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<feed xmlns="http://www.w3.org/2005/Atom"><title>Raul E. Lopez Briega</title><link href="http://relopezbriega.github.io/" rel="alternate"></link><link href="/feeds/algebra.atom.xml" rel="self"></link><id>http://relopezbriega.github.io/</id><updated>2016-09-13T00:00:00-03:00</updated><entry><title>Factorización de Matrices con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/09/13/factorizacion-de-matrices-con-python/" rel="alternate"></link><published>2016-09-13T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2016-09-13:blog/2016/09/13/factorizacion-de-matrices-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img title="Factorización de Matrices con Python" alt="Factorización de Matrices con Python" src="http://relopezbriega.github.io/images/matrix_factorization.png" high="400px" width="600px"&gt;&lt;/p&gt;

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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Cuando trabajamos en problemas de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/machine-learning.html"&gt;Machine Learning&lt;/a&gt;, muchas veces nos vamos a encontrar con enormes &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_datos"&gt;conjuntos de datos&lt;/a&gt;, con cientos o miles de características o &lt;em&gt;features&lt;/em&gt;. Una forma simple de reducir las dimensiones de estas características es aplicar alguna técnica de &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;. La &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; tiene enormes aplicaciones en todo tipo de problemas relacionados a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Inteligencia_artificial"&gt;inteligencia artificial&lt;/a&gt;, ya que la &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionality_reduction"&gt;reducción de dimensionalidad&lt;/a&gt; es la esencia de la &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cognici%C3%B3n"&gt;cognición&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Asimismo, la &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; es también un tema unificador dentro del &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;álgebra lineal numérica&lt;/a&gt;. Una amplia variedad de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo"&gt;algoritmos&lt;/a&gt; se han desarrollado a lo largo de muchas décadas, proporcionando una plataforma numérica para operaciones de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; tales como, la resolución de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones lineales&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_descomposici%C3%B3n_espectral"&gt;descomposición espectral&lt;/a&gt;, y la identificación de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial"&gt;subespacios vectoriales&lt;/a&gt;. Algunos de estos algoritmos también han demostrado ser de utilidad en problemas de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/estadistica.html"&gt;análisis estadístico de datos&lt;/a&gt;, como es el caso de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_en_valores_singulares"&gt;descomposición en valores singulares&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_en_valores_singulares"&gt;SVD&lt;/a&gt;, por sus siglas en inglés, que es la base del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_componentes_principales"&gt;análisis de componentes principales&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_componentes_principales"&gt;PCA&lt;/a&gt;, que es una técnica muy utilizada para reducir el tamaño de los datos. Muchas investigaciones actuales en &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/machine-learning.html"&gt;Machine Learning&lt;/a&gt; han centrados sus esfuerzos en el uso de la &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; para mejorar el rendimiento de los sistemas de aprendizaje. Principalmente en el estudio de la &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Non-negative_matrix_factorization"&gt;factorización de matrices no negativas (NMF)&lt;/a&gt;, la cual se centra en el análisis de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices de datos&lt;/a&gt; cuyos elementos son positivos (no negativos), una ocurrencia muy común en los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_datos"&gt;conjuntos de datos&lt;/a&gt; derivados de textos e imágenes.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-la-factorizaci&amp;#243;n-de-matrices?"&gt;&amp;#191;Qu&amp;#233; es la factorizaci&amp;#243;n de matrices?&lt;a class="anchor-link" href="#&amp;#191;Qu&amp;#233;-es-la-factorizaci&amp;#243;n-de-matrices?"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;En &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas"&gt;matemáticas&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n"&gt;factorización&lt;/a&gt; es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;, un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial"&gt;tensor&lt;/a&gt;, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de &lt;em&gt;factores&lt;/em&gt;. Así por ejemplo, el número 6 se puede descomponer en el producto de 3 y 2. Si extendemos este concepto al mundo de las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt;, entonces podemos decir que la &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; consiste en encontrar dos o más &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; de manera tal que cuando se multipliquen nos devuelvan la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; original. Por ejemplo:&lt;/p&gt;
$$\left(\begin{matrix}3 &amp; 4 &amp; 5\\6 &amp; 8 &amp; 10 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}1\\2 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}3 &amp; 4 &amp; 5 \end{matrix}\right)
$$&lt;p&gt;Los métodos de &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; han ganado popularidad últimamente al haber sido aplicados con éxito en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_recomendaci%C3%B3n"&gt;sistemas de recomendación&lt;/a&gt; para descubrir las características latentes que subyacen a las interacciones entre dos tipos de entidades, como por ejemplo usuarios y películas. El algoritmo que ganó el &lt;a href="http://netflixprize.com/"&gt;desafío de Netflix&lt;/a&gt; fue un sistema basado en métodos de &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Factorizaci&amp;#243;n-de-matrices-en-sistemas-de-ecuaciones-lineales"&gt;Factorizaci&amp;#243;n de matrices en sistemas de ecuaciones lineales&lt;a class="anchor-link" href="#Factorizaci&amp;#243;n-de-matrices-en-sistemas-de-ecuaciones-lineales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Dos de las &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; más utilizadas y que tal vez mucha gente las haya escuchado nombrar alguna vez son la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU"&gt;factorización LU&lt;/a&gt; y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_QR"&gt;factorización QR&lt;/a&gt;; las cuales se utilizan