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<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<feed xmlns="http://www.w3.org/2005/Atom"><title>Raul E. Lopez Briega</title><link href="http://relopezbriega.github.io/" rel="alternate"></link><link href="/feeds/calculo.atom.xml" rel="self"></link><id>http://relopezbriega.github.io/</id><updated>2016-01-27T00:00:00-03:00</updated><entry><title>Ecuaciones en derivadas parciales con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/27/ecuaciones-en-derivadas-parciales-con-python/" rel="alternate"></link><published>2016-01-27T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2016-01-27:blog/2016/01/27/ecuaciones-en-derivadas-parciales-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img alt="Ecuaciones en Derivadas Parciales con python" title="Ecuaciones en Derivadas Parciales con python" src="http://relopezbriega.github.io/images/PDE.png
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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Nuestra comprensión de los procesos fundamentales de la naturaleza se basa en gran medida en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;. Ejemplos de ello son las vibraciones de los sólidos, la dinámica de los fluidos, la difusión de los productos químicos, la propagación del calor, la estructura de las moléculas, las interacciones entre fotones y electrones, y la radiación de ondas electromagnéticas. Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; también juegan un papel central en las matemáticas modernas, especialmente en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa"&gt;geometría&lt;/a&gt; y el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico"&gt;análisis&lt;/a&gt;; lo que las convierte en una herramienta de suma utilidad que debemos conocer.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;em&gt;Nota&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt;: Este artículo corresponde a la tercer entrega de mi serie de artículos sobre &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;; los anteriores fueron: &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/12/02/introduccion-al-calculo-con-python/"&gt;Introducción al Cálculo&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;Ecuaciones Diferenciales con Python&lt;/a&gt;, los cuales es recomendable haber leído previamente.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-ecuaci&amp;#243;n-en-derivadas-parciales?"&gt;&amp;#191;Qu&amp;#233; es una ecuaci&amp;#243;n en derivadas parciales?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-ecuaci&amp;#243;n-en-derivadas-parciales?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuación en derivadas parciales&lt;/a&gt; es una ecuación que, como su nombre lo indica, contiene &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial"&gt;derivadas parciales&lt;/a&gt;. A diferencia de lo que habíamos visto con las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, en donde la función incógnita depende &lt;strong&gt;solo&lt;/strong&gt; de &lt;em&gt;una variable&lt;/em&gt;; en las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;, o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; para abreviar, la función incógnita va a depender de &lt;strong&gt;dos o más&lt;/strong&gt; &lt;em&gt;variables independientes&lt;/em&gt; $x, y, \dots$. Generalmente a la función incógnita la vamos a expresar como $u(x, y, \dots)$ y a sus derivadas parciales como $\partial u / \partial x = u_x$ o  $\partial u / \partial y = u_y$ dependiendo de sobre que variable estemos derivando. Entonces una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuación en derivadas parciales&lt;/a&gt; va a ser la identidad que relaciona a las &lt;em&gt;variables independientes&lt;/em&gt; ($x, y, \dots$), con la &lt;em&gt;variable dependiente&lt;/em&gt; $u$ (nuestra función incógnita), y las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial"&gt;derivadas parciales&lt;/a&gt; de $u$. Lo podríamos expresar de la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$F(x, y, u(x, y), u_x(x, y), u_y(x, y)) = F(x, y, u, u_x, u_y) = 0$$&lt;p&gt;Al igual de como pasaba con las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, el &lt;strong&gt;&lt;em&gt;orden&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuación en derivadas parciales&lt;/a&gt; va a estar dado por la mayor &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; presente. Por lo tanto, el caso que expresamos más arriba corresponde a una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;, con dos &lt;em&gt;variables independientes&lt;/em&gt;, de &lt;em&gt;primer orden&lt;/em&gt;. Si quisiéramos expresar una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de &lt;em&gt;segundo orden&lt;/em&gt;, podríamos hacerlo de la siguiente manera:&lt;/p&gt;
$$F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy})=0.$$&lt;h3 id="Clasificaci&amp;#243;n-de-ecuaciones-en-derivadas-parciales"&gt;Clasificaci&amp;#243;n de ecuaciones en derivadas parciales&lt;a class="anchor-link" href="#Clasificaci&amp;#243;n-de-ecuaciones-en-derivadas-parciales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;La clasificación de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; va a ser algo fundamental, ya que la teoría y los métodos para poder solucionarlas van a depender de la &lt;em&gt;clase&lt;/em&gt; de ecuación con la que estemos tratando. Las clasificaciones más importantes que debemos tener en cuenta, son:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;1- &lt;strong&gt;El &lt;em&gt;orden&lt;/em&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Como ya mencionamos, el mismo va a estar dado por el &lt;em&gt;orden&lt;/em&gt; de la mayor &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; presente.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;2- &lt;strong&gt;Número de variables:&lt;/strong&gt; Esta clasificación va a estar dada por la cantidad de &lt;em&gt;variables independientes&lt;/em&gt; que contenga la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;3- &lt;strong&gt;Linealidad:&lt;/strong&gt; Esta es una de las clasificaciones más importantes, vamos a poder clasificar a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineales&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad"&gt;no lineales&lt;/a&gt;. En las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineales&lt;/a&gt;, la &lt;em&gt;variable dependiente&lt;/em&gt; $u$ y todas sus derivadas, van a aparecer en una forma &lt;em&gt;lineal&lt;/em&gt;, es decir, que van a tener &lt;em&gt;grado&lt;/em&gt; uno (no van a estar elevadas al cuadrado, o multiplicadas entre sí). Más precisamente, una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuación en derivadas parciales&lt;/a&gt; de segundo orden con dos variables, va a tomar la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G$$&lt;p&gt;en donde $A, B, C, D, E, F,$ y $G$ pueden ser &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)"&gt;constantes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; o una &lt;em&gt;función&lt;/em&gt; dada de $x$ e $y$. Por ejemplo:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_{tt} = e^tu_{xx} + \sin t$,    sería una ecuación &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$uu_{xx} + u_y = 0$,  sería una ecuación &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad"&gt;no lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_{xx} + yu_{yy} + u_x = 0$, sería una ecuación &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$xu_x + yu_y + u^2 = 0$, sería una ecuación &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad"&gt;no lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Tipos de ecuaciones lineales:&lt;/strong&gt; Asimismo, a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineales&lt;/a&gt; de segundo orden las vamos a poder subdividir en las siguientes categorías:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_parab%C3%B3lica_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones parabólicas&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Las cuales van a describir el &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor"&gt;flujo del calor&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y el proceso de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_difusi%C3%B3n"&gt;difusión&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Éstas ecuaciones van a satisfacer la condición $B^2 -4AC = 0$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones hiperbólicas&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Las cuales describen los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3n"&gt;sistemas de vibración&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Onda"&gt;movimientos de ondas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Satisfacen la condición $B^2 -4AC &gt; 0$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_el%C3%ADptica_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones Elípticas&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Las cuales describen los fenómenos de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Estado_estacionario"&gt;estados estacionarios&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y satisfacen la condición $B^2 -4AC &lt; 0$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;4- &lt;strong&gt;Homogeneidad:&lt;/strong&gt; Otra clasificación que podemos utilizar, es la de homogeneidad. Una ecuación va a ser &lt;em&gt;homogénea&lt;/em&gt;, si el lado derecho de la ecuación, $G(x, y)$, es idénticamente cero para todo $x$ e $y$. En caso contrario, se la llama &lt;em&gt;no homogénea&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;5- &lt;strong&gt;Tipos de coeficientes:&lt;/strong&gt; Por último, podemos clasificar a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de acuerdo a sus coeficientes $A, B, C, D, E, $ y $F$, si los mismos son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)"&gt;constantes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, se dice que la ecuación es de &lt;em&gt;coeficientes constantes&lt;/em&gt;, en caso contrario será de &lt;em&gt;coeficientes variables&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="&amp;#191;C&amp;#243;mo-resolver-ecuaciones-en-derivadas-parciales?"&gt;&amp;#191;C&amp;#243;mo resolver ecuaciones en derivadas parciales?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;C&amp;#243;mo-resolver-ecuaciones-en-derivadas-parciales?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Existen varios métodos que podemos utilizar para intentar resolver las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;, la principal idea detrás la mayoría de estos métodos es la transformar a estas ecuaciones en &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; (&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt;), o en alguna &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica"&gt;ecuación algebraica&lt;/a&gt;; las cuales son más sencillas de resolver. Algunos los métodos que podemos utilizar son:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;1- &lt;strong&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables"&gt;método de separación de variables&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Este método es uno de los más importantes y más productivos a la hora de resolver a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;. La idea es reducir a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de $n$ variables, en $n$ &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;2- &lt;strong&gt;El método de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral"&gt;transformada integral&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Este método es similar al que ya vimos al resolver &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDOs&lt;/a&gt;. La idea es aplicar una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral"&gt;transformada integral&lt;/a&gt; para reducir una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de $n$ variables, en otra de $n - 1$ variables. De esta forma una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de 2 variables, puede ser transformada en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;3- &lt;strong&gt;El método del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas#Cambios_de_coordenadas"&gt;cambio de coordenadas&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Este método intenta cambiar a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; original en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt; o en otra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; más sencilla de resolver por medio del cambio de coordenadas del problema.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;4- &lt;strong&gt;El método de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_perturbacional"&gt;perturbación&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Este método aplica la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_perturbacional"&gt;teoría perturbacional&lt;/a&gt; para intentar cambiar un problema de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad"&gt;no lineal&lt;/a&gt; en una serie de problemas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;lineales&lt;/a&gt; que se aproximan al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/No_linealidad"&gt;no lineal&lt;/a&gt; original.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;5- &lt;strong&gt;El método de expansión de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Autofunci%C3%B3n"&gt;autofunciones&lt;/a&gt;:&lt;/strong&gt; Este método intentan encontrar la solución de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; como una suma infinita de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Autofunci%C3%B3n"&gt;autofunciones&lt;/a&gt;. Estas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Autofunci%C3%B3n"&gt;autofunciones&lt;/a&gt; son halladas por medio de la resolución del problema del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;valor propio&lt;/a&gt; que corresponde al problema original.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;6- &lt;strong&gt;El método de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_integral"&gt;ecuaciones integrales&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Este método convierte a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_integral"&gt;ecuación integral&lt;/a&gt;; la cual luego es resuelta aplicando ciertas técnicas particulares que se aplican a ese tipo ecuaciones.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;7- &lt;strong&gt;Métodos numéricos&lt;/strong&gt;: La mayoría de las técnicas para resolver numéricamente a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; se basan en la idea
de discretizar el problema en cada variable independiente que se produce en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;, y de esta forma, reformular el problema en una forma algebraica. Esto usualmente resulta en problemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;álgebra lineal&lt;/a&gt; de gran escala. Dos  de las técnicas principales para reformular las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; a una forma algebraica son, los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_las_diferencias_finitas"&gt;métodos de diferencias finitas&lt;/a&gt; (MDF), donde las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt; del problema son aproximadas por medio de la fórmula de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_finita"&gt;diferencias finitas&lt;/a&gt;; y los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos"&gt;métodos de los elementos finitos&lt;/a&gt; (MEF), en donde la función incógnita se escribe como combinación lineal de funciones de base simple que pueden ser derivadas e integradas fácilmente. En muchos casos, estos métodos numéricos van a ser las únicas herramientas que podamos utilizar para resolver a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Soluci&amp;#243;n-de-ecuaciones-en-derivadas-parciales-b&amp;#225;sicas"&gt;Soluci&amp;#243;n de ecuaciones en derivadas parciales b&amp;#225;sicas&lt;a class="anchor-link" href="#Soluci&amp;#243;n-de-ecuaciones-en-derivadas-parciales-b&amp;#225;sicas"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Como resolver este tipo de ecuaciones es una tarea realmente complicada, vamos a empezar por resolver analíticamente las más fáciles para ganar confianza y así luego poder pasar a ecuaciones más complicadas.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La más simple de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; que nos podemos encontrar es:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_x = 0$, en donde $u = u(x, y)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Esta ecuación nos dice que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial"&gt;derivada parcial&lt;/a&gt; de $u$ con respecto a $x$ es cero, lo que significa que $u$ no depende de $x$. Por lo tanto, la solución de esta ecuación va a ser $u=f(y)$, en donde $f$ es una función arbitraria de una variable. Por ejemplo, $u = y^2 - y$ podría ser una posible solución.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Subiendo un poco más la complejidad, podemos pasar a una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de segundo orden, como la siguiente:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_{xx} = 0$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En este caso, podemos integrar una vez $u_{xx}$ para obtener $u_x(x, y) = f(y)$. Si volvemos a integrar este resultado, podemos arribar a la solución final $u(x, y) = f(y)x + g(y)$, en donde $f$ y $g$ son dos funciones arbitrarias.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por último, si quisiéramos resolver la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_{xy} = 0$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Primero integramos con respecto a $x$ tomando a $y$ como fija, de esta forma obtenemos $u_y(x, y) = f(y)$. Luego podemos integrar con respecto a $y$ tomando a $x$ como fija, y llegamos a la solución:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u(x, y) = F(y) + g(x)$, en donde $F' = f$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver de estos ejemplos, las soluciones analíticas de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; dependen de &lt;strong&gt;funciones arbitrarias&lt;/strong&gt; (en lugar de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)"&gt;constantes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; arbitrarias como era el caso de las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDO&lt;/a&gt;). Por lo tanto vamos a necesitar condiciones auxiliares para poder determinar una única solución.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="La-condici&amp;#243;n-inicial-y-la-condici&amp;#243;n-de-frontera"&gt;La condici&amp;#243;n inicial y la condici&amp;#243;n de frontera&lt;a class="anchor-link" href="#La-condici&amp;#243;n-inicial-y-la-condici&amp;#243;n-de-frontera"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Al igual que nos pasaba cuando vimos las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;; las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; pueden tener muchas soluciones, pero a nosotros nos va a interesar encontrar la solución para un caso particular; para lograr esto, debemos imponer unas condiciones auxiliares al problema original. Estas condiciones van a estar motivadas por la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica"&gt;Física&lt;/a&gt; del problema que estemos analizando y pueden llevar a ser de dos tipos diferentes: &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_condition"&gt;condiciones iniciales&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condiciones de frontera&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_condition"&gt;condición inicial&lt;/a&gt; va a establecer el estado del problema al momento de tiempo cero, $t_0$. Por ejemplo para el problema de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_difusi%C3%B3n"&gt;difusión&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, la &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_condition"&gt;condición inicial&lt;/a&gt; va a ser:&lt;/p&gt;
$$u(x, t_0) = \phi(x)$$&lt;p&gt;donde $\phi(x)= \phi(x, y, z)$ es una función que puede representar el estado de concentración inicial. Para el problema del &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor"&gt;flujo del calor&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, $\phi(x)$ va a representar la temperatura inicial.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condición de frontera&lt;/a&gt; nos va a delimitar el &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; en el que nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; es válida. Así por ejemplo, volviendo al problema de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_difusi%C3%B3n"&gt;difusión&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, el &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; en el que nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; es válida, puede estar delimitado por la superficie del objeto que contiene al líquido. Existen varios tipos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condiciones de frontera&lt;/a&gt;, de las cuales las más importantes son:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Dirichlet"&gt;condición de frontera de Dirichlet&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;, en dónde los valores válidos de la función incógnita $u$ son especificados.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Neumann"&gt;condición de frontera de Neumann&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;, en donde los valores válidos especificados son dados para alguna de las derivadas de $u$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_frontera_de_Robin"&gt;condición de frontera de Robin&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;, en donde los valores válidos son especificados por una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinación lineal&lt;/a&gt; de una función y las derivadas de $u$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;h3 id="Interpretaci&amp;#243;n-geom&amp;#233;trica-de-EDP-de-primer-orden"&gt;Interpretaci&amp;#243;n geom&amp;#233;trica de EDP de primer orden&lt;a class="anchor-link" href="#Interpretaci&amp;#243;n-geom&amp;#233;trica-de-EDP-de-primer-orden"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de primer orden poseen una interpretación geométrica la cual nos puede facilitar alcanzar una solución general para ellas.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="Coeficientes-constantes"&gt;Coeficientes constantes&lt;a class="anchor-link" href="#Coeficientes-constantes"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Tomemos la siguiente ecuación de coeficientes constantes:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$au_x + bu_y = 0$, en donde $a$ y $b$ son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)"&gt;constantes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y ambas no pueden ser cero.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En esta ecuación la cantidad  $au_x + bu_y$ es la derivada direccional de $u$ en la dirección del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $V = (a, b) = ai + bj$. Como esta cantidad tiene que ser cero, esto significa que $u (x, y)$ debe ser constante en la dirección de $V$. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $(b, -a)$ es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonal&lt;/a&gt; a $V$, por lo tanto, las líneas paralelas a $V$ (ver el gráfico más abajo) tienen las ecuaciones $bx - ay$ constantes. (Se las llama las &lt;em&gt;líneas características&lt;/em&gt;.) Entonces, la solución es constante en cada una de esas líneas. Por lo tanto, $u (x, y)$ depende de $bx - ay$ solamente. De esta forma podemos llegar a la solución general para este tipo de ecuaciones, que va a ser:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u(x, y) = f(bx - ay)$, en donde $f$ es una función arbitraria de una variable.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="EDP de 1er orden con coef constantes" title="EDP de 1er orden con coef constantes" src="http://relopezbriega.github.io/images/PDE_Const.png
" &gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Entonces, si por ejemplo, quisiéramos resolver la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;, $4u_x - 3u_y= 0$, con la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condición de frontera&lt;/a&gt; que $u(0, y) = y^3$. Podemos aplicar la solución general que obtuvimos arriba y llegar al resultado $u(x, y) = f(-3x - 4y)$. Ahora, solo nos faltaría aplicar la condición para poder determinar cual es la función arbitraria $f$. Si sustituimos $x=0$ en nuestra solución, obtenemos $y^3 = f(-4y)$. Si decimos que $z = -4y$, entonces nuestra función es $f(z) = -z^3 / 64$. Por lo tanto la solución de nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; que satisface la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condición de frontera&lt;/a&gt; es $u(x, y) = (3x + 4y)^3 / 64$.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="Coeficientes-variables"&gt;Coeficientes variables&lt;a class="anchor-link" href="#Coeficientes-variables"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Consideremos ahora la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de coeficientes variables:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u_x + yu_y = 0$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Esta ecuación es similar a la que vimos anteriormente, con la diferencia de que ahora tenemos al coeficiente variable $y$. Utilizando la misma intuición geométrica que usamos antes, podemos ver que aquí también la derivada direccional de $u$ en el vector $v=(1, y)$ es constante, pero esta vez el vector no es constante, sino que es variable con $y$. Las curvas que tienen a $v$ como su vector tangente, tienen pendiente $y/1$, es decir:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1}$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Podemos resolver esta ecuación como una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt; y así obtener:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$y = Ce^x$, o lo que es lo mismo $e^{-x}y = C$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La solución de nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; entonces va a ser constante en estas &lt;em&gt;curvas características&lt;/em&gt; (ver gráfico); y van a responder a la siguiente solución general:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$u(x, y) = f(e^{-x}y)$, en donde $f$ es una función arbitraria.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="EDP de 1er orden con coef variables" title="EDP de 1er orden con coef variables" src="http://relopezbriega.github.io/images/PDE_Var.png
" &gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Resolviendo-ecuaciones-en-derivadas-parciales-con-Python"&gt;Resolviendo ecuaciones en derivadas parciales con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Resolviendo-ecuaciones-en-derivadas-parciales-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Es tiempo de nuevamente recurrir a nuestros queridos paquetes científicos de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;NumPy&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;Matplotlib&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://www.scipy.org/"&gt;SciPy&lt;/a&gt; para ayudarnos a resolver las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;. Así como en el caso de las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; vimos que existía dentro del paquete &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;, el solucionador genérico &lt;code&gt;sympy.dsolve&lt;/code&gt;; para el caso de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;, vamos a tener al solucionador &lt;a href="http://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/pde.html"&gt;&lt;code&gt;sympy.pdsolve&lt;/code&gt;&lt;/a&gt;. Aunque en este caso, es mucho más limitado que su versión para &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDO&lt;/a&gt;; ya que solo vamos a poder resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; de primer orden. Veamos como funciona:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# importando modulos necesarios&lt;/span&gt;
&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline

&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;mpl&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt; 

&lt;span class="c1"&gt;# imprimir con notación matemática.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;init_printing&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;use_latex&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;mathjax&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino las variables&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;symbols&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x y u z&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Function&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;f&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino la EDP 4u_x - 3u_y = 0&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u_x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u_y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;eq&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;u_x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;u_y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;eq&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[3]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$4 \frac{\partial}{\partial x} f{\left (x,y \right )} - 3 \frac{\partial}{\partial y} f{\left (x,y \right )} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resuelvo la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;pdsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[4]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$f{\left (x,y \right )} = F{\left (- 3 x - 4 y \right )}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino la EDP u_x + yu_y = 0&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u_x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u_y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;eq2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;u_x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;u_y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;eq2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[5]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$y \frac{\partial}{\partial y} f{\left (x,y \right )} + \frac{\partial}{\partial x} f{\left (x,y \right )} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resuelvo la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;pdsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eq2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[6]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$f{\left (x,y \right )} = F{\left (y e^{- x} \right )}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calsificación de EDP.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;classify_pde&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eq2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[7]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(&amp;#39;1st_linear_variable_coeff&amp;#39;,)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos comprobar, obtuvimos los mismos resultados utilizando &lt;a href="http://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/pde.html"&gt;&lt;code&gt;sympy.pdsolve&lt;/code&gt;&lt;/a&gt; que en nuestro análisis manual con la interpretación geométrica. Otra limitación que vamos a tener al trabajar con &lt;a href="http://docs.sympy.org/dev/modules/solvers/pde.html"&gt;&lt;code&gt;sympy.pdsolve&lt;/code&gt;&lt;/a&gt; es que no podemos aplicar nuestras condiciones auxiliares al problema, por lo que para despejar la función arbitraria, deberíamos hacer un trabajo manual. Asimismo, &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; también nos ofrece la función &lt;code&gt;classify_pde&lt;/code&gt; la cual nos ayuda a saber con que tipo de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; estamos tratando. (Recordemos que &lt;code&gt;pdsolve&lt;/code&gt; solo puede resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDPs&lt;/a&gt; de primer orden).&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Separaci&amp;#243;n-de-variables"&gt;Separaci&amp;#243;n de variables&lt;a class="anchor-link" href="#Separaci&amp;#243;n-de-variables"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Otra forma en que nos podemos ayudar de &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDPs&lt;/a&gt;, es utilizando el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables"&gt;método de separación de variables&lt;/a&gt;. La característica esencial de esta técnica es transformar la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; en un conjunto de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDOs&lt;/a&gt; (las cuales podemos solucionar con la ayuda de &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;). De esta forma, la solución requerida de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; se expresa como
un producto $u (x, y) = X (x) Y (y) \ne 0$, o como una suma $u (x, y) = X (x) + Y (y)$, donde $X (x)$ e $Y (y)$ son funciones de $x$ e $y$, respectivamente. Muchos de los problemas significativos en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt; pueden ser resueltos por este método. Para ilustrar como funciona esta técnica, veamos un ejemplo. Vamos a resolver la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$y^2u_x^2 + x^2u_y^2 = (xyu)^2$, que cumple con la condición $u(x, 0) = 3e^{x^2/4}$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Podemos entonces asumir que $u(x, y) = f(x) g(y) \ne 0$ es una &lt;em&gt;solución separable&lt;/em&gt; de ella; por tanto lo reemplazamos en la ecuación para obtener:&lt;/p&gt;
$$y^2(f'(x) g(y))^2 + x^2(f(x) g'(y))^2 = x^2 y^2 (f(x) g(y))^2$$&lt;p&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;lo que es equivalente a decir;&lt;/p&gt;
$$\frac{1}{x^2}\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 + \frac{1}{y^2}\left(\frac{g'(y)}{g(y)}\right)^2 = 1$$&lt;p&gt;Luego, ayudándonos de la &lt;em&gt;constante de separación&lt;/em&gt; $\lambda^2$, podemos separar a esta ecuación en dos &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDOs&lt;/a&gt;, del siguiente modo; primero igualamos la ecuación anterior a $\lambda^2$:&lt;/p&gt;
$$\frac{1}{x^2}\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 = 1 - \frac{1}{y^2}\left(\frac{g'(y)}{g(y)}\right)^2 = \lambda^2$$&lt;p&gt;y luego separamos ambas ecuaciones para obtener:&lt;/p&gt;
$$\frac{1}{x}\frac{f'(x)}{f(x)} = \lambda \\ \frac{g'(x)}{yg(y)}= \sqrt{1 - \lambda^2}$$&lt;p&gt;Ahora podemos utilizar &lt;code&gt;sympy.dsolve&lt;/code&gt; para resolver ambas &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/"&gt;EDOs&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# EDO n° 1&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo1&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[8]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- z + \frac{\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}}{x f{\left (x \right )}} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo EDO n° 1&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;edo1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[9]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$f{\left (x \right )} = C_{1} e^{\frac{x^{2} z}{2}}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# EDO n° 2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sqrt&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- \sqrt{- z^{2} + 1} + \frac{\frac{d}{d y} f{\left (y \right )}}{y f{\left (y \right )}} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo EDO n° 2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;edo2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[11]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ f{\left (y \right )} = C_{1} e^{- \frac{1}{2} \sqrt{y^{4} \left(- z^{2} + 1\right)}}, \quad f{\left (y \right )} = C_{1} e^{\frac{1}{2} \sqrt{y^{4} \left(- z^{2} + 1\right)}}\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Entonces ahora podemos utilizar estos resultados para armar la solución final a nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; original, el cual va a ser:&lt;/p&gt;
$$u(x, y) = C e^{\frac{\lambda}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2\sqrt{1 - \lambda^2}}$$&lt;p&gt;En donde $C = C_1 C_2$ es una &lt;em&gt;constante arbitraria&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por último, utilizando la condición $u(x, 0) = 3e^{x^2/4}$, podemos despejar tanto a $C$ ($C=3$) como a $\lambda$ ($\lambda = 1/2$) y arribar a la solución final:&lt;/p&gt;
$$u(x, y) = 3 e^{\frac{1}{4}\left(x^2 + y^2\sqrt{3}\right)}$$&lt;p&gt;Si bien debemos realizar un trabajo manual previo, aun así &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; sigue siendo de gran ayuda para facilitarnos llegar a la solución final.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="M&amp;#233;todos-num&amp;#233;ricos---M&amp;#233;todo-de-Elementos-Finitos"&gt;M&amp;#233;todos num&amp;#233;ricos - M&amp;#233;todo de Elementos Finitos&lt;a class="anchor-link" href="#M&amp;#233;todos-num&amp;#233;ricos---M&amp;#233;todo-de-Elementos-Finitos"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Por último, para cerrar este artículo, veamos como podemos aplicar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos"&gt;métodos de los elementos finitos&lt;/a&gt; (MEF) con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;. Para esto nos vamos ayudar de la librería &lt;a href="http://fenicsproject.org/"&gt;FEniCS&lt;/a&gt;, la cual es un &lt;em&gt;framework&lt;/em&gt; para resolver numéricamente problemas generales de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; utilizando el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos"&gt;métodos de los elementos finitos&lt;/a&gt;. Para instalar esta librería en &lt;a href="http://www.ubuntulinux.org/"&gt;Ubuntu&lt;/a&gt;, pueden utilizar los siguientes comandos:&lt;/p&gt;

