步地解决了正负零歧义问题。

[curly210102]

哦～所以逻辑链是：反码可以应对负数运算，但反码存在正负零歧义，所以最终使用补码。明白了！

[krahets]

是的，而且补码的负数计算会更容易一些，不用特别处理最高位溢出；使用反码进行负数计算时，若最高位溢出，则需要将其加回至最低位。

[hawkwean]

1 + （-2） 节 展示了反码和补码过程，但采用了 连"=" 来描述， 感觉会把新手搞蒙。这里的“=” 表达的应该是两数字在计算机中 在不同码型下的表示形态和计算过程 ，替换成 “=>”可能会让没接触过这些知识的人更容易理解一些

[krahets]

@hawkwean 确实，我改一下吧

[curly210102]

看到 float 可表示的最大正数时有些疑惑🤔，为啥指数最大值不是 255，然后问GPT整明白了。
或许在这里提一下 「E 有部分保留值，有效的范围是 1~254」会更好理解一些，也能关联到最后的指数位说明。

[curly210102]

各项取值范围里有给到E的范围，好像没有进一步说明的必要了

[gan879065613]

你好，请问文章可以转发吗，我想记录在我自己的博客中，我会标明出处

[krahets]

Hi，好啊～不接受商业转载，非商业转载请标明作者和原文章链接。

[liweijian199011]

在计算机中，是不是都需要将数字转换成原码，再转换成反码，最后转换成补码这样的操作过程？另外，想问一下，这个转换的过程是什么地方做的，编译器？还是操作系统？

[krahets]

当我们写代码时，看到的代码通常是以字符编码的形式存储的，例如 ASCII 码等。
当我们执行代码时，编译器或解释器会对对源代码进行解析，最终这些数字会被转化为补码，以便进行二进制运算。

[Dunker-tap]

计算机编译后转换成补码形式进行计算的原因主要有以下几点：

1、补码可以方便地实现加减运算。在计算机中，加减运算可以通过相同的电路实现，而补码可以使这个过程更加简单。例如，两个正数相加和两个补码相加都是直接相加，但是两个负数相加或者一个正数和一个负数相加，就需要先取反再相加，这个过程相对复杂。
2、使用补码可以统一地表示正数和负数。使用原码表示负数需要额外标记，而使用补码则可以统一表示正负数，使得代码更简洁。
3、补码可以方便地进行溢出检查。当两个补码相加产生溢出时，其最高位（符号位）会变为1，这就可以直接发现溢出。
4、使用补码可以简化计算机的硬件设计。使用补码后，加法和减法可以用相同的硬件实现，这大大简化了硬件设计。

[Tmaof]

在计算机中，并不需要将数字转换成原码、反码、再转换成补码这样的操作过程，这种操作过程主要与二进制补码表示法在内部的表示和处理有关。在计算机中，数值通常以补码的形式进行存储和运算。

1. 原码、反码、补码：这些概念主要是为了理解二进制数在计算机中的表示方式而引入的。原码是最简单的表示方式，直接使用二进制位表示数字。反码是原码的一种变体，它的符号位取反。补码是反码的一种改进，它是在反码的基础上加1。

2. 二进制补码表示：在计算机中，数值通常以二进制补码形式表示。这种表示方式具有很多优势，包括对加法和减法的封闭性。大多数现代计算机体系结构和编程语言都使用补码来进行数值计算。

3. 转换过程：在计算机内部，数字表示为补码形式，因此不需要在不同的表示之间进行转换。当您执行算术操作时，计算机会直接操作补码，无需转换为其他形式。

4. 编译器和操作系统：编译器和操作系统不处理数字的原码、反码和补码表示方式。它们主要关注高级语言代码的编译、链接、加载和执行。底层的数值表示和处理由计算机硬件和底层系统库来处理，这些组件直接支持二进制补码表示。

总之，原码、反码和补码是用来理解计算机内部二进制数值表示的概念，但在实际计算机操作中，通常使用二进制补码表示，并且编译器和操作系统不需要在这些表示之间进行转换。计算机硬件和底层系统库会直接处理二进制补码，以执行各种算术和逻辑操作。