a menudo para resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones lineales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Factorizaci&amp;#243;n-LU"&gt;Factorizaci&amp;#243;n LU&lt;a class="anchor-link" href="#Factorizaci&amp;#243;n-LU"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;$$A = LU$$&lt;p&gt;En &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;álgebra lineal&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU"&gt;factorización o descomposición LU&lt;/a&gt; (del inglés Lower-Upper) es una forma de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n"&gt;factorización&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; como el producto de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangular"&gt;matriz triangular&lt;/a&gt; inferior y una superior. La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU"&gt;factorización LU&lt;/a&gt; expresa el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Gauss"&gt;método de Gauss&lt;/a&gt; en forma matricial. Así por ejemplo, tenemos que $PA = LU$ donde $P$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_permutaci%C3%B3n"&gt;matriz de permutación&lt;/a&gt;. Una condición suficiente para que exista la factorización es que la matriz $A$ sea una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_no_singular"&gt;matriz no singular&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; podemos encontrar la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU"&gt;descomposición LU&lt;/a&gt; con la ayuda de &lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.lu_factor.html"&gt;SciPy&lt;/a&gt; de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# importando modulos necesarios&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt; 
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy.sparse&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sp&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy.linalg&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;la&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;nimfa&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sklearn.decomposition&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;NMF&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;PCA&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sklearn.preprocessing&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;StandardScaler&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;seaborn&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sns&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;pandas&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;pd&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# graficos incrustados&lt;/span&gt;
&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline

&lt;span class="c1"&gt;# parámetros de estilo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;style&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;darkgrid&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;palette&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;muted&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_option&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;display.mpl_style&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;default&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_option&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;display.notebook_repr_html&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="bp"&gt;True&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rcParams&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;figure.figsize&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo factorización LU&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;P&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;L&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;la&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lu&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz A&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[3]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 7,  3, -1,  2],
       [ 3,  8,  1, -4],
       [-1,  1,  4, -1],
       [ 2, -4, -1,  6]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz de permutación&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;P&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[4]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  1.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz triangular inferior&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[5]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.42857143,  1.        ,  0.        ,  0.        ],
       [-0.14285714,  0.21276596,  1.        ,  0.        ],
       [ 0.28571429, -0.72340426,  0.08982036,  1.        ]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz triangular superior&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[6]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 7.        ,  3.        , -1.        ,  2.        ],
       [ 0.        ,  6.71428571,  1.42857143, -4.85714286],
       [ 0.        ,  0.        ,  3.55319149,  0.31914894],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.88622754]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# A = LU&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;L&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; 
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[7]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 7.,  3., -1.,  2.],
       [ 3.,  8.,  1., -4.],
       [-1.,  1.,  4., -1.],
       [ 2., -4., -1.,  6.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Factorizaci&amp;#243;n-QR"&gt;Factorizaci&amp;#243;n QR&lt;a class="anchor-link" href="#Factorizaci&amp;#243;n-QR"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;$$A = QR$$&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_QR"&gt;descomposición o factorización QR&lt;/a&gt; consiste en la descomposición de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; como producto de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_ortogonal"&gt;matriz ortogonal&lt;/a&gt; ($Q^T \cdot Q = I$) por una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangular"&gt;matriz triangular superior&lt;/a&gt;. la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_QR"&gt;factorización QR&lt;/a&gt; es ampliamente utilizada en las finanzas cuantitativas como base para la solución del problema de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados_ordinarios"&gt;mínimos cuadrados lineales&lt;/a&gt;, que a su vez se utiliza para el análisis de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal"&gt;regresión estadística&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; podemos encontrar la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LU"&gt;descomposición QR&lt;/a&gt; con la ayuda de &lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.lu_factor.html"&gt;SciPy&lt;/a&gt; de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo factorización QR&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;12&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;51&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;167&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;68&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;24&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;41&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;  