&lt;pre&gt;&lt;code&gt;sudo add-apt-repository ppa:fenics-packages/fenics
sudo apt-get update
sudo apt-get install fenics&lt;/code&gt;&lt;/pre&gt;
&lt;p&gt;Deben tener en cuenta que por ahora solo funciona con &lt;a href="https://www.python.org/downloads/release/python-2711/"&gt;Python 2&lt;/a&gt;. La interfaz principal que vamos a utilizar para trabajar con este &lt;em&gt;framework&lt;/em&gt; nos la proporcionan las librerías &lt;code&gt;dolfin&lt;/code&gt; y &lt;code&gt;mshr&lt;/code&gt;; las cuales debemos importar para poder trabajar con el. Una vez importadas, podemos configurar algunos de sus parámetros para lograr el comportamiento deseado.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# importando modulos de fenics&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;dolfin&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;mshr&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;parameters&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;reorder_dofs_serial&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="bp"&gt;False&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;parameters&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;allow_extrapolation&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="bp"&gt;True&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;El problema que vamos a resolver con la ayuda de &lt;a href="http://fenicsproject.org/"&gt;FEniCS&lt;/a&gt;, va a ser la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$u_{xx} + u_{yy} = 0$$&lt;p&gt;Con las siguientes &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condiciones de frontera&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$u(x=0) = 3 ; \ u(x=1)=-1 ; \ u(y=0) = -5 ; \ u(y=1) = 5$$&lt;p&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El primer paso en la solución de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; utilizando el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos"&gt;métodos de los elementos finitos&lt;/a&gt;,  es definir una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Malla_poligonal"&gt;malla&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; que describa la discretización del &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; del problema. Para este caso, vamos a utilizar la función &lt;code&gt;RectangleMesh&lt;/code&gt; que nos ofrece &lt;a href="http://fenicsproject.org/"&gt;FEniCS&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Discretizando el problema&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;N1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;N2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;75&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;mesh&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;RectangleMesh&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Point&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Point&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;N1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;N2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;El siguiente paso es definir una representación del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_funcional"&gt;espacio funcional&lt;/a&gt; para las funciones de ensayo y prueba. Para esto vamos a utilizar la clase &lt;code&gt;FunctionSpace&lt;/code&gt;. El constructor de esta clase tiene al menos tres argumentos: un objeto de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Malla_poligonal"&gt;malla&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, el nombre del tipo de función base, y el grado de la función base. En este caso, vamos a utilizar la función de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrange"&gt;Lagrange&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Funciones bases&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;FunctionSpace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;mesh&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;Lagrange&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;TrialFunction&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;TestFunction&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_subarea output_stream output_stderr output_text"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;DEBUG:FFC:Reusing form from cache.
&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Ahora debemos definir a nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; en su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Formulaci%C3%B3n_d%C3%A9bil_de_una_ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;formulación débil&lt;/a&gt; equivalente para poder tratarla como un problema de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;álgebra lineal&lt;/a&gt; que podamos resolver con el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos"&gt;MEF&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Formulación debil de la EDP&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;a&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;inner&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;nabla_grad&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;u&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;nabla_grad&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Constant&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Por último, solo nos falta definir las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condiciones de frontera&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino condiciones de frontera&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;u0_top_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;and&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;abs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1e-8&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;u0_bottom_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;and&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;abs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1e-8&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;u0_left_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;and&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;abs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1e-8&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;u0_right_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;on_boundary&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;and&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;abs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1e-8&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Definiendo condiciones de frontera de Dirichlet&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;bc_t&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DirichletBC&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Constant&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u0_top_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;bc_b&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DirichletBC&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Constant&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u0_bottom_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;bc_l&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DirichletBC&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Constant&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u0_left_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;bc_r&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DirichletBC&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Constant&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u0_right_boundary&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Lista de condiciones de frontera&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;bcs&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;bc_t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;bc_b&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;bc_r&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;bc_l&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Con esta especificación de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera"&gt;condiciones de frontera&lt;/a&gt;, ya estamos listos para resolver nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; utilizando la función &lt;code&gt;dolfin.solve&lt;/code&gt;. El vector resultante, luego lo podemos convertir a una matriz de &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;NumPy&lt;/a&gt; y utilizarla para graficar la solución con &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;Matplotlib&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la EDP&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;u_sol&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Function&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dolfin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;a&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;==&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;L&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;bcs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

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&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;N1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
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&lt;span class="n"&gt;fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;pcolor&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;X&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;u_mat&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vmin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vmax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;cmap&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;mpl&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;cm&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;get_cmap&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;RdBu_r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;cb&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;colorbar&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
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&lt;p&gt;Para profundizar en como utilizar el &lt;em&gt;framework&lt;/em&gt; &lt;a href="http://fenicsproject.org/"&gt;FEniCS&lt;/a&gt;, les recomiendo que visiten la &lt;a href="http://fenicsproject.org/documentation/tutorial/index.html"&gt;documentación&lt;/a&gt; del sitio, que tienen varios ejemplos.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Con esto concluyo este artículo. Obviamente, no es más que una introducción al fascinante y complejo mundo de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones en derivadas parciales&lt;/a&gt;, cada clase de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;EDP&lt;/a&gt; es un mundo en sí mismo y quedaron muchos temas sin tratar; los cuales tal vez profundice en algún otro artículo. Espero que les pueda servir como referencia y lo hayan encontrado instructivo.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando Jupyter notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyPDE.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyPDE.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

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&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="matematica"></category><category term="calculo"></category><category term="derivada"></category><category term="integral"></category><category term="ecuaciones diferenciales"></category><category term="derivadas parciales"></category></entry><entry><title>Ecuaciones Diferenciales con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/" rel="alternate"></link><published>2016-01-10T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2016-01-10:blog/2016/01/10/ecuaciones-diferenciales-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img alt="Ecuaciones Diferenciales con python" title="Ecuaciones Diferenciales con python" src="http://relopezbriega.github.io/images/DiffEq.png
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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Vivimos en un mundo en constante cambio. La posición de la Tierra cambia con el tiempo; la velocidad de un objeto en caída libre cambia con la distancia; el área de un círculo cambia según el tamaño de su &lt;em&gt;radio&lt;/em&gt;; la trayectoria de un proyectil cambia según la velocidad y el ángulo de disparo.
Al intentar modelar matemáticamente cualquiera de estos fenómenos, veremos que generalmente adoptan la forma de una o más &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;em&gt;Nota&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt;: Antes de continuar leyendo, si no tienen frescos sus conocimientos básicos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt;; les recomiendo que visiten mi anterior artículo de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/12/02/introduccion-al-calculo-con-python/"&gt;Introducción al Cálculo&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-ecuaci&amp;#243;n-diferencial?"&gt;&amp;#191;Qu&amp;#233; es una ecuaci&amp;#243;n diferencial?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-ecuaci&amp;#243;n-diferencial?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; es una ecuación que involucra una variable dependiente y sus &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt; con respecto a una o más variables independientes. Muchas de las leyes de la naturaleza, en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica"&gt;Física&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica"&gt;Química&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADa"&gt;Biología&lt;/a&gt;, y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa"&gt;Astronomía&lt;/a&gt;; encuentran la forma más natural de ser expresadas en el lenguaje de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;. Estas ecuaciones no sólo tienen aplicaciones en la ciencias físicas, sino que también abundan sus aplicaciones en las ciencias aplicadas como ser &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa"&gt;Ingeniería&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Finanzas"&gt;Finanzas&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa"&gt;Economía&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Es fácil entender la razón detrás de esta amplia utilidad de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;. Si recordamos que $y = f(x)$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;función&lt;/a&gt;, entonces su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; $dy / dx$ puede ser interpretada como el &lt;em&gt;ritmo de cambio&lt;/em&gt; de $y$ con respecto a $x$. En muchos procesos naturales, las variables involucradas y su &lt;em&gt;ritmo de cambio&lt;/em&gt; están conectados entre sí por medio de los principios científicos básicos que rigen el proceso. Cuando esta conexión es expresada matemáticamente, el resultado generalmente es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para ilustrar el caso, veamos un ejemplo. Según la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_Fundamental_de_la_din.C3.A1mica"&gt;segunda ley de la dinámica de Newton&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n"&gt;aceleración&lt;/a&gt; $a$ de un cuerpo de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Masa"&gt;masa&lt;/a&gt; $m$ es proporcional a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza"&gt;fuerza&lt;/a&gt; total $F$ que actúa sobre él. Si expresamos esto matemáticamente en la forma de una ecuación, entonces tememos que:&lt;/p&gt;
$$F = ma$$&lt;p&gt;A primera vista, esta ecuación no parece ser una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;, pero supongamos que un objeto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Masa"&gt;masa&lt;/a&gt; $m$ esta en caída libre bajo la influencia de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza"&gt;fuerza&lt;/a&gt; de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad"&gt;gravedad&lt;/a&gt;. En este caso, la única &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza"&gt;fuerza&lt;/a&gt; actuando sobre el objeto es $mg$, donde $g$ es la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n"&gt;aceleración&lt;/a&gt; debido a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad"&gt;gravedad&lt;/a&gt;. Si consideramos a $u$, como la posición del objeto desde una altura determinada; entonces la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad"&gt;velocidad&lt;/a&gt; de caída del objeto va a ser igual al &lt;em&gt;ritmo de cambio&lt;/em&gt; de la posición $u$ con respecto al tiempo $t$; es decir que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad"&gt;velocidad&lt;/a&gt; es igual a $v = du / dt$, o sea, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; de la posición del objeto con respecto al tiempo; y como la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n"&gt;aceleración&lt;/a&gt; no es otra cosa que el &lt;em&gt;ritmo de cambio&lt;/em&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad"&gt;velocidad&lt;/a&gt;, entonces podemos definir a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n"&gt;aceleración&lt;/a&gt; como una segunda &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; de la posición del objeto con respecto al tiempo, lo que es igual a decir que $g = d^2u / dt^2$. De esta forma, podemos reescribir la ecuación inicial de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_Fundamental_de_la_din.C3.A1mica"&gt;segunda ley de la dinámica de Newton&lt;/a&gt; como la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
$$F = m\frac{d^2u}{dt^2}$$&lt;p&gt;De esta manera, estamos expresando a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_Fundamental_de_la_din.C3.A1mica"&gt;segunda ley de la dinámica de Newton&lt;/a&gt; en función de la posición del objeto.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Ecuaciones-diferenciales-ordinarias-y-parciales"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales&lt;a class="anchor-link" href="#Ecuaciones-diferenciales-ordinarias-y-parciales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;El caso precedente, es el caso típico de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt;, ya que todas las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt; involucradas son tomadas con respecto a una única y misma variable independiente. Por otro lado, si en la ecuación tenemos &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt; de más de una variable independiente, debemos hablar de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones difenciales parciales&lt;/a&gt;. Por ejemplo, si $w = f(x, y, z, t)$ es una función de tiempo y 3 coordenadas de un punto en el espacio, entonces las siguientes son sus &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones diferenciales parciales&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} +  \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} = 0;
\\
\\
a^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} +  \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) = \frac{\partial w}{\partial t};
\\
\\
a^2\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} +  \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}.
$$&lt;p&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En esta caso, el símbolo $\partial$, es la notación matemática para expresar que estamos derivando parcialmente, así por ejemplo, si queremos expresar que vamos a derivar z con respecto a x, escribimos $\partial z / \partial x$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Estos ejemplos, tienen una gran aplicación en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica"&gt;Física&lt;/a&gt; y se conocen como la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace"&gt;ecuación de Laplace&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor"&gt;ecuación del calor&lt;/a&gt; y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda"&gt;ecuación de onda&lt;/a&gt; respectivamente. En general, las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales"&gt;Ecuaciones diferenciales parciales&lt;/a&gt; surgen en problemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico"&gt;campos eléctricos&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos"&gt;mecánica de fluidos&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Difusi%C3%B3n_(f%C3%ADsica)"&gt;difusión&lt;/a&gt; y movimientos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Onda"&gt;ondas&lt;/a&gt;. La teoría de estas ecuaciones es bastante diferente con respecto a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; y suelen ser también más complicadas de resolver. En este artículo me voy a enfocar principalmente en las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt; para abreviar.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Orden-de-las-Ecuaciones-diferenciales"&gt;Orden de las Ecuaciones diferenciales&lt;a class="anchor-link" href="#Orden-de-las-Ecuaciones-diferenciales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;El &lt;em&gt;orden&lt;/em&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; va a ser igual al &lt;em&gt;orden&lt;/em&gt; de la mayor &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; presente. Así, en nuestro primer ejemplo, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_Fundamental_de_la_din.C3.A1mica"&gt;segunda ley de la dinámica de Newton&lt;/a&gt; es de segundo orden, ya que nos encontramos ante la segunda derivada de la posición del objeto con respecto al tiempo. 
La ecuación general de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; de grado $n$ es la siguiente:&lt;/p&gt;
$$F\left(x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \dots , \frac{d^ny}{dx^n}\right) = 0 $$&lt;p&gt;o utilizando la notación prima para las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt;,&lt;/p&gt;
$$F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$$&lt;p&gt;La más simple de todas las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; es la siguiente ecuación de primer orden:&lt;/p&gt;
$$ \frac{dy}{dx} = f(x)$$&lt;p&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;y para resolverla simplemente debemos calcular su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$y = \int f(x) dx + c$$&lt;p&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Ecuaciones-diferenciales-separables"&gt;Ecuaciones diferenciales separables&lt;a class="anchor-link" href="#Ecuaciones-diferenciales-separables"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Una &lt;em&gt;ecuación separable&lt;/em&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden"&gt;ecuación diferencial de primer orden&lt;/a&gt; en la que la expresión para
$dx / dy$ se puede factorizar como una función de x multiplicada por una función de y. En otras palabras, puede ser
escrita en la forma:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$&lt;p&gt;El nombre &lt;em&gt;separable&lt;/em&gt; viene del hecho de que la expresión en el lado derecho se puede "separar" en una función de $x$ y una función de $y$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para resolver este tipo de ecuaciones, podemos reescribirlas en la forma diferencial:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$&lt;p&gt;y luego podemos resolver la ecuación original integrando:&lt;/p&gt;
$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx + c$$&lt;p&gt;Éstas suelen ser las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; más fáciles de resolver, ya que el problema de resolverlas puede ser reducido a un problema de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integración&lt;/a&gt;; a pesar de que igualmente muchas veces estas integrales pueden ser difíciles de calcular.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Ecuaciones-diferenciales-lineales"&gt;Ecuaciones diferenciales lineales&lt;a class="anchor-link" href="#Ecuaciones-diferenciales-lineales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Uno de los tipos más importantes de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; son las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal"&gt;Ecuaciones diferenciales lineales&lt;/a&gt;. Este tipo de ecuaciones son muy comunes en varias ciencias y tienen la ventaja de que pueden llegar a ser resueltas en forma analítica ya que su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden"&gt;ecuación diferencial de primer orden&lt;/a&gt; adopta la forma:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$&lt;p&gt;donde, $P$ y $Q$ son funciones continuas de $x$ en un determinado intervalo. Para resolver este tipo de ecuaciones de la forma $ y' + P(x)y = Q(x)$, debemos multiplicar los dos lados de la ecuación por el &lt;em&gt;factor de integración&lt;/em&gt; $e^{\int P(x) dx}$ y luego &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integrar&lt;/a&gt; ambos lados. Así, si por ejemplo quisiéramos resolver la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} + 3x^2y = 6x^2$$&lt;p&gt;Primero calculamos el &lt;em&gt;factor de integración&lt;/em&gt;, $I(x) = e^{\int 3x^2 \ dx}$, lo que es igual a $e^{x^3}$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el recién calculado &lt;em&gt;factor de integración&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
$$e^{x^3}\frac{dy}{dx} + 3x^2e^{x^3}y = 6x^2e^{x^3}$$&lt;p&gt;simplificando, obtenemos:&lt;/p&gt;
$$\frac{d}{dx}(e^{x^3}y) = 6x^2e^{x^3}$$&lt;p&gt;Por último, integramos ambos lados de la ecuación:&lt;/p&gt;
$$e^{x^3}y = \int 6x^2e^{x^3} \ dx = 2e^{x^3} + C$$&lt;p&gt;y podemos obtener la solución final:&lt;/p&gt;
$$y = Ce^{-x^3} +2 $$&lt;h3 id="Condici&amp;#243;n-inicial"&gt;Condici&amp;#243;n inicial&lt;a class="anchor-link" href="#Condici&amp;#243;n-inicial"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Cuando utilizamos &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;, generalmente no estamos interesados en encontrar una familia de soluciones (la solución general), como la que hayamos en el caso precedente, sino que vamos a estar más interesados en una solución que satisface un requerimiento particular.En muchos problemas físicos debemos de encontrar una solución particular que satisface una condición de la forma $y(t_o) = y_0$. Esto se conoce como la &lt;strong&gt;condición inicial&lt;/strong&gt;, y el problema de encontrar una solución de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; que satisface la &lt;em&gt;condición inicial&lt;/em&gt; se conoce como el &lt;strong&gt;problema de valor inicial&lt;/strong&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Series-de-potencias"&gt;Series de potencias&lt;a class="anchor-link" href="#Series-de-potencias"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Cuando comenzamos a lidiar con las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;, veremos que existen un gran número de ellas que no pueden ser resueltas en forma analítica utilizando los principios del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt; y el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt;; pero sin embargo, tal vez podamos encontrar soluciones aproximadas para este tipo de ecuaciones en términos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Series de potencias&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-serie-de-potencias?"&gt;&amp;#191;Qu&amp;#233; es una serie de potencias?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-serie-de-potencias?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica"&gt;serie&lt;/a&gt;, generalmente infinita, que posee la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$\sum_{n=0}^{\infty} C_nX^n = C_0 + C_1X + C_2X^2 + C_3X^3 + \dots $$&lt;p&gt;En dónde $X$ es una variable y las $C_n$ son &lt;em&gt;constantes&lt;/em&gt; o los &lt;em&gt;coeficientes&lt;/em&gt; de la serie. Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt; puede &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente"&gt;converger&lt;/a&gt; para algunos valores de $X$ y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergente"&gt;divergir&lt;/a&gt; para otros valores de $X$. La suma de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica"&gt;serie&lt;/a&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;función&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
$$f(x) = C_0 + C_1X + C_2X^2 + C_3X^3 + \dots + C_nX^n + \dots$$&lt;p&gt;El &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; de esta &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;función&lt;/a&gt; va a estar dado por el conjunto de todos los $X$ para los que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica"&gt;serie&lt;/a&gt; &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente"&gt;converge&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Series-de-Taylor"&gt;Series de Taylor&lt;a class="anchor-link" href="#Series-de-Taylor"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor"&gt;Series de Taylor&lt;/a&gt; son un caso especial de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt; cuyos términos adoptan la forma $(x - a)^n$. Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor"&gt;Series de Taylor&lt;/a&gt; nos van a permitir aproximar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua"&gt;funciones continuas&lt;/a&gt; que no pueden resolverse en forma analítica y se van a  calcular a partir de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivadas&lt;/a&gt; de estas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;funciones&lt;/a&gt;. Su definición matemática es la siguiente:&lt;/p&gt;
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$&lt;p&gt;Lo que es equivalente a decir:&lt;/p&gt;
$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x -a) + \frac{f''(a)}{2!}(x -a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x -a)^3 + \dots$$&lt;p&gt;Una de las razones de que las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor"&gt;Series de Taylor&lt;/a&gt; sean importantes es que nos permiten &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integrar&lt;/a&gt; funciones que de otra forma no podíamos manejar. De hecho, a menudo &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton"&gt;Newton&lt;/a&gt; &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integraba&lt;/a&gt; funciones por medio de, en primer lugar, expresarlas como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Series de potencias&lt;/a&gt;  y luego &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integrando&lt;/a&gt; la serie término a término. Por ejemplo, la función $f(x) = e^{-x^2}$, no puede ser integrada por los métodos normales del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;, por lo que debemos recurrir a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor"&gt;Series de Taylor&lt;/a&gt; para aproximar la solución de su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integral&lt;/a&gt;. Podríamos construir la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor"&gt;Serie de Taylor&lt;/a&gt; de esta función, del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{n!} =
1 - \frac{x^2}{1!} + \frac{x^4}{2!} -\frac{x^6}{3!} + \dots$$
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Resolviendo-Ecuaciones-diferenciales-con-Python"&gt;Resolviendo Ecuaciones diferenciales con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Resolviendo-Ecuaciones-diferenciales-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Mientras que algunos problemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; se pueden resolver con métodos analíticos, como hemos mencionado anteriormente, son mucho más comunes los problemas  que no se pueden resolver analíticamente. Por lo tanto, en estos casos debemos recurrir a los métodos numéricos. Es aquí, dónde el poder de las computadoras y en especial, de los paquetes científicos de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; como &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;NumPy&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;Matplotlib&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://www.scipy.org/"&gt;SciPy&lt;/a&gt;, se vuelven sumamente útiles. Veamos como podemos utilizar la fuerza computacional para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Soluciones-anal&amp;#237;ticas-con-Python"&gt;Soluciones anal&amp;#237;ticas con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Soluciones-anal&amp;#237;ticas-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;&lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; nos proporciona un solucionador genérico de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, &lt;code&gt;sympy.dsolve&lt;/code&gt;, el cual es capaz de encontrar soluciones analíticas a muchas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt; elementales. Mientras &lt;code&gt;sympy.dsolve&lt;/code&gt; se puede utilizar para resolver muchas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt; sencillas simbólicamente, como veremos a continuación, debemos tener en cuenta que la mayoría de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt; no se pueden resolver analíticamente. Por ejemplo, retomando el ejemplo que resolvimos analíticamente más arriba, veamos si llegamos al mismo resultado utilizando &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; para solucionar la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = -3x^2y + 6x^2$$
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# importando modulos necesarios&lt;/span&gt;
&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline

&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt; 
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# imprimir con notación matemática.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;init_printing&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;use_latex&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;mathjax&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo ecuación diferencial&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# defino las incognitas&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Symbol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Function&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;y&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# expreso la ecuacion&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[2]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\frac{d}{d x} y{\left (x \right )} = - 3 x^{2} y{\left (x \right )} + 6 x^{2}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Aquí primero definimos la incógnitas $x$ utilizando el objeto &lt;code&gt;Symbol&lt;/code&gt; e $y$, que al ser una función, la definimos con el objeto &lt;code&gt;Function&lt;/code&gt;, luego expresamos en &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; la ecuación que define a la función. Ahora solo nos restaría aplicar la función &lt;code&gt;dsolve&lt;/code&gt; para resolver nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[3]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$y{\left (x \right )} = C_{1} e^{- x^{3}} + 2$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver, arribamos exactamente al mismo resultado. Siguiendo el mismo procedimiento, podemos resolver otras &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDOs&lt;/a&gt;, por ejemplo si quisiéramos resolver la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(y^2 -1) $$&lt;p&gt;que cumpla con la condición inicial $y(0) = 2$, debemos realizar el siguiente procedimiento:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# definiendo la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;eq&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.0&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Condición inicial&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;}&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[4]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$y{\left (x \right )} = \frac{C_{1} + e^{x}}{C_{1} - e^{x}}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Aquí encontramos la solución general de nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;, ahora reemplazamos los valores de la condición inicial en nuestra ecuación.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;C_eq&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;C_eq&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[5]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2 = \frac{C_{1} + 1}{C_{1} - 1}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;y por último despejamos el valor de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n"&gt;constante de integración&lt;/a&gt; resolviendo la ecuación.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;C_eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[6]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ 3\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, el valor de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n"&gt;constante de integración&lt;/a&gt; es 3, por lo tanto nuestra solución para el &lt;strong&gt;problema del valore inicial&lt;/strong&gt; es:&lt;/p&gt;
$$y{\left (x \right )} = \frac{3 + e^{x}}{3 - e^{x}}$$&lt;p&gt;Para los casos en que no exista una solución analítica, pero sí una solución aproximada por una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt;, &lt;code&gt;sympy.dsolve&lt;/code&gt; nos va a devolver la serie como solución. Veamos el caso de la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 -1$$
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Solución con serie de potencias&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[7]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$y{\left (x \right )} = \frac{x^{3}}{3} \left(C_{1} \left(3 C_{1} - 1\right) + 1\right) + \frac{x^{5}}{60} \left(C_{1} \left(4 C_{1} - 7\right) + 10 C_{1} - 6\right) + C_{1} + C_{1} x + C_{1} x^{2} + \frac{C_{1} x^{4}}{12} + \mathcal{O}\left(x^{6}\right)$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Campos-de-direcciones"&gt;Campos de direcciones&lt;a class="anchor-link" href="#Campos-de-direcciones"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campos de direcciones&lt;/a&gt; es una técnica sencilla pero útil para visualizar posibles soluciones a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden"&gt;ecuaciones diferenciales de primer orden&lt;/a&gt;. Se compone de líneas cortas que muestran la pendiente de la función incógnita en el plano x-y. Este gráfico se puede producir fácilmente debido a que la pendiente de $y(x)$ en los puntos arbitrarios del plano x-y está dada por la definición misma de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = f(x, y(x))$$&lt;p&gt;Es decir, que sólo tenemos que iterar sobre los valores $x$ e $y$ en la grilla de coordenadas de interés y evaluar $f(x, y(x))$ para saber la pendiente de $y(x)$ en ese punto. Cuantos más segmentos de líneas trazamos en un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campo de dirección&lt;/a&gt;, más clara será la imagen. La razón por la cual el gráfico de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campos de direcciones&lt;/a&gt; es útil, es que las curvas suaves y continuos que son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)"&gt;tangentes&lt;/a&gt; a las líneas de pendiente en cada punto del gráfico, son las posibles soluciones a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por supuesto que calcular las pendientes y dibujar los segmentos de línea para un gran número de puntos a mano sería algo realmente tedioso, pero para eso existen las computadoras y &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;!. Veamos un ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt;, la cual según lo que vimos más arriba, sabemos que no tiene una solución analítica:&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 -1$$&lt;p&gt;entonces, con la ayuda de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos graficar su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campo de dirección&lt;/a&gt; del siguiente modo:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;plot_direction_field&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f_xy&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="bp"&gt;None&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Esta función dibuja el campo de dirección de una EDO&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="n"&gt;f_np&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lambdify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f_xy&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;modules&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;numpy&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;20&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;y_vec&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_lim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;20&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;if&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;is&lt;/span&gt; &lt;span class="bp"&gt;None&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;_&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;dy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;m&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xx&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;enumerate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
        &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;yy&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;enumerate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
            &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f_np&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;yy&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;
            &lt;span class="n"&gt;Dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.8&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sqrt&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
            &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.8&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sqrt&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
            &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dx&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dx&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                    &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;yy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;yy&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Dy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;b&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;axis&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;tight&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_title&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="sa"&gt;r&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;$&lt;/span&gt;&lt;span class="si"&gt;%s&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;$&amp;quot;&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;
                 &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;latex&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f_xy&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))),&lt;/span&gt;
                 &lt;span class="n"&gt;fontsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;18&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino incognitas&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;symbols&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Function&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;y&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Defino la función&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# grafico de campo de dirección&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Las líneas de dirección en el gráfico de arriba sugieren cómo las curvas que son soluciones a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt; se van a comportar. Por lo tanto, los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campos de direcciones&lt;/a&gt; son una herramienta muy útil para visualizar posibles soluciones para &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;  que no se pueden resolver analíticamente. Este gráfico, también nos puede ayudar a determinar el rango de validez de la solución aproximada por la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt;. Por ejemplo si resolvemos nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt; para la condición inicial $y(0) = 0$, veamos a que conclusiones arribamos.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Condición inicial&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;}&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la ecuación diferencial&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$y{\left (x \right )} = - x + \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{15} + \mathcal{O}\left(x^{6}\right)$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;10&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# panel izquierdo - solución aproximada por Serie de potencias&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plot_direction_field&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;100&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lambdify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;removeO&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;())(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt;
             &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;b&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# panel derecho - Solución por método iterativo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plot_direction_field&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;100&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lambdify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;removeO&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;())(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt;
             &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;b&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la EDO en forma iterativa &lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo_sol_m&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol_p&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.125&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# x positivos&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;100&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol_p&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;removeO&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)}&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;edo_sol_p&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lambdify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;edo_sol_p&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rhs&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;removeO&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;())(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vec&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt;
                 &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# x negativos&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x0&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
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&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
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&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;En el panel de la izquierda podemos ver el gráfico de la solución aproximada por la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias"&gt;Serie de potencias&lt;/a&gt;; en el panel de la derecha vemos el gráfico al que podemos arribar resolviendo la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;EDO&lt;/a&gt; para valores incrementales de $x$ para la condición inicial en forma iterativa. Como podemos ver, las solución aproximada se alinea bien con el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;campo de direcciones&lt;/a&gt; para los valores de $x$ entre $-1.5$ y $1.5$, luego comienza a desviarse, lo que nos indica que la solución aproximada ya no sería válida. En el panel de la derecha podemos ver una solución que se adapta mucho mejor con el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;campo de direcciones&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Transformada-de-Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;a class="anchor-link" href="#Transformada-de-Laplace"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Un método alternativo que podemos utilizar para resolver en forma analítica &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;Ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; complejas, es utilizar la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt;, que es un tipo particular de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral"&gt;transformada integral&lt;/a&gt;. La idea es que podemos utilizar esta técnica para transformar nuestra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; en algo más simple, resolver esta ecuación más simple y, a continuación, invertir la transformación para recuperar la solución a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; original.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-Transformada-de-Laplace?"&gt;&amp;#191;Qu&amp;#233; es una Transformada de Laplace?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-una-Transformada-de-Laplace?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Para poder comprender la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt;, primero debemos revisar la definición general de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral"&gt;transformada integral&lt;/a&gt;, la cuál adapta la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$T(f(t)) = \int_{\alpha}^{\beta} K (s, t) \ f(t) \ dt = F(s) $$&lt;p&gt;En este caso, $f(t)$ es la función que queremos transformar, y $F(s)$ es la función transformada. Los límites de la integración, $\alpha$ y $\beta$, pueden ser cualquier valor entre $-\infty$ y $+\infty$ y $K(s, t)$ es lo que se conoce como el &lt;em&gt;núcleo&lt;/em&gt; o &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; de la transformada, y podemos elegir el &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; que nos plazca.  La idea es poder elegir un &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; que nos dé la oportunidad de simplificar la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; con mayor facilidad.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Si nos restringimos a &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; con &lt;em&gt;coeficientes&lt;/em&gt; constantes, entonces un &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; que resulta realmente útil es $e^{-st}$, ya que al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;diferenciar&lt;/a&gt; este &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; con respecto de $t$, terminamos obteniendo potencias de $s$, que podemos equiparar a los &lt;em&gt;coeficientes&lt;/em&gt; constantes. De esta forma, podemos arribar a la definición de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty} e^{-st} \ f(t) \ dt$$&lt;p&gt;Tengan en cuenta, que además de usar el &lt;em&gt;kernel&lt;/em&gt; $e^{-st}$, los límites de la integración van desde $0$ a $\infty$, ya que valores negativos de $t$ harían &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_divergente"&gt;divergir&lt;/a&gt; la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integral&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="Tabla-de-transformadas-de-Laplace"&gt;Tabla de transformadas de Laplace&lt;a class="anchor-link" href="#Tabla-de-transformadas-de-Laplace"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Calcular la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; a veces puede resultar en una tarea complicada. Por suerte, podemos recurrir a la siguiente tabla para resolver la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; para las funciones más comunes:&lt;/p&gt;
&lt;table&gt;
&lt;thead&gt;&lt;tr&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Función original&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Transformada de Laplace&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Restricciones&lt;/th&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/thead&gt;
&lt;tbody&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$1$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{s}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^{at}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{s -a}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;a$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$t^n$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{n!}{s^{n+1}}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;0$, $n$ un entero $&gt; 0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\cos at$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{s}{s^2 + a^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sin at$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{a}{s^2 + a^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\cosh at$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{s}{s^2 - a^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;|a|$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sinh at$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{a}{s^2 - a^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;|a|$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^{at}\cos bt$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{s- a}{(s^2 - a^2) + b^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;a$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^{at}\sin bt$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{b}{(s^2 - a^2) + b^2}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;a$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$t^n e^{at}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$s&gt;a$, $n$ un entero $&gt; 0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$f(ct)$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{c}\mathcal{L}\{f(s/c)\}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$c&gt;0$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;&lt;h4 id="Propiedades-de-las-transformadas-de-Laplace"&gt;Propiedades de las transformadas de Laplace&lt;a class="anchor-link" href="#Propiedades-de-las-transformadas-de-Laplace"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformadas de Laplace&lt;/a&gt; poseen algunas propiedades que también nos van a facilitar el trabajo de resolverlas, algunas de ellas son:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;em&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; es un operador lineal&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt;: Esta propiedad nos dice la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; de una suma, es igual a la suma de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformadas de Laplace&lt;/a&gt; de cada uno de los términos. Es decir:&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
$$\mathcal{L}\{c_1f_1(t) + c_2f_2(t)\}=c_1\mathcal{L}\{f_1(t)\} + c_2\mathcal{L}\{f_2(t)\}$$&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;em&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; de la primer derivada&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt;: Esta propiedad nos dice que si $f(t)$ es continua y $f'(t)$ es continua en el intervalo $0 \le t \le \alpha$. Entonces la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; de la primer derivada es:&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s\mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$$&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;em&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformada de Laplace&lt;/a&gt; de derivadas de orden superior&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt;: Esta propiedad es la generalización de la propiedad anterior para derivadas de orden n. Su formula es:&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n\mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n-1}f(0) - \dots -f^{(n-1)}(0) \\
= s^n\mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^n s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$$&lt;h4 id="Resolviendo-ecuaciones-diferenciales-con-la-transformada-de-Laplace"&gt;Resolviendo ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace&lt;a class="anchor-link" href="#Resolviendo-ecuaciones-diferenciales-con-la-transformada-de-Laplace"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;La principal ventaja de utilizar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformadas de Laplace&lt;/a&gt; es que cambia la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica"&gt;ecuación algebraica&lt;/a&gt;, lo que simplifica el proceso para calcular su solución. La única parte complicada es encontrar las transformaciones y las inversas de las transformaciones de los varios términos de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; que queramos resolver. Veamos entonces como &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; nos ayudan a resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; utilizando las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformadas de Laplace&lt;/a&gt;. Vamos a intentar resolver la siguiente ecuación:&lt;/p&gt;
$$y'' + 3y' + 2y = 0$$&lt;p&gt;con las siguientes condiciones iniciales: $y(0) = 2$ y $y'(0) = -3$&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo de transformada de Laplace&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# Defino las incognitas&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;symbols&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;t&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;positive&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="bp"&gt;True&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Function&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;y&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Defino la ecuación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;edo&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;edo&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[12]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2 y{\left (t \right )} + 3 \frac{d}{d t} y{\left (t \right )} + \frac{d^{2}}{d t^{2}}  y{\left (t \right )} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# simbolos adicionales.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;symbols&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;s, Y&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;real&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="bp"&gt;True&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculo la transformada de Laplace &lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L_edo&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;laplace_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;edo&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;noconds&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="bp"&gt;True&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;L_edo&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[14]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2 \mathcal{L}_{t}\left[y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) + 3 \mathcal{L}_{t}\left[\frac{d}{d t} y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) + \mathcal{L}_{t}\left[\frac{d^{2}}{d t^{2}}  y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver en este resultado, al aplicar la función &lt;code&gt;sympy.laplace_transform&lt;/code&gt; sobre la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt; de $y(t)$, &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; nos devuelve un termino con la forma $\mathcal{L}_{t}\left[\frac{d}{d t} y{\left (t \right )}\right]\left(s\right)$. Esto es una complicación si queremos arribar a una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraica"&gt;ecuación algebraica&lt;/a&gt;. Por tanto antes de proceder, deberíamos utilizar la siguiente función para resolver este inconveniente.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;laplace_transform_derivatives&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    Evalua las transformadas de Laplace de derivadas de funciones sin evaluar.&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    &amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;if&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;isinstance&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;LaplaceTransform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
        &lt;span class="k"&gt;if&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;isinstance&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Derivative&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
            &lt;span class="n"&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt; 
            &lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;len&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;
            &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;LaplaceTransform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;
                    &lt;span class="nb"&gt;sum&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;i&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;d&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;i&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
                         &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;i&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;range&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;n&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)]))&lt;/span&gt;
        