[inkstar]

打call

[linjundey]

实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下部分构成：

符号位
：占 1 bit 。
指数位
：占 8 bits 。
分数位
：占 24 bits ，其中 23 位显式存储。
这加起来不是33bit了么

[krahets]

在内存中只有 23 位，但逻辑上是 24 位。对于标准化的浮点数，尾数的最高位总是 1 ，所以无需显式存储，可以默认隐藏。因此实际上，我们可以说分数位是 24 位（ 23 位显式 + 1 位隐式）。

[08822407d]

建议增加上溢和下溢的解释，因为中文网络环境里一堆半吊子写的博客瞎解释，误人子弟，需要人气高传播广的途径纠正这个问题

[isJayChow]

对，我之前就被csdn上博客误导过😭

[waiwai24]

顶，希望大佬出这个教程

[isJayChow]

写得太好了，刚好这学期学数据结构

[Yizhiping]

大佬，你好。我使用firefox安卓版浏览，内容中很多数字部分不能显示。类似 1 byte = 8 bits，数字1和8不显示。

[Yizhiping]

手机系统版本 鸿蒙4 4.0.0.113

[Lijingwoquan]

我刚刚也出现这个情况 原因是我没有登录我的github 登录之后就解决了 不知道楼主的问题是什么原因

[zhangyf20]

登录github或者使用其他浏览器（如夸克）似乎都能解决这个问题

[krahets]

@LzHCS 现在看看正常了不～？

[Lijingwoquan]

@krahets 现在可以了

[SimoralX]

有幸拜读到如此用心的教程，真可谓酣畅淋漓。
终于整明白补码的来龙去脉了，究竟是为了解决什么问题而进行了这样的设计。

[Hong-DaShan]

def inttodecs(bin1):
    bin1=bin1
    int(bin1)
    return str(bin1)


class nb12:
    def sizintto(bin1):
        bin1=bin1
        bin2=bin(bin1)[2:].zfill(8)
        return bin2

aa=inttodecs(0b00000001+0b10000010)
bb=inttodecs(0b10000011)
cc=(0b00000001+0b10000010)
dd=nb12.sizintto(+0)
ee=nb12.sizintto(-0)

print(aa)
print(bb)
print(cc)
print(dd)
print(ee)
print(1+(-2))
>>>
131
131
131
00000000
00000000
-1

我试验了前面几个将的知识，结果似乎不太一样，是我理解错了吗？还是在实际应用中不用考虑这些。求指点。

[Slovef]

关于float类型比int类型范围大，这篇文章写得也不错：https://zhuanlan.zhihu.com/p/84453627

[yishengyouli]

在数字编码中，3.3.1部分的反码部分 -2 的正确二进制补码表示是 1111 1110图中有错误，而且反码部分负数所有位取反那为什么最开始的1000取反是1111呢？

[krahets]

Hi，没有在文中和图中找到你说的 -2 的补码表示，可以具体指出原文位置吗？
文中说明“负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反”，最高位是符号为，因此不取反

[hpfish]

chrome上观看要安装什么插件吗？ 看起来是这样的 [ \begin{aligned} -0 \rightarrow ; & 1000 ; 0000 ; \text{(原码)} \newline = ; & 1111 ; 1111 ; \text{(反码)} \newline = 1 ; & 0000 ; 0000 ; \text{(补码)} \newline \end{aligned} ]

[krahets]

不用，这个乱码是由于 LaTex 公式未正确加载导致的，请尝试更换网络环境～

[xuejiangping]

N=2^(-2)+2^(-3) 怎么来的，上面那个20多位的分数位怎么能转成这种，不是应该N=2^(22)+2^(21) 吗

[elon-lo]

+1，我也没有看懂

[wangchongyang007]

分数位N 只表示小数， 0110000000000000000000 可以看成是0.0110000000000000000000 （只能这么理解）转十进制（指数得从小数点后开始数）： 2^-2 + 2^-3 = 0.375

[syd168]

2进制的小数 0.011 转为10进制，就是2^-2+2^-3=1/4+1/8=0.375，类似下面十进制数的
10进制小数 0.011 =10^-2+10^-3=0.011

[kang-int]

已知补码，求原码，也是取反加1，为什么？ 不应该是取反加一的逆操作：加(-1)再取反吗？两种方式都能得到正确答案，请问这背后的逻辑是什么？

[krahets]

非常有趣的问题！这是因为原码和补码的相互转换实际上是计算“补数”的过程，我们来详细分析一下：

给定一个 $n = 4$ 位长度的二进制数 $0010$ ，如果将这个数字看作原码（不考虑符号位），那么它的补码需通过“先取反后加 1”得到：

$$ 0010 \rightarrow 1101 \rightarrow 1110 $$

我们会发现，原码和补码的和是 $0010 + 1110 = 10000$ ，也就是说，补码 $1110$ 是原码 $0010$ 到 $10000$ 的“补数”。这意味着上述“先取反后加 1”实际上是计算到 $10000$ 的补数的过程。

那么，补码 $1110$ 到 $10000$ 的“补数”是多少呢？我们依然可以用“先取反后加 1”得到它：

$$ 1110 \rightarrow 0001 \rightarrow 0010 $$

换句话说，原码和补码互为对方到 $10000$ 的“补数”，因此“原码转补码”和“补码转原码”可以用相同的操作（先取反后加 1 ）实现。

当然，我们也可以用逆运算来求补码 $1110$ 的原码，即“先减 1 后取反”：

$$ 1110 \rightarrow 1101 \rightarrow 0010 $$

总结来看，“先取反后加 1”和“先减 1 后取反”这两种运算都是在计算到 $10000$ 的补数，它们是等价的。

本质上看，“取反”操作实际上是求到 $1111$ 的补数（因为恒有 原码 + 反码 = 1111）；而在反码基础上再加 1 得到的补码，就是到 $10000$ 的补数。

（上述 $n=4$ 为例，其可推广至任意位数的二进制数）

[deyu9999]

为什么次正规数是2的-126次方，0-127不是-127？

[charming16]

标准规定的-126，从正规数到次正规数更平滑，有利于浮点运算的连续。

[tyhzxh]

CSAPP第二章这里讲的就很好

[pzkd]

给定的补码 1000 0000 的最高位是1，所以它表示一个负数。

为了从补码得到原码，我们执行以下步骤：

对补码取反（即，0变为1，1变为0）。
对取反后的结果加1。
对 1000 0000 取反得到 0111 1111。

然后，对 0111 1111 加1得到 1000 0000，所以补码 1000 0000对应的原码是1000 0000？

[1435646097]

错了，要先-1，得到反码,，然后取反得到原码，正确应该是补码 1000 0000 -1 = 1111 1111,取反0000 0000

[Zy233333]

减一取反：1000 0000 ---> 0111 1111（符号位参与减法）---> 0000 0000（符号位不取反）
取反加一：1000 0000 ---> 1111 1111（符号位不取反） ---> 10000 0000 （加一溢出）---> 0000 0000

[yanghongkun66666]

“为了解决此问题，计算机引入了反码（1's complement）。”这里complement翻译过来是不是补码？

[yanghongkun66666]

懂了 补码(2's complement)

[NgxuAnGMH]

• float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int
• 尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度

也因此在一些特殊的业务场景，例如说支付系统，其实对于交易金额的精度要求非常高，一般不考虑基本数据类型！！！Java 选手或早或晚会碰到这个面试题。

[slyslt]

所以要用bigdecimal

[GoLennLee]

learning...

[purposex]

5/30来打卡啦，今天学到了很多，讲解很清晰，点赞

[shenshuai89]

3 + (-2)是怎么计算呢？
0000 0011 + 1000 0010 【原码】
0000 0011 + 1111 1101【反码】
1111 1110【反码】
1000 0001 【原码】
结果还是-1 ？？？

[ysssgdhr]

0000 0011
1111 1110
做加法，得0000 0001（符号位参与运算，舍去第九位）