&lt;span class="n"&gt;Q&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;la&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;qr&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz A&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[9]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 12, -51,   4],
       [  6, 167, -68],
       [ -4,  24, -41]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz ortogonal Q&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Q&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[-0.85714286,  0.39428571,  0.33142857],
       [-0.42857143, -0.90285714, -0.03428571],
       [ 0.28571429, -0.17142857,  0.94285714]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz triangular superior R&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[11]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ -14.,  -21.,   14.],
       [   0., -175.,   70.],
       [   0.,    0.,  -35.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# A = QR&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Q&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[12]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[  12.,  -51.,    4.],
       [   6.,  167.,  -68.],
       [  -4.,   24.,  -41.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Matrices-dispersas-y-no-negativas"&gt;Matrices dispersas y no negativas&lt;a class="anchor-link" href="#Matrices-dispersas-y-no-negativas"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;En muchas ocasiones cuando trabajamos con &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; para representar el mundo físico, nos vamos a encontrar con que muchas de estas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; están dominadas por mayoría de elementos que son cero. Este tipo de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; son llamadas &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;matrices dispersas&lt;/a&gt;, es decir, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; de gran tamaño en que la mayor parte de sus elementos son cero. Como sería ineficiente almacenar en la memoria de la computadora todos los elementos en cero, en las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;matrices dispersas&lt;/a&gt; solo vamos a almacenar los valores que no son cero y alguna información adicional acerca de su ubicación.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Asimismo muchos datos del mundo real son no negativos y los componentes ocultos correspondientes tienen un sentido físico solamente cuando son no negativos. En la práctica, ambas características, ser dispersas y no negativas son a menudo deseable o necesario cuando los componentes subyacentes tienen una interpretación física. Por ejemplo, en el &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Image_processing"&gt;procesamiento de imágenes&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Visi%C3%B3n_artificial"&gt;visión artificial&lt;/a&gt;, las variables involucradas y los parámetros pueden corresponder a píxeles, y la &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Non-negative_matrix_factorization"&gt;factorización de matrices dispersas y no negativas&lt;/a&gt; está relacionada con la extracción de las partes más relevantes de las imágenes. La representación &lt;em&gt;dispersa&lt;/em&gt; de los datos por un número limitado de componentes
es un problema importante en la investigación. En &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/machine-learning.html"&gt;Machine Learning&lt;/a&gt;, las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;matrices dispersas&lt;/a&gt; está estrechamente relacionada con la &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/04/15/ejemplo-de-machine-learning-con-python-seleccion-de-atributos/"&gt;selección de atributos&lt;/a&gt; y ciertas generalizaciones en algoritmos de aprendizaje; mientras que la &lt;em&gt;no negatividad&lt;/em&gt; se relaciona a las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/06/29/distribuciones-de-probabilidad-con-python/"&gt;distribuciones de probabilidad&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podemos representar a las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;matrices dispersas&lt;/a&gt; con la ayuda de &lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/sparse.html"&gt;scipy.sparse&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo matriz dispersa con scipy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sp&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diags&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;10&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;10&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;format&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;csc&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[13]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;&amp;lt;10x10 sparse matrix of type &amp;#39;&amp;lt;class &amp;#39;numpy.float64&amp;#39;&amp;gt;&amp;#39;
	with 28 stored elements in Compressed Sparse Column format&amp;gt;&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;data&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[14]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([-2.,  1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,
        1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,  1.,  1., -2.,  1.,
        1., -2.])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;indices&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[15]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 7, 8,
       7, 8, 9, 8, 9], dtype=int32)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;indptr&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[16]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 0,  2,  5,  8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 28], dtype=int32)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;todense&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[17]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;matrix([[-2.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 1., -2.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -2.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  1., -2.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  1., -2.,  1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  1., -2.,  1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1., -2.,  1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1., -2.,  1.,  0.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1., -2.,  1.],