    &lt;span class="k"&gt;if&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;isinstance&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Add&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Mul&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)):&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;type&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; 
        &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;laplace_transform_derivatives&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arg&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;arg&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;e&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Aplicamos la nueva funcion para evaluar las transformadas de Laplace&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# de derivadas&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L_edo_2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;laplace_transform_derivatives&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;L_edo&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;L_edo_2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[16]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$s^{2} \mathcal{L}_{t}\left[y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) + 3 s \mathcal{L}_{t}\left[y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) - s y{\left (0 \right )} + 2 \mathcal{L}_{t}\left[y{\left (t \right )}\right]\left(s\right) - 3 y{\left (0 \right )} - \left. \frac{d}{d t} y{\left (t \right )} \right|_{\substack{ t=0 }} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# reemplazamos la transfomada de Laplace de y(t) por la incognita Y&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# para facilitar la lectura de la ecuación.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L_edo_3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;L_edo_2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;laplace_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Eq&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;L_edo_3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[17]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$Y s^{2} + 3 Y s + 2 Y - s y{\left (0 \right )} - 3 y{\left (0 \right )} - \left. \frac{d}{d t} y{\left (t \right )} \right|_{\substack{ t=0 }} = 0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Definimos las condiciones iniciales&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;}&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[18]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left \{ y{\left (0 \right )} : 2, \quad \left. \frac{d}{d t} y{\left (t \right )} \right|_{\substack{ t=0 }} : -3\right \}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[19]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Aplicamos las condiciones iniciales&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L_edo_4&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;L_edo_3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ics&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L_edo_4&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[19]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$Y s^{2} + 3 Y s + 2 Y - 2 s - 3$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[20]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolvemos la ecuación y arribamos a la Transformada de Laplace&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# que es equivalente a nuestra ecuación diferencial&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Y_sol&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;L_edo_4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Y_sol&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[20]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ \frac{2 s + 3}{s^{2} + 3 s + 2}\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[21]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Por último, calculamos al inversa de la Transformada de Laplace que &lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# obtuvimos arriba, para obtener la solución de nuestra ecuación diferencial.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y_sol&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;inverse_laplace_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Y_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y_sol&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[21]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\frac{e^{t} + 1}{e^{2 t}}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[22]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobamos la solución.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y_sol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[22]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left ( 2, \quad -3\right )$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace"&gt;Transformadas de Laplace&lt;/a&gt;, pueden ser una buena alternativa para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; en forma analítica. Pero aún así, siguen existiendo ecuaciones que se resisten a ser resueltas por medios analíticos, para estos casos, debemos recurrir a los métodos numéricos.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="M&amp;#233;todos-num&amp;#233;ricos"&gt;M&amp;#233;todos num&amp;#233;ricos&lt;a class="anchor-link" href="#M&amp;#233;todos-num&amp;#233;ricos"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Cuando todo lo demás falla, llegan los métodos numéricos al rescate; siempre vamos a poder calcular una aproximación numérica a una solución de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;. De éstos métodos ya no vamos a obtener las formulas elegantes y acabadas que veníamos viendo, sino que vamos a obtener números.
Existen muchos enfoques para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; en forma numérica, y generalmente están diseñados para resolver problemas que están formulados como un sistema de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden"&gt;ecuaciones diferenciales de primer orden&lt;/a&gt; de la forma estándar:&lt;/p&gt;
$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y(x))$$&lt;p&gt;donde $y(x)$ es un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de la funciones incógnitas de $x$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La idea básica de muchos de los métodos numéricos para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; es capturada por el &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"&gt;Método de Euler&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;, veamos de que se trata este método.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="El-M&amp;#233;todo-de-Euler"&gt;El M&amp;#233;todo de Euler&lt;a class="anchor-link" href="#El-M&amp;#233;todo-de-Euler"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Para entender este método, revisemos nuevamente la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$ \frac{dy}{dx} = f(x, y(x))$$&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"&gt;Método de Euler&lt;/a&gt; señala que puede que no tengamos la función real que representa la solución a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuación diferencial&lt;/a&gt; precedente. Sin embargo, si poseemos la pendiente de la curva en cualquier punto. Es decir, el &lt;em&gt;ritmo de cambio&lt;/em&gt; de la curva, que no es otra cosa que su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivada&lt;/a&gt;, la cual podemos utilizar para iterar sobre soluciones en distintos puntos.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Supongamos entonces que tenemos el punto $(x_0, y_0)$, que se encuentra en la &lt;em&gt;curva solución&lt;/em&gt;. Dada la definición de la ecuación que estamos analizando, sabemos que la pendiente de la &lt;em&gt;curva solución&lt;/em&gt;  en ese punto es $f(x_0, y_0)$. ¿Qué pasaría entonces si quisiéramos encontrar la solución numérica en el punto $(x, y)$ que se encuentra a una corta distancia $h$?. En este caso, podríamos definir a $y$ como $y = y_0 + \Delta y$, es decir, $y$ va ser igual al valor de $y$ en el punto inicial, más el cambio que ocurrió en $y$ al movernos a la distancia $h$. Y como el cambio en $y$ va a estar dado por la pendiente de la curva, que en este caso sabemos que es igual a  $f(x_0, y_0)$, podemos definir la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia"&gt;relación de recurrencia&lt;/a&gt; que es la base para encontrar las soluciones numéricas con el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"&gt;Método de Euler&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$y = y_0 + f(x_0, y_0)h$$&lt;p&gt;La cual podemos generalizar para todo $n$ del siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$y_n = y_{n -1} + f(x_{n - 1}, y_{n - 1})h$$&lt;p&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Este método esta íntimamente relacionado con los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campos de direcciones&lt;/a&gt; que analizamos más arriba. En general, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"&gt;Método de Euler&lt;/a&gt; dice que empecemos por el punto dado por el &lt;em&gt;condición incial&lt;/em&gt; y continuemos en la dirección indicada por el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campo de direcciones&lt;/a&gt;. Luego nos detengamos, miramos a la pendiente en la nueva ubicación, y procedemos en esa dirección.&lt;/p&gt;
&lt;h4 id="El-M&amp;#233;todo-de-Runge-Kutta"&gt;El M&amp;#233;todo de Runge-Kutta&lt;a class="anchor-link" href="#El-M&amp;#233;todo-de-Runge-Kutta"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Otro método que podemos utilizar para encontrar soluciones numéricas a &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;, y que incluso es más preciso que el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler"&gt;Método de Euler&lt;/a&gt;, es el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta"&gt;Método de Runge-Kutta&lt;/a&gt;. En el cual la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia"&gt;relación de recurrencia&lt;/a&gt; va a estar dada por un promedio ponderado de términos de la siguiente manera:&lt;/p&gt;
$$y_{k + 1} = y_k + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$&lt;p&gt;en dónde:&lt;/p&gt;
$$k_1 = f(x_k, y_k)h_k, \\
k_2 = f\left(x_k + \frac{h_k}{2}, y_k + \frac{k_1}{2}\right)h_k, \\
k_3 = f\left(x_k + \frac{h_k}{2}, y_k + \frac{k_2}{2}\right)h_k, \\
k_4 = f\left(x_k + h_k, y_k + k_3\right)h_k. \\
$$&lt;h4 id="Soluciones-num&amp;#233;ricas-con-Python"&gt;Soluciones num&amp;#233;ricas con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Soluciones-num&amp;#233;ricas-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;Para poder resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt; en forma numérica con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos utilizar las herramienta de integración que nos ofrece &lt;a href="http://www.scipy.org/"&gt;SciPy&lt;/a&gt;, particularmente los dos solucionadores de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, &lt;code&gt;integrate.odeint&lt;/code&gt; y &lt;code&gt;integrate.ode&lt;/code&gt;. La principal diferencia entre ambos, es que &lt;code&gt;integrate.ode&lt;/code&gt; es más flexible, ya que nos ofrece la posibilidad de elegir entre distintos &lt;em&gt;solucionadores&lt;/em&gt;. Veamos algunos ejemplos:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Comencemos por la siguiente función:&lt;/p&gt;
$$f(x, y(x)) = x + y(x)^2$$
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[23]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Defino la función&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[23]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$x + y^{2}{\left (x \right )}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[24]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# la convierto en una función ejecutable&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;f_np&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lambdify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Definimos los valores de la condición inicial y el rango de x sobre los &lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# que vamos a iterar para calcular y(x)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y0&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xp&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;100&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Calculando la solución numerica para los valores de y0 y xp&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;yp&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;odeint&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f_np&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xp&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Aplicamos el mismo procedimiento para valores de x negativos&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xn&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;100&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;yn&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;odeint&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f_np&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xn&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Los resultados son dos matrices unidimensionales de &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;NumPy&lt;/a&gt; $yp$ y $yn$, de la misma longitud que las correspondientes matrices de coordenadas $xp$ y $xn$, que contienen las soluciones numéricas de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt; para esos puntos específicos. Para visualizar la solución, podemos graficar las matrices $yp$ y $yn$, junto con su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_de_direcciones"&gt;Campo de direcciones&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[25]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plot_direction_field&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xn&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;yn&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;b&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;axes&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xp&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;yp&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;show&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;En este ejemplo, solucionamos solo una ecuación. Generalmente, la mayoría de los problemas se presentan en la forma de sistemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, es decir, que incluyen varias ecuaciones a resolver. Para ver como podemos utilizar a &lt;code&gt;integrate.odeint&lt;/code&gt; para resolver este tipo de problemas, consideremos el siguiente sistema de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt;, conocido el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lorenz"&gt;atractor de Lorenz&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$x'(t) = \sigma(y -x), \\
y'(t) = x(\rho -z)-y, \\
z'(t) = xy - \beta z
$$&lt;p&gt;Estas ecuaciones son conocidas por sus soluciones caóticas, que dependen sensiblemente de los valores de los parámetros $\sigma$, $\rho$ y $\beta$. Veamos como podemos resolverlas con la ayuda de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[26]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Definimos el sistema de ecuaciones&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; 
           &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
           &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;z&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Asignamos valores a los parámetros&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;28&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;3.0&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Condición inicial y valores de t sobre los que calcular&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xyz0&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;25&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;10000&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Resolvemos las ecuaciones&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xyz1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;odeint&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xyz2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;odeint&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.6&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;xyz3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;odeint&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;t&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;args&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sigma&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rho&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.6&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[27]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Graficamos las soluciones&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;mpl_toolkits.mplot3d.axes3d&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Axes3D&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;figsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;12&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt;
                                  &lt;span class="n"&gt;subplot_kw&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;projection&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;3d&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;})&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;b&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;g&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)]:&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xyz&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;alpha&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;$x$&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fontsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;16&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;$y$&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fontsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;16&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_zlabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;$z$&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fontsize&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;16&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xticks&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;15&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;15&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_yticks&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;20&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;20&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_zticks&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;20&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;40&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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&lt;p&gt;Como podemos ver, los solucionadores numéricos que nos ofrece &lt;a href="http://www.scipy.org/"&gt;SciPy&lt;/a&gt; son simples de utilizar y pueden simplificar bastante el trabajo de resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="M&amp;#233;todo-anal&amp;#237;tico-vs-M&amp;#233;todo-num&amp;#233;rico"&gt;M&amp;#233;todo anal&amp;#237;tico vs M&amp;#233;todo num&amp;#233;rico&lt;a class="anchor-link" href="#M&amp;#233;todo-anal&amp;#237;tico-vs-M&amp;#233;todo-num&amp;#233;rico"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Al resolver una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt; en forma analítica, el resultado es una función, $f$, que nos permite calcular la población, $f(t)$, para cualquier valor de $t$. Al resolver una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuación diferencial ordinaria&lt;/a&gt; en forma numéricamente, se obtienen dos matrices de una dimensión. Podemos pensar a estas matrices como una aproximación discreta de la función continua $f$: &lt;em&gt;"discreta"&lt;/em&gt;, ya que sólo se define para ciertos valores de $t$, y &lt;em&gt;"aproximada"&lt;/em&gt;, porque cada valor $F_i$ es sólo una estimación del verdadero valor de $f(t)$. Por tanto, estas son limitaciones de las soluciones numéricas. La principal ventaja es que se puede calcular soluciones numéricas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; que no tienen soluciones analíticas, que son la gran mayoría de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria"&gt;ecuaciones diferenciales ordinarias&lt;/a&gt; no lineales.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Con esto concluyo este paseo por una de las más fructíferas  ideas de las matemáticas aplicadas, las  &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;Ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;; espero que les pueda servir de guía para facilitarles su solución.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando Jupyter notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/Diff_Eq_python.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/Diff_Eq_python.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
 

&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="matematica"></category><category term="calculo"></category><category term="derivada"></category><category term="integral"></category><category term="ecuaciones diferenciales"></category></entry><entry><title>Introducción al Cálculo con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/12/02/introduccion-al-calculo-con-python/" rel="alternate"></link><published>2015-12-02T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2015-12-02:blog/2015/12/02/introduccion-al-calculo-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img alt="Cálculo con python" title="Cálculo con python" src="http://relopezbriega.github.io/images/calculus.png
" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;

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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; es una rama muy importante de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica"&gt;Matemática&lt;/a&gt; moderna; tiene profundas raíces en problemas físicos y  gran parte de su potencia y belleza derivan de la variedad de sus aplicaciones.
Las subramas conocidas como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt; son instrumentos naturales y poderosos para atacar múltiples problemas que surgen en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica"&gt;Física&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADa"&gt;Astronomía&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa"&gt;Ingeniería&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica"&gt;Química&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Geolog%C3%ADa"&gt;Geología&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Biolog%C3%ADa"&gt;Biología&lt;/a&gt;, y en otros campos de las ciencias. 
El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinantes y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante cientos de años. Estas ideas están relacionadas con la velocidad, el área, el volumen, la razón de crecimiento, la tangente a una línea, y demás.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Historia"&gt;Historia&lt;a class="anchor-link" href="#Historia"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;El origen del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; se remonta a más de 2300 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; ideando el procedimiento que llamaron &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo"&gt;método de exhaución&lt;/a&gt;. La idea esencial de este método consiste en intentar determinar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de una región por medio de aproximaciones utilizando regiones &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono"&gt;poligonales&lt;/a&gt; cuya &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; sea más fácil de calcular, la idea es continuar con el proceso aumentando los lados de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono"&gt;polígonos&lt;/a&gt; hasta llegar a la mejor aproximación posible de la región que queremos determinar. 
Este método fue usado satisfactoriamente por &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes"&gt;Arquímedes&lt;/a&gt; (287-212 A.C.) para hallar fórmulas exactas de las áreas del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo"&gt;círculo&lt;/a&gt; y de algunas otras figuras especiales. En la siguiente figura podemos ver al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo"&gt;método de exhaución&lt;/a&gt; aplicado para determinar el área del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo"&gt;círculo&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="Método exhaustivo para hallar el área del círculo" title="Método exhaustivo para hallar el área del círculo" src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Archimedes_pi.svg
" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Desde &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes"&gt;Arquímedes&lt;/a&gt;, gradualmente, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo"&gt;método de exhaución&lt;/a&gt; fue transformándose en lo que hoy se conoce como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;, nueva y potente disciplina que, como ya mencionamos,  tiene numerosas aplicaciones no sólo en problemas relativos a áreas y volúmenes, sino también en problemas de otras ciencias. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;, que mantiene alguno de los caracteres originales del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo"&gt;método de exhaución&lt;/a&gt;, recibió su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton"&gt;Isaac Newton&lt;/a&gt; (1642-1727) y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Gottfried Leibniz&lt;/a&gt; (1646-1716), y su desarrollo continuó durante el siglo XIX, hasta que &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy"&gt;Augustin-Louis Cauchy&lt;/a&gt; (1789-1857) y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann"&gt;Bernhard Riemann&lt;/a&gt; (1826-1866) le dieron una base &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica"&gt;matemática&lt;/a&gt; firme.&lt;/p&gt;

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&lt;h2 id="Funciones"&gt;Funciones&lt;a class="anchor-link" href="#Funciones"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Funciones&lt;/a&gt; son los objetos fundamentales con los que tratamos en el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;. Las mismas pueden ser representadas de diferentes maneras: por una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n"&gt;ecuación&lt;/a&gt;, en una tabla, por un gráfico, o en palabras. Se utilizan principalmente como modelos matemáticos para representar fenómenos del mundo real.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La palabra &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; fue introducida en las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica"&gt;Matemáticas&lt;/a&gt; por &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Leibniz&lt;/a&gt;, quien utilizaba este término para designar cierto tipo de fórmulas matemáticas. Una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;  surge cada vez que una cantidad depende de otra. Más precisamente la definición de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es esencialmente la siguiente: Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X y el conjunto Y, una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es una regla que asocia a cada objeto de X, uno y sólo un, objeto en Y. El conjunto X se denomina el &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Los objetos de Y, asociados con los objetos en X forman otro conjunto denominado el &lt;em&gt;recorrido&lt;/em&gt; de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Generalmente se utilizan las letras $f, g, h, G$ y $H$ para designarlas. Si $f$ es una función dada y $x$ es un objeto de su dominio, la notación $f(x)$ se
utiliza para designar el objeto que en el recorrido corresponde a $x$, en la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $f$, y se denomina el valor de la función $f$ en $x$. El símbolo $f(x)$ se lee, «f de x».&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Muchas veces resulta útil pensar en una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; como si fuera una máquina. Si $x$ está en el dominio de la función $f$, entonces cuando $x$ entra en la máquina, se acepta como una entrada y la máquina produce una salida $f(x)$ de acuerdo a la regla de la función. Así, podemos pensar al &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; como el conjunto de todas las entradas posibles y al &lt;em&gt;recorrido&lt;/em&gt; como el conjunto de todas las salidas posibles.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El método más común para la visualización de una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n"&gt;gráfica&lt;/a&gt;. Si $f$ es una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con
dominio $D$, a continuación, su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n"&gt;gráfica&lt;/a&gt; es el conjunto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pares_ordenados"&gt;pares ordenados&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
$$\{(x, f(x)) \mid x \in D \} $$&lt;p&gt;Aquí debemos tener en cuenta que el par $(x, f(x))$, es un par &lt;em&gt;entrada-salida&lt;/em&gt;, el valor de $x$ representa el valor de entrada, mientras que el valor de $f(x)$ representa la salida de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.  En otras palabras, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n"&gt;gráfica&lt;/a&gt; de $f$ se compone de todos puntos $(x, y)$ en el plano de coordenadas tal que $y=f(x)$ y $x$ está en el &lt;em&gt;dominio&lt;/em&gt; de $f$.
La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n"&gt;gráfica&lt;/a&gt; de una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $f$ nos da una imagen útil del comportamiento o la "historia de vida" de la misma.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="Gráfica de funciones" title="Gráfica de funciones" src="http://relopezbriega.github.io/images/funciones_graf.png
" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Funciones-con-Python"&gt;Funciones con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Funciones-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Para definir las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Funciones&lt;/a&gt; en &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; utilizamos la instrucción &lt;code&gt;def&lt;/code&gt;. Así por ejemplo si quisiéramos definir a la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $f(x) = \sqrt{x + 2}$ dentro de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, lo podríamos hacer de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;  

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sqrt&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;En este ejemplo, primero estamos importando la librería &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;numpy&lt;/a&gt;, para trabajar más fácilmente con &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(inform%C3%A1tica"&gt;vectores&lt;/a&gt;, los cuales simplifican los cálculos numéricos.
Luego utilizamos la instrucción &lt;code&gt;def&lt;/code&gt; para definir la función, que este caso se va a llamar f y va a tener como único parámetro al objeto x. Esta función nos va a devolver el valor de la raíz cuadrada de $x + 2$. Ahora, si por ejemplo quisiéramos saber los valores de la función $f(x)$ para los $x, -2, -1, 0, 2, 4$ y $6$. podríamos invocar a esta función de la siguiente manera:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;  &lt;span class="c1"&gt;# Creando el vector de valores de x&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[2]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 0.        ,  1.        ,  1.41421356,  2.        ,  2.44948974,
        2.82842712])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Si quisiéramos verlo en forma de tabla, podemos ayudarnos de la librería &lt;a href="http://pandas.pydata.org/"&gt;pandas&lt;/a&gt; y su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_de_datos"&gt;estructura de datos&lt;/a&gt; &lt;a href="http://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/generated/pandas.DataFrame.html"&gt;DataFrame&lt;/a&gt;, la cual tiene una forma tabular.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;pandas&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;pd&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;tabla&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DataFrame&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;list&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="nb"&gt;zip&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;columns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;f(x)&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;tabla&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[3]:&lt;/div&gt;


&lt;div class="output_html rendered_html output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;div style="max-height:1000px;max-width:1500px;overflow:auto;"&gt;
&lt;table border="1" class="dataframe"&gt;
  &lt;thead&gt;
    &lt;tr style="text-align: right;"&gt;
      &lt;th&gt;&lt;/th&gt;
      &lt;th&gt;x&lt;/th&gt;
      &lt;th&gt;f(x)&lt;/th&gt;
    &lt;/tr&gt;
  &lt;/thead&gt;
  &lt;tbody&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;0&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;-2&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;0.000000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;1&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;-1&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;1.000000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;2&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;0&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;1.414214&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;3&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;2.000000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;4&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;4&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;2.449490&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;5&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;6&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;2.828427&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
  &lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Por último, si quisiéramos graficar funciones con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos utilizar la librería &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;Matplotlib&lt;/a&gt;, y pasarle los valores de $x$ e $y$ al método &lt;code&gt;plot&lt;/code&gt; del objeto &lt;code&gt;pyplot&lt;/code&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline

&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;():&lt;/span&gt;
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Esta funcion divide pone al eje y en el valor &lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    0 de x para dividir claramente los valores positivos y&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    negativos.&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;fix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;left&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;bottom&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_position&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;zero&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;right&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;top&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;none&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;num&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;30&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;title&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="sa"&gt;r&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;Grafico de $f(x)=\sqrt{x + 2}$&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ylabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;f(x)&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xlabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;show&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
&lt;img src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAWYAAAEgCAYAAACHJ9lnAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAAlwSFlz
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&lt;h2 id="L&amp;#237;mites"&gt;L&amp;#237;mites&lt;a class="anchor-link" href="#L&amp;#237;mites"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Uno de los conceptos más importantes dentro del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; es el concepto de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Se dice que una función $f$ tiende hacia el &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $l$ cerca de $a$, si se puede hacer que $f(x)$ este tan próxima como queramos de $l$, haciendo que $x$ esté suficientemente cerca de $a$, pero siendo distinta de $a$. Así por ejemplo si analizamos la función $f(x) = x^2 - x + 2$, para los valores cercanos a 2, podríamos ver los siguientes resultados.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.95&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.99&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.999&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.001&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.05&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;tabla&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DataFrame&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="nb"&gt;list&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="nb"&gt;zip&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;columns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;f(x)&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;tabla&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[5]:&lt;/div&gt;


&lt;div class="output_html rendered_html output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;div style="max-height:1000px;max-width:1500px;overflow:auto;"&gt;
&lt;table border="1" class="dataframe"&gt;
  &lt;thead&gt;
    &lt;tr style="text-align: right;"&gt;
      &lt;th&gt;&lt;/th&gt;
      &lt;th&gt;x&lt;/th&gt;
      &lt;th&gt;f(x)&lt;/th&gt;
    &lt;/tr&gt;
  &lt;/thead&gt;
  &lt;tbody&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;0&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.000&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;2.000000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;1&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.500&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;2.750000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;2&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.900&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;3.710000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;3&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.950&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;3.852500&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;4&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.990&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;3.970100&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;5&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;1.999&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;3.997001&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;6&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2.001&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;4.003001&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;7&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2.050&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;4.152500&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;8&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2.100&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;4.310000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;9&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2.200&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;4.640000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;10&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;2.500&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;5.750000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
    &lt;tr&gt;
      &lt;th&gt;11&lt;/th&gt;
      &lt;td&gt;3.000&lt;/td&gt;
      &lt;td&gt;8.000000&lt;/td&gt;
    &lt;/tr&gt;
  &lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;de acuerdo con esta tabla, podemos ver que a medida que hacemos al valor de $x$ cercano a 2, vemos que $f(x)$ se hace muy cercana a 4. Incluso podríamos hacer a $f(x)$ tan cercana como queramos a 4, haciendo que $x$ este lo suficientemente cerca de 2. Por lo tanto, podemos expresar esta propiedad diciendo que el &lt;em&gt;"&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt; de la función $f(x) = x^2 - x + 2$ cuando $x$ se acerca a 2 es igual a 4."&lt;/em&gt; y lo podemos representar con la siguiente notación:&lt;/p&gt;
$$\lim_{x\to 2} \left(x^2 -x + 2\right) = 4$$&lt;p&gt;Gráficamente lo podemos ver del siguiente modo.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;num&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;30&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;f&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;scatter&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;label&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;limite cuando x tiende a 2&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;legend&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;title&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="sa"&gt;r&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;Grafico de $f(x)=x^2 -x + 2$&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ylabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;f(x)&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xlabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;show&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Las-leyes-de-los-l&amp;#237;mites"&gt;Las leyes de los l&amp;#237;mites&lt;a class="anchor-link" href="#Las-leyes-de-los-l&amp;#237;mites"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Calcular el valor exacto de los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; muchas veces no suele tan fácil como reemplazar el valor de $a$ en $f(x)$. Es por esto que es importante conocer algunas propiedades de los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, ellas son:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;Ley de la suma:&lt;/strong&gt; El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;Ley de la diferencia:&lt;/strong&gt; El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;Ley del producto:&lt;/strong&gt; El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;ley del múltiplo constante:&lt;/strong&gt; El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;Ley del cociente:&lt;/strong&gt; El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites, siempre que el límite del denominador sea diferente de &lt;em&gt;cero&lt;/em&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Es decir que si tenemos a la constante $C$ y a los límites $\lim_{x\to a} f(x)$ y $\lim_{x\to a} g(x)$. Entonces podemos expresar estas propiedades matemáticamente de la siguiente forma:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;1- &lt;strong&gt;Ley de la suma:&lt;/strong&gt; $\lim_{x\to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;2- &lt;strong&gt;Ley de la diferencia:&lt;/strong&gt; $\lim_{x\to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) - \lim_{x\to a} g(x)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;3- &lt;strong&gt;Ley del producto:&lt;/strong&gt; $\lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x\to a} f(x) \cdot \lim_{x\to a} g(x)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;4- &lt;strong&gt;ley del multiplo constante:&lt;/strong&gt; $\lim_{x\to a} [C \cdot f(x)] = C \cdot \lim_{x\to a} f(x)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;5- &lt;strong&gt;Ley del cociente:&lt;/strong&gt; $\lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}$, si $\lim_{x\to a} g(x) \ne 0$.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Calculando-L&amp;#237;mites-con-Python"&gt;Calculando L&amp;#237;mites con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Calculando-L&amp;#237;mites-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos resolver &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; fácilmente utilizando la librería &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;, la cual nos proporciona el objeto &lt;code&gt;Limit&lt;/code&gt; para representarlos en &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;. Su sintaxis es la siguiente: &lt;code&gt;Limit(función, variable, punto)&lt;/code&gt;. Entonces para calcular el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a 0, debemos escribir:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;code&gt;Limit(f(x), x, 0)&lt;/code&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Lo utilizamos de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy.interactive&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;printing&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Symbol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# imprimir con notación matemática.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;printing&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;init_printing&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;use_latex&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;mathjax&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; 

&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Symbol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# Creando el simbolo x.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# Creando el objeto Limit&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[7]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} - x + 2\right)$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo el Limite con el metodo doit()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[8]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$4$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# La funcion limit nos da directamente el resultado&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[9]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$4$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo limite 1/x cuando x tiende a infinito&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Infinity&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Limit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Infinity&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[11]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, primero creamos el símbolo para representar a la variable x utilizando el objeto &lt;code&gt;Symbol&lt;/code&gt;, y luego creamos nuestro límite utilizando el objeto &lt;code&gt;Limit&lt;/code&gt;. Por último para resolver el límite, simplemente llamamos al método &lt;code&gt;doit()&lt;/code&gt; sobre el objeto &lt;code&gt;Limit&lt;/code&gt; que acabamos de crear. También podemos calcular los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de valores de $x$ que tiendan hacia el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Infinito"&gt;infinito&lt;/a&gt; utilizando la &lt;em&gt;clase&lt;/em&gt; especial &lt;code&gt;S.Infinity&lt;/code&gt; que nos proporciona &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Ahora que ya conocemos que es una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica"&gt;Función&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y que es un &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, ya estamos en condiciones de adentrarnos en el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt; y analizar el concepto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Derivadas"&gt;Derivadas&lt;a class="anchor-link" href="#Derivadas"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Para poder comprender el concepto de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; primero debemos abordar el problema de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;recta tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; a un curva. La palabra &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)"&gt;tangente&lt;/a&gt; se deriva de la palabra griega &lt;em&gt;Tangens&lt;/em&gt;, que significa "que toca". Así una &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; a una curva es una línea que toca la curva. En otras palabras, una línea tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto. Para un círculo podríamos simplemente seguir la definición de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides"&gt;Euclides&lt;/a&gt; y decir que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)"&gt;tangente&lt;/a&gt; es una línea que cruza
el círculo una y sólo una vez (ver &lt;em&gt;figura a&lt;/em&gt;). Pero para curvas más complicadas este definición es inadecuada. Por ejemplo en la &lt;em&gt;figura b&lt;/em&gt; podemos ver  dos líneas $l$ y $t$ que pasan por el punto $P$ en una curva $C$ . La línea $l$ cruza a la curva $C$ sólo una vez, pero ciertamente no se parece a lo que pensamos como una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)"&gt;tangente&lt;/a&gt;. La línea $t$, en cambio, se parece a una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)"&gt;tangente&lt;/a&gt; pero intercepta a $C$ dos veces.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="El problema de la tangente" title="El problema de la tangente" src="http://relopezbriega.github.io/images/tangente.png
" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El intento de resolver este problema fue lo que condujo a &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat"&gt;Fermat&lt;/a&gt; a descubrir algunas de las ideas rudimentarias referentes a la noción de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.
Aunque la derivada se introdujo inicialmente para el estudio del problema de la tangente, pronto se vio que proporcionaba también un instrumento para el cálculo de &lt;em&gt;velocidades&lt;/em&gt; y, en general para el estudio de la &lt;em&gt;variación o tasa de cambio&lt;/em&gt; de una función.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función, según cambie el valor de su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente"&gt;variable independiente&lt;/a&gt;. La &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de la rapidez de cambio medio de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Entonces el valor de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la &lt;strong&gt;pendiente de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;recta tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;&lt;/strong&gt; a la gráfica de la función en dicho punto. La &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;recta tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial"&gt;derivada parcial&lt;/a&gt; y el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_de_una_funci%C3%B3n"&gt;diferencial&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Matemáticamente, la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es una caso especial de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, el cual surge cada vez que queremos calcular la pendiente de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;recta tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; o la &lt;em&gt;velocidad de cambio&lt;/em&gt; de un objeto. Éste &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; ocurre tan frecuentemente que se le ha da un notación y un nombre determinados. Así &lt;strong&gt;la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de una función $f$ en el punto a&lt;/strong&gt;, representada por $f'(a)$, es:&lt;/p&gt;
$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$&lt;p&gt;donde $h$ representa la variación de $a$.
Esta misma definición, puede ser representada también del siguiente modo, utilizando la notación de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Leibniz&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{dx \to 0}\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}$$&lt;p&gt;Así, por ejemplo si quisiéramos saber cuál es la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de la función $f(x) = x^3$, podemos aplicar la definición anterior del siguiente modo.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Comenzamos, definiendo a $f(x + dx) = (x + dx)^3$, luego expandimos a:&lt;/p&gt;
$$(x + dx)^3 = f(x + dx) = x^3 + 3x^2dx + 3xdx^2 + dx^3$$&lt;p&gt;Luego reemplazamos esta función en nuestra definición de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{dx}{dy} = \frac{x^3 + 3x^2dx + 3xdx^2 + dx^3 - x^3}{dx}$$&lt;p&gt;Simplificamos los términos:&lt;/p&gt;
$$\frac{dx}{dy} = \frac{3x^2dx + 3xdx^2 + dx^3}{dx} \Rightarrow 3x^2 + 3xdx + dx^2$$&lt;p&gt;y cuando $dx$ tiende a cero, obtenemos finalmente la función &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$$&lt;h3 id="Reglas-de-Derivaci&amp;#243;n"&gt;Reglas de Derivaci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Reglas-de-Derivaci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Si fuera siempre necesario calcular las &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; directamente de la definición, como hicimos anteriormente, éstos cálculos podrían ser tediosos y complicados. Afortunadamente, varias reglas se han desarrollado para encontrar &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; sin tener que usar la definición directamente. Estas fórmulas simplifican enormemente la tarea de la diferenciación y se conocen como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n"&gt;reglas de derivación&lt;/a&gt;. Algunas de ellas son las siguientes:&lt;/p&gt;
&lt;table&gt;
&lt;thead&gt;&lt;tr&gt;
&lt;th style="text-align:left"&gt;Funciones comunes&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Función original&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Función Derivada&lt;/th&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/thead&gt;
&lt;tbody&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Constantes&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$c$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;0&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Cuadrado&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$x^2$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$2x$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Raiz cuadrada&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sqrt{x}$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Exponenciales&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^x$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$a^x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$a^x(\ln a)$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Logaritmicas&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\ln x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{x}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\log_{a} x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{x \ln a}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Trigonométricas&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sin x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\cos x$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\cos x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$-\sin x$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\tan x$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sec^2(x)$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Trigonométricas inversas&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sin^{-1}(x)$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\cos^{-1}(x)$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\tan^{-1}(x)$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{1}{1-x^2}$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;
&lt;p&gt;1- &lt;strong&gt;Regla de la función de grado n:&lt;/strong&gt; Esta regla nos dice que una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por $f(x)=x^{n}$ y su derivada es $f'(x)=nx^{n-1}$. Así por ejemplo, si quisiéramos saber la derivada de $f(x) = x^5$, aplicando la regla obtenemos, $f'(x) = 5x^{5-1} \Rightarrow 5x^4$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;2- &lt;strong&gt;Regla de la multiplicación por una constante:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que una función con la forma $f(x) = Cx$, donde $C$ es una constante; entonces la derivada de esta función va a ser igual a: $f'(x)= Cx'$; es decir a la constante por la derivada de $x$. Así por ejemplo si tenemos la función $f(x)=5x^3$, primero debemos a obtener la derivada de $x^3$, la cual aplicando la regla anterior sabemos que es $3x^2$ y luego a esta derivada la multiplicamos por la constante 5, para obtener el resultado final $f'(x)=15x^2$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;3- &lt;strong&gt;Regla de la suma:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de ellas. Es decir, $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$. Así por ejemplo la derivada de la función $f(x) = 5x^3 + x^2$ va a ser igual a $f'(x) = 15x^2 + 2x$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;4- &lt;strong&gt;Regla de la diferencia:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la derivada de la diferencia entre dos funciones es igual a la diferencia entre las derivadas de cada una de ellas. Es decir, $(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$. Así por ejemplo la derivada de la función $f(x) = 5x^3 - x^2$ va a ser igual a $f'(x) = 15x^2 - 2x$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;5- &lt;strong&gt;Regla del producto:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar. Es decir,  $(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'$. Así por ejemplo si quisiéramos derivar la función $h(x)=(2x + 1)(x^3 + 2)$, primero obtenemos las derivadas de cada termino, $f'(x)=2$ y $g'(x)=3x^2$ y luego aplicamos la formula $h'(x)=2(x^3 +2) + (2x + 1)3x^2$, los que nos da un resultado final de $h'(x)=8x^3 + 3x^2 + 4$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;6- &lt;strong&gt;Regla del cociente:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado. Es decir, $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$. Por ejemplo, para obtener la derivada de la función $h(x) = \frac{3x + 1}{2x}$, aplicando la formula obtenemos que $h'(x) = \frac{3 \cdot (2x) - (3x + 1) \cdot 2}{2x^2}$, y simplificando llegamos al resultado final de $h'(x) = -\frac{1}{2x^2}$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;7- &lt;strong&gt;Regla de la cadena:&lt;/strong&gt; La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si $f$ y $g$ son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta $f(g(x))$ en términos de las derivadas de $f$ y $g$. Esta derivada va a ser calculada de acuerdo a la siguiente formula: $f'(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Por ejemplo, si quisiéramos saber la derivada de la función $h(x) = \sin(x^2)$, aplicando la formula obtenemos que $h'(x) = \cos(g(x)) \cdot 2x$, lo que es igual a $h'(x) = 2x \cos(x^2)$.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Derivadas-de-mayor-orden"&gt;Derivadas de mayor orden&lt;a class="anchor-link" href="#Derivadas-de-mayor-orden"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Si tenemos una función $f$, de la cual podemos obtener su derivada $f'$, la cual también es otra función que podemos derivar, entonces podemos obtener la &lt;em&gt;derivada de segundo orden&lt;/em&gt; de $f$, la cual representaremos como $f''$. Es decir, que la derivada de segundo orden de $f$, va a ser igual a la derivada de su derivada. Siguiendo el mismo proceso, podemos seguir subiendo en la jerarquía y obtener por ejemplo, la tercer derivada de $f$. Utilizando la notación de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Leibniz&lt;/a&gt;, expresaríamos a la segunda derivada del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$\frac{d}{dy}\left(\frac{dy}{dx}\right)= \frac{d^2y}{dx^2}$$&lt;h3 id="Calculando-Derivadas-con-Python"&gt;Calculando Derivadas con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Calculando-Derivadas-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos resolver &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; utilizando nuevamente la librería &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;. En este caso, ahora vamos a utilizar el objeto &lt;code&gt;Derivative&lt;/code&gt;. Su sintaxis es la siguiente: &lt;code&gt;Derivative(funcion, variable, orden de derivación)&lt;/code&gt;. Lo utilizamos de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Derivative&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;simplify&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Derivative&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[12]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2 x^{3} + 3 x^{2} \left(2 x + 1\right) + 4$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# simplificando los resultados&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;simplify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[13]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$8 x^{3} + 3 x^{2} + 4$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Derivada de segundo orden con el 3er argumento.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Derivative&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[14]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$6 x \left(4 x + 1\right)$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando derivada de (3x +1) / (2x)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Derivative&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;simplify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[15]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- \frac{1}{2 x^{2}}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# la función diff nos da directamente el resultado&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;simplify&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[16]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- \frac{1}{2 x^{2}}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# con el metodo subs sustituimos el valor de x &lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# para obtener el resultado numérico. Ej x = 1.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[17]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- \frac{1}{2}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver, el método para calcular las &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, es muy similar al que vimos anteriormente al calcular los &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. En el ejemplo, también utilizamos la función &lt;code&gt;simplify&lt;/code&gt;, la cual nos ayuda a simplificar los resultados; y el método &lt;code&gt;subs&lt;/code&gt; para sustituir el valor de $x$ y obtener el resultado numérico.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Ahora que ya conocemos al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt;, es tiempo de pasar hacia la otra rama del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;, y analizar el concepto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integración&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Integrales"&gt;Integrales&lt;a class="anchor-link" href="#Integrales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;La idea de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es el concepto básico del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;. Pero para poder comprender este concepto, primero debemos abordar el &lt;em&gt;problema del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Como bien sabemos, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; es una medida de la extensión de una superficie. Determinar esta medida para superficies con &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta"&gt;líneas rectas&lt;/a&gt;, suele ser bastante fácil. Por ejemplo para un rectángulo, su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; se define como el producto de la longitud y el ancho. O para un triángulo como la mitad de la base por la altura. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de cualquier otro polígono se encuentra al dividirlo en triángulos y luego sumar las áreas de cada uno ellos. Pero para los casos de las regiones con &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Curva"&gt;líneas curvas&lt;/a&gt;, el cálculo del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; ya no suele ser tan fácil. Para estos casos debemos recurrir a un método similar al de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo"&gt;exhaución&lt;/a&gt; que mencionábamos en la introducción del artículo. Es decir,  que vamos a ir dividiendo la región en varios rectángulos de $\Delta x$ de ancho y luego podemos ir calculando el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; como la suma del las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;áreas&lt;/a&gt; de cada uno de estos rectángulos. A medida que vamos agregando más rectángulos, haciendo $\Delta x$ cada vez más pequeño, nos vamos aproximando cada vez más al valor real del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de la superficie curva. Hasta el punto de que, cuando $\Delta x$ tiende a cero, podemos alcanzar el resultado exacto del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de nuestra superficie curva. Es decir, que realizando una suma de infinitamente más angostos rectángulos, podemos determinar el resultado exacto del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de nuestra superficie curva. Este proceso lo podemos ver más claramente en la siguiente figura.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="Proceso de integración" title="Proceso de integración" src="http://relopezbriega.github.io/images/proceso_integración.png" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, al igual que pasaba con el caso de las &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, al querer calcular el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt; de una superficie curva, nos encontramos ante un caso especial de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; (aquí vemos también por qué el concepto de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es tan importante para el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;!). Este tipo de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; surge en una amplia variedad de situaciones, no solo al calcular &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;áreas&lt;/a&gt;, sino que también lo podemos encontrar al calcular la distancia recorrida por un objeto o el volumen de un sólido. Por lo tanto, se le ha dado una notación y un nombre determinado. De esta forma la definición matemática de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; definida, sería la siguiente:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Si $f$ es una función definida por $a \leqslant x \leqslant b$, podemos dividir el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos de $\Delta x(b - a) / n$ de ancho. Dónde $x_0(=a), x_1, x_2, \dots, x_n(=b)$ serán los puntos finales de estos subintervalos y $x_1^*, x_2^*, \dots, x_n^*$, serán puntos intermedios en estos subintervalos, de tal forma que $x_i^*$ se encuentre en el k-simo subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$. Entonces la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; definida de $f$ entre $a$ y $b$, es:&lt;/p&gt;
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x $$&lt;p&gt;El símbolo de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, $\int$, fue introducido por &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Leibniz&lt;/a&gt;, viene a ser una "S" alargada y fue elegido ya que la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es en definitiva un &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límite&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de sumas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal"&gt;infinitesimales&lt;/a&gt;. En esta notación, $a$ y $b$ son los límites de la integración y $dx$ indica que $x$ es la variable independiente. La suma:&lt;/p&gt;
$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x $$&lt;p&gt;que vemos en la definición, es conocida como la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_de_Riemann#Suma_de_Riemann"&gt;suma de Reimann&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, en honor al matemático alemán &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann"&gt;Bernhard Reimann&lt;/a&gt; que la desarrolló.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;img alt="Integral definida" title="Integral definida" src="http://relopezbriega.github.io/images/integracion.png" width="500px" height="400px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Integrales-definidas-e-indefinidas"&gt;Integrales definidas e indefinidas&lt;a class="anchor-link" href="#Integrales-definidas-e-indefinidas"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Una distinción importante que debemos hacer al hablar de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, es la diferencia entre una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral definida&lt;/a&gt; y una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;antiderivada&lt;/a&gt;. Mientras que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral definida&lt;/a&gt;, que representamos con el símbolo, $\int_a^b f(x) dx$,  es un &lt;em&gt;número&lt;/em&gt;, un resultado preciso de la medida de un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt;, distancia o volumen; la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt;, que representamos como, $\int f(x) dx$,  es una &lt;em&gt;función&lt;/em&gt; o familia de funciones. Más adelante, cuando hablemos del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo"&gt;teorema fundamental del cálculo&lt;/a&gt;, veremos por qué esta distinción es tan importante. Pero antes, veamos como podemos hacer para calcular &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Reglas-de-integraci&amp;#243;n"&gt;Reglas de integraci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Reglas-de-integraci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Cómo podemos ver de la definición que dimos de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, estas parecen sumamente complicadas de calcular. Por suerte, al igual que para el caso de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, existen varias reglas que podemos utilizar para poder calcular las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integrales indefinidas&lt;/a&gt;, en forma más sencilla. Algunas de ellas son:&lt;/p&gt;
&lt;table&gt;
&lt;thead&gt;&lt;tr&gt;
&lt;th style="text-align:left"&gt;Funciones comunes&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Función original&lt;/th&gt;
&lt;th style="text-align:center"&gt;Integral indefinida ($C$ es una constante)&lt;/th&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/thead&gt;
&lt;tbody&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Constante&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int a \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$ax + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Variable&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int x \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{x^2}{2} + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Cuadrado&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int x^2 \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{x^3}{3} + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Reciproca&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int \left(\frac{1}{x}\right) \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\ln |x| + C                $&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Exponenciales&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int e^x \ dx      $&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$e^x + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int a^x \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\frac{a^x}{\ln (a)} + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int \ln (x) \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$x \ \ln(x) - x + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;Trigonométricas&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int \sin (x) \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$- \cos (x) + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int \cos (x) \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\sin (x) + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td style="text-align:left"&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\int \sec^2(x) \ dx$&lt;/td&gt;
&lt;td style="text-align:center"&gt;$\tan(x) + C$&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;&lt;p&gt;1- &lt;strong&gt;Regla de la función de grado n:&lt;/strong&gt; Esta regla nos dice que una función de grado n, donde n es un exponente real distinto de -1, se representa por $f(x)=x^{n}$ y su integral es $\int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$. Así por ejemplo, si quisiéramos saber la integral de $f(x) = x^3$, aplicando la regla obtenemos, $\int x^3 \ dx = \frac{x^4}{4} + C$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;2- &lt;strong&gt;Regla de la multiplicación por una constante:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que una función con la forma $f(x) = Cx$, donde $C$ es una constante; entonces la integral de esta función va a ser igual a: $\int Cx \ dx = C\int x \ dx$; es decir a la constante por la integral de $x$. Así por ejemplo si tenemos la función $f(x)=4x^3$, primero debemos a obtener la integral de $x^3$, la cual aplicando la regla anterior sabemos que es $\int x^3 \ dx = \frac{x^4}{4} + C $ y luego a esta integral la multiplicamos por la constante 4, para obtener el resultado final $\int 4 x^3 \ dx = x^4 + C$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;3- &lt;strong&gt;Regla de la suma:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de ellas. Es decir, $\int (f + g) \ dx = \int f \ dx + \int g \ dx$. Así por ejemplo la integral de la función $f(x) = 4x^3 + x^2$ va a ser igual a $\int (4x^3 + x^2) \ dx = x^4 + \frac{x^3}{3} + C$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;4- &lt;strong&gt;Regla de la diferencia:&lt;/strong&gt; Esta regla establece que la integral de la diferencia entre dos funciones es igual a la diferencia entre las integrales de cada una de ellas. Es decir, $\int (f - g) \ dx = \int f \ dx - \int g \ dx$. Así por ejemplo la integral de la función $f(x) = 4x^3 - x^2$ va a ser igual a $\int (4x^3 - x^2) \ dx = x^4 - \frac{x^3}{3} + C$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En todos estos ejemplos, podemos ver la aparición de una misteriosa constante $C$, esta es la que se conoce como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3n"&gt;constante de integración&lt;/a&gt;. Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de las integrales. Es por esta ambigüedad que cuando hablamos de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt; decimos que expresa una familia de funciones $f(x) + C$.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Teorema-fundamental-del-C&amp;#225;lculo"&gt;Teorema fundamental del C&amp;#225;lculo&lt;a class="anchor-link" href="#Teorema-fundamental-del-C&amp;#225;lculo"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo"&gt;teorema fundamental del cálculo&lt;/a&gt; establece una conexión entre las dos ramas del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;: el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt; y el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt;. Como ya hemos visto, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial"&gt;Cálculo diferencial&lt;/a&gt; surgió del problema de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente"&gt;tangente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; , mientras que el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Cálculo integral&lt;/a&gt; surgió de un problema aparentemente sin relación con este, el problema del  &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;área&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Fue &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow"&gt;Isaac Barrow&lt;/a&gt;, quien descubrió que estos dos problemas están en realidad estrechamente relacionados.
De hecho, se dio cuenta de que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivación&lt;/a&gt; y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integración&lt;/a&gt; son procesos inversos. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo"&gt;teorema fundamental del cálculo&lt;/a&gt; nos da la relación inversa precisa entre la   &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Fueron &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton"&gt;Newton&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz"&gt;Leibniz&lt;/a&gt; quienes aprovecharon esta relación y la utilizaron para
desarrollar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;. En particular, vieron que esta relación les permitía calcular &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea"&gt;áreas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; e  &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con mucha facilidad y sin tener que calcularlas como límites de sumas. Es decir, que si tomamos una función $f$, y obtenemos primero su &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, y luego calculamos la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; sobre esta función &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivada&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $f'(x)$. Obtenemos nuevamente función original $f$. Lo que una hace, la otra lo deshace. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo"&gt;teorema fundamental del cálculo&lt;/a&gt; es sin duda el teorema más importante en el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt; y, de hecho, se ubica como uno de los grandes logros de la mente humana. Matemáticamente, este teorema se suele dividir en dos partes y nos dice lo siguiente:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Teorema fundamental del Calculo, parte 1.&lt;/strong&gt; si $f$ es una función continua en el intervalo $[a, b]$, entonces la función $g$ definida como:&lt;/p&gt;
$$g(x) = \int_a^x f(t) dt \qquad a \leqslant x \leqslant b $$&lt;p&gt;es continua en el intervalo $[a, b]$ y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;diferenciable&lt;/a&gt; en $(a, b)$, y $g'(x) = f(x)$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Teorema fundamental del Calculo, parte 2.&lt;/strong&gt; si $f$ es una función continua en el intervalo $[a, b]$, entonces:&lt;/p&gt;
$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$&lt;p&gt;en donde $F$ es la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;antiderivada&lt;/a&gt; de $f$, o sea, una función tal que F' = f.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En definitiva, lo que nos dice la primera parte es que las operaciones de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;derivación&lt;/a&gt; y de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integración&lt;/a&gt; son operaciones inversas. La segunda parte nos proporciona un método para calcular &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integrales definidas&lt;/a&gt;, en base a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;antiderivada&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Así, por ejemplo, si quisiéramos calcular la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integral&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$\int_0^3 (x^3 - 6x) dx$$&lt;p&gt;primero obtenemos su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
$$\int (x^3 - 6x) dx = \frac{x^4}{4} - 6\frac{x^2}{2}$$&lt;p&gt;y por último aplicamos la segunda parte del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo"&gt;teorema fundamental del cálculo&lt;/a&gt; para obtener la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integral definida&lt;/a&gt; en $[0, 3]$, reemplazando estos valores en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida"&gt;integral indefinida&lt;/a&gt; que acabamos de obtener.&lt;/p&gt;
$$\int_0^3 (x^3 - 6x) dx = \left(\frac{1}{4} \cdot 3^4 - 3 \cdot 3^2 \right) - \left(\frac{1}{4} \cdot 0^4 - 3 \cdot 0^2 \right) = -\frac{27}{4}$$&lt;h3 id="Calculando-Integrales-con-Python"&gt;Calculando Integrales con Python&lt;a class="anchor-link" href="#Calculando-Integrales-con-Python"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos resolver &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con la ayuda de la, en este punto ya invaluable, librería &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;. En este caso, vamos a utilizar el objeto &lt;code&gt;Integral&lt;/code&gt;. Su sintaxis es la siguiente: &lt;code&gt;Integral(funcion, variable)&lt;/code&gt;. Lo utilizamos de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Integral&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;**&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Integral&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;dx&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[18]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{2}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[19]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# la función integrate nos da el mismo resultado&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[19]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\frac{x^{4}}{4} - 3 x^{2}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;El objeto &lt;code&gt;Integral&lt;/code&gt; también nos permite calcular &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;integrales definidas&lt;/a&gt;. En este caso, en el segundo argumento le pasamos una tupla cuyo primer elemento es la variable de integración, su segundo elemento es el límite inferior de integración y el último es el límite superior.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[20]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando integral definida para [0, 3]&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Integral&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;doit&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[20]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$- \frac{27}{4}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[21]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobando Teorema fundamental del calculo.&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# Integración y diferenciacion son operaciones inversas.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[21]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$x^{3} - 6 x$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[22]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;integrate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diff&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fx&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[22]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$x^{3} - 6 x$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver, el método para calcular las &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, es muy similar a lo que ya veníamos utilizando al calcular &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico"&gt;Límites&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada"&gt;Derivadas&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Para calcular &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n"&gt;Integrales&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; en forma numérica, también podemos recurrir al módulo &lt;em&gt;&lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/integrate.html"&gt;scipy.integrate&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, el cual es muy útil para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial"&gt;ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;, pero eso ya va a quedar para otro artículo.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Con esto concluyo esta introducción por el fascinante mundo del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"&gt;Cálculo&lt;/a&gt;, espero lo hayan disfrutado tanto como yo!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando Jupyter notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyCalculus.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyCalculus.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
 

&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="matematica"></category><category term="calculo"></category><category term="derivada"></category><category term="integral"></category><category term="limite"></category></entry></feed>