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困难
队列
数组
二分查找
前缀和
滑动窗口
单调队列
堆(优先队列)

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ,找出 nums 中和至少为 k最短非空子数组 ,并返回该子数组的长度。如果不存在这样的 子数组 ,返回 -1

子数组 是数组中 连续 的一部分。

 

示例 1:

输入:nums = [1], k = 1
输出:1

示例 2:

输入:nums = [1,2], k = 4
输出:-1

示例 3:

输入:nums = [2,-1,2], k = 3
输出:3

 

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • -105 <= nums[i] <= 105
  • 1 <= k <= 109

解法

方法一:前缀和 + 单调队列

题目要求找到一个最短的子数组,使得子数组的和大于等于 $k$。不难想到,可以使用前缀和快速计算子数组的和。

我们用一个长度为 $n+1$ 的数组 $s[i]$ 表示数组 $nums$$i$ 个元素的和。另外,我们需要维护一个严格单调递增的队列 $q$,队列中存储的是前缀和数组 $s[i]$ 的下标。注意,这里的单调递增是指下标对应的前缀和的大小,而不是下标的大小。

为什么存的是下标呢?这是为了方便计算子数组的长度。那为什么队列严格单调递增?我们可以用反证法来说明。

假设队列元素非严格单调递增,也即是说,存在下标 $i$$j$,满足 $i &lt; j$,且 $s[i] \geq s[j]$

当遍历到下标 $k$,其中 $i \lt j \lt k \leq n$,此时 $s[k]-s[j] \geq s[k]-s[i]$,且 $nums[j..k-1]$ 的长度小于 $nums[i..k-1]$ 的长度。由于下标 $j$ 的存在,子数组 $nums[i..k-1]$ 一定不是最优解,队列中的下标 $i$ 是不必要的,需要将其移除。因此,队列中的元素一定严格单调递增。

回到这道题目上,我们遍历前缀和数组 $s$,对于遍历到的下标 $i$,如果 $s[i] - s[q.front] \geq k$,说明当前遇到了一个可行解,我们可以更新答案。此时,我们需要将队首元素出队,直到队列为空或者 $s[i] - s[q.front] \lt k$ 为止。

如果此时队列不为空,为了维持队列的严格单调递增,我们还需要判断队尾元素是否需要出队,如果 $s[q.back] \geq s[i]$,则需要循环将队尾元素出队,直到队列为空或者 $s[q.back] \lt s[i]$ 为止。然后,我们将下标 $i$ 入队。

遍历结束,如果我们没有找到可行解,那么返回 $-1$。否则,返回答案。

时间复杂度 $O(n)$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。

Python3

class Solution:
    def shortestSubarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        s = list(accumulate(nums, initial=0))
        q = deque()
        ans = inf
        for i, v in enumerate(s):
            while q and v - s[q[0]] >= k:
                ans = min(ans, i - q.popleft())
            while q and s[q[-1]] >= v:
                q.pop()
            q.append(i)
        return -1 if ans == inf else ans

Java

class Solution {
    public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        long[] s = new long[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + nums[i];
        }
        Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
        int ans = n + 1;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            while (!q.isEmpty() && s[i] - s[q.peek()] >= k) {
                ans = Math.min(ans, i - q.poll());
            }
            while (!q.isEmpty() && s[q.peekLast()] >= s[i]) {
                q.pollLast();
            }
            q.offer(i);
        }
        return ans > n ? -1 : ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int shortestSubarray(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<long> s(n + 1);
        for (int i = 0; i < n; ++i) s[i + 1] = s[i] + nums[i];
        deque<int> q;
        int ans = n + 1;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            while (!q.empty() && s[i] - s[q.front()] >= k) {
                ans = min(ans, i - q.front());
                q.pop_front();
            }
            while (!q.empty() && s[q.back()] >= s[i]) q.pop_back();
            q.push_back(i);
        }
        return ans > n ? -1 : ans;
    }
};

Go

func shortestSubarray(nums []int, k int) int {
	n := len(nums)
	s := make([]int, n+1)
	for i, x := range nums {
		s[i+1] = s[i] + x
	}
	q := []int{}
	ans := n + 1
	for i, v := range s {
		for len(q) > 0 && v-s[q[0]] >= k {
			ans = min(ans, i-q[0])
			q = q[1:]
		}
		for len(q) > 0 && s[q[len(q)-1]] >= v {
			q = q[:len(q)-1]
		}
		q = append(q, i)
	}
	if ans > n {
		return -1
	}
	return ans
}