        [ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1., -2.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="La-descomposici&amp;#243;n-en-valores-singulares-(SVD)-y-el-an&amp;#225;lisis-de-componentes-principales-(PCA)"&gt;La descomposici&amp;#243;n en valores singulares (SVD) y el an&amp;#225;lisis de componentes principales (PCA)&lt;a class="anchor-link" href="#La-descomposici&amp;#243;n-en-valores-singulares-(SVD)-y-el-an&amp;#225;lisis-de-componentes-principales-(PCA)"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_en_valores_singulares"&gt;SVD&lt;/a&gt; y el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_componentes_principales"&gt;PCA&lt;/a&gt; son herramientas ampliamente utilizadas, por ejemplo, en el análisis de imágenes médicas para la &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionality_reduction"&gt;reducción de dimensionalidad&lt;/a&gt;, la construcción de modelos, y la comprensión y exploración de datos. Tienen aplicaciones en prácticamente todas las áreas de la ciencia, &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/machine-learning.html"&gt;machine learning&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Image_processing"&gt;procesamiento de imágenes&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa"&gt;ingeniería&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Gen%C3%A9tica"&gt;genética&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cognitive_computing"&gt;computación cognitiva&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica"&gt;química&lt;/a&gt;, &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Meteorolog%C3%ADa"&gt;meteorología&lt;/a&gt;, y &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/redes-neuronales.html"&gt;redes neuronales&lt;/a&gt;, sólo por nombrar algunas; en dónde nos encontramos con grandes &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_datos"&gt;conjuntos de datos&lt;/a&gt;. El propósito del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_componentes_principales"&gt;análisis de componentes principales PCA&lt;/a&gt; es derivar un número relativamente pequeño de combinaciones lineales no correlacionadas (componentes principales) de una conjunto de variables aleatorias de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica"&gt;media&lt;/a&gt; cero mientras que conserva la mayor cantidad de información de las variables originales como sea posible. Entre los objetivos del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_componentes_principales"&gt;PCA&lt;/a&gt; podemos encontrar los siguientes:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;&lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionality_reduction"&gt;Reducción de dimensionalidad&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;Determinación de combinaciones lineales de variables.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;Selección de características o &lt;em&gt;features&lt;/em&gt;: la elección de las variables más útiles.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;Visualización de datos multidimensionales.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;Identificación de las variables subyacentes.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;Identificación grupos de objetos o de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_at%C3%ADpico"&gt;valores atípicos&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Veamos algunos ejemplos con &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo SVD con scipy.linalg.svd&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# Matriz A a factorizar&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[18]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[2, 4],
       [1, 3],
       [0, 0],
       [0, 0]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[19]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Factorización con svd&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# svd factoriza la matriz A  en dos matrices unitarias U y Vh, y una &lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# matriz s de valores singulares (reales, no negativo) de tal manera que&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# A == U * S * Vh, donde S es una matriz con s como principal diagonal y ceros&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Vh&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;la&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;svd&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Vh&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[19]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;((4, 4), (2, 2), (2,))&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[20]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz unitaria&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[20]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[-0.81741556, -0.57604844,  0.        ,  0.        ],
       [-0.57604844,  0.81741556,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  1.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  1.        ]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[21]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Valores singulares&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[21]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 5.4649857 ,  0.36596619])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[22]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz unitaria&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Vh&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[22]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[-0.40455358, -0.9145143 ],
       [-0.9145143 ,  0.40455358]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[23]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Generando S&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;la&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diagsvd&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[23]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 5.4649857 ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.36596619],
       [ 0.        ,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[24]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Reconstruyendo la Matriz A.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;S&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Vh&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[24]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 2.,  4.],
       [ 1.,  3.],
       [ 0.,  0.],
       [ 0.,  0.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Ejemplo-de-SVD-y-PCA-con-el-dataset-Iris"&gt;Ejemplo de SVD y PCA con el dataset Iris&lt;a class="anchor-link" href="#Ejemplo-de-SVD-y-PCA-con-el-dataset-Iris"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;&lt;img title="Iris dataset" alt="Iris dataset" src="http://relopezbriega.github.io/images/iris.png" high="400px" width="600px"&gt;&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_datos"&gt;dataset&lt;/a&gt; iris contiene mediciones de 150 flores de iris de tres especies diferentes.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Las tres clases en el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_datos"&gt;dataset&lt;/a&gt; son:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;setosa (n = 50).&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;versicolor (n = 50).&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;virginica (n = 50).&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Las cuales están representadas por cuatro características:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;longitud en cm del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9palo"&gt;sépalo&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;ancho en cm del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9palo"&gt;sépalo&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;longitud en cm del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9talo"&gt;pétalo&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;ancho en cm del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9talo"&gt;pétalo&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[25]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo svd con iris dataset&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;load_dataset&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;iris&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="nb"&gt;print&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
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        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Aplicando svd&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;Vh&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sp&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;svds&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;mean&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;())&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;iloc&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,:&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

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&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Creando los componentes principales&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;pc&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;diag&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;s&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;pc&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;pc&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,::&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# graficando el dataset reducido a 2 componenetes&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;iris_svd&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;concat&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;pd&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;DataFrame&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;pc&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;index&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;index&lt;/span&gt;
                        &lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;columns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;c0&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;c1&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;loc&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;species&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]),&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;g&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sns&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lmplot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;c0&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;c1&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;iris_svd&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;hue&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;species&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fit_reg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="kc"&gt;False&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;size&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;scatter_kws&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;{&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;alpha&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;s&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;60&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;})&lt;/span&gt;
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&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[28]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo de PCA con Scikit-Learn e Iris dataset&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Divido el dataset en datos y clases&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;X&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;values&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;iris&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;values&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Estandarizo los datos&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;X_std&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;StandardScaler&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fit_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;X&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;pca&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;PCA&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;n_components&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;Y_pca&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;pca&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fit_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;X_std&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Visualizo el resultado&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;lab&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;col&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="nb"&gt;zip&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;setosa&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;versicolor&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;virginica&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt;
                        &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;blue&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;red&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;green&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)):&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;scatter&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Y_pca&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;==&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lab&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                    &lt;span class="n"&gt;Y_pca&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;==&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lab&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                    &lt;span class="n"&gt;label&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lab&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                    &lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;col&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;xlabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;Componente 1&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ylabel&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;Componente 2&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;legend&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;loc&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;lower center&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;tight_layout&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;title&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;Ejemplo PCA&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;show&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
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&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
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&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Factorizaci&amp;#243;n-de-matrices-en-sistemas-de-recomendaci&amp;#243;n"&gt;Factorizaci&amp;#243;n de matrices en sistemas de recomendaci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Factorizaci&amp;#243;n-de-matrices-en-sistemas-de-recomendaci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;En un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_recomendaci%C3%B3n"&gt;sistemas de recomendación&lt;/a&gt; como &lt;a href="http://www.netflix.com/"&gt;Netflix&lt;/a&gt; o &lt;a href="https://movielens.org/"&gt;MovieLens&lt;/a&gt;, hay un grupo de usuarios y un conjunto de elementos (películas en los dos sistemas anteriores). Teniendo en cuenta que cada usuario ha valorado algunos elementos en el sistema, nos gustaría predecir cómo los usuarios calificarían los artículos que aún no se han valorado, de tal manera que podemos hacer recomendaciones a los usuarios. En este caso, toda la información que tenemos sobre las calificaciones existentes pueden ser representados en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;. Supongamos ahora que tenemos 5 usuarios y 4 películas y las calificaciones son números enteros de 1 a 5, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; resultante puede ser algo como la siguiente (el guión significa que el usuario aún no ha calificado la película):&lt;/p&gt;
&lt;table&gt;
&lt;tbody&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;P1&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;P2&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;P3&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;P4&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;U1&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;5&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;3&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;U2&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;4&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;U3&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;5&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;U4&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;4&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;tr&gt;
&lt;td&gt;&lt;strong&gt;U5&lt;/strong&gt;&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;-&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;1&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;5&lt;/td&gt;
&lt;td&gt;4&lt;/td&gt;
&lt;/tr&gt;
&lt;/tbody&gt;
&lt;/table&gt;&lt;p&gt;Por lo tanto, la tarea de predecir las calificaciones que faltan se puede considerar como un problema de llenar los espacios en blanco (los guiones en la matriz) de tal manera que los valores resultantes serían consistentes con las calificaciones existentes en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La intuición detrás de usar &lt;strong&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt; para resolver este problema es que deberían existir algunas características latentes que determinen cómo un usuario califica una película. Por ejemplo, dos usuarios darían una alta calificación a una cierta película si a ambos les gusta los actores / actrices de la película, o si la película es una película de acción, que es un género preferido por ambos usuarios. Por lo tanto, si podemos descubrir estas características latentes, deberíamos ser capaces de predecir una calificación con respecto a un determinado usuario y una cierta película, porque las características asociadas con el usuario deben coincidir con las características asociadas con la película.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Al tratar de descubrir las diferentes características latentes, estamos suponiendo implícitamente que el número de características va a ser menor que el número de usuarios y el número de elementos. No debería ser difícil de entender este supuesto ya que no sería razonable que cada usuario está asociado con una característica única (aunque esto no es imposible). Y de todos modos, si este es el caso, no tendría sentido hacer recomendaciones, porque ninguno de estos usuarios estarían interesados en los artículos calificados por otros usuarios.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Si llevamos este ejemplo sencillo a &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, podríamos modelarlo utilizando &lt;a href="http://scikit-learn.org/stable/"&gt;Scikit-learn&lt;/a&gt; &lt;a href="http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.decomposition.NMF.html"&gt;NMF&lt;/a&gt; o &lt;a href="http://nimfa.biolab.si/nimfa.methods.factorization.snmf.html"&gt;Nimfa&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[29]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo en python&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# Matriz de ratings de los usuarios&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
             &lt;span class="p"&gt;,[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[30]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Armado del modelo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;modelo&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;NMF&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;n_components&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;init&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;random&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;random_state&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1982&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; 
            &lt;span class="n"&gt;alpha&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.0002&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.02&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;max_iter&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5000&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;modelo&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;fit_transform&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; 
&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;modelo&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;components_&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[31]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Reconstrucción de la matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[31]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 5.25534386,  1.99295604,  0.        ,  1.45508737],
       [ 3.50398031,  1.32879578,  0.        ,  0.97017391],
       [ 1.31288534,  0.94413861,  1.9495384 ,  3.94596646],
       [ 0.98125417,  0.7217855 ,  1.52757221,  3.07874315],
       [ 0.        ,  0.65011225,  2.84008987,  5.21892884]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[32]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Error del modelo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;modelo&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;reconstruction_err_&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[32]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;4.276529876124528&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[33]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo utilizando nimfa&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;snmf&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;nimfa&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Snmf&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;R&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;seed&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;random_vcol&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;rank&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;max_iter&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;30&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;version&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;r&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;eta&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                      &lt;span class="n"&gt;beta&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1e-4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;i_conv&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;10&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;w_min_change&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[34]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Armando el modelo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;fit&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;snmf&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fit&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;basis&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;fit&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;coef&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[35]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Reconstruyendo la matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;around&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;U&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;@&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;V&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;decimals&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[35]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 5.18,  1.96,  0.  ,  1.44],
       [ 3.45,  1.31,  0.  ,  0.96],
       [ 1.32,  0.93,  1.91,  3.87],
       [ 0.98,  0.71,  1.5 ,  3.02],
       [ 0.  ,  0.63,  2.79,  5.11]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Librer&amp;#237;as-de-Python-para-factorizaci&amp;#243;n-de-matrices"&gt;Librer&amp;#237;as de Python para factorizaci&amp;#243;n de matrices&lt;a class="anchor-link" href="#Librer&amp;#237;as-de-Python-para-factorizaci&amp;#243;n-de-matrices"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Para concluir, podemos enumerar algunas de las librerías de &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; que nos pueden ser de mucha utilidad a la hora de trabajar con &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;Factorización de matrices&lt;/a&gt;, como ser:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;NumPy&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: El popular paquete matemático de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, nos va a permitir crear &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial"&gt;tensores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;; y poder manipularlos y realizar operaciones sobre ellos con mucha facilidad.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/index.html"&gt;SciPy&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: El paquete que agrupa un gran número de herramientas científicas en &lt;a href="https://www.python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;. Nos va a permitir crear &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;matrices dispersas&lt;/a&gt; y realizar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n"&gt;factorizaciones&lt;/a&gt;  con facilidad.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://scikit-learn.org/stable/"&gt;Scikit-learn&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Es una librería especializada en algoritmos para &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Miner%C3%ADa_de_datos"&gt;data mining&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Machine_learning"&gt;machine learning&lt;/a&gt;. Principalmente el submódulo de &lt;a href='http://scikit-learn.org/stable/modules/decomposition.html#decompositions' target='_blank'&gt;Descomposiciones&lt;/a&gt; en dónde vamos a encontrar las herramientas para &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensionality_reduction"&gt;reducciones de dimensionalidad&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Esta librería nos permite trabajar con matemática simbólica, convierte a &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; en un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_algebraico_computacional"&gt;sistema algebraico computacional&lt;/a&gt;. Nos va a permitir trabajar con las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n"&gt;factorizaciones&lt;/a&gt; en forma analítica.&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://nimfa.biolab.si/"&gt;Nimfa&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: &lt;a href="http://nimfa.biolab.si/"&gt;Nimfa&lt;/a&gt; es una librería para &lt;a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Non-negative_matrix_factorization"&gt;factorización de matrices no negativas&lt;/a&gt;. Incluye las implementaciones de varios métodos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n"&gt;factorización&lt;/a&gt;, enfoques de inicialización y calificación de calidad. Soporta representaciones tanto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices densas&lt;/a&gt; como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_dispersa"&gt;dispersas&lt;/a&gt;. Se distribuye bajo &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Licencia_BSD"&gt;licencia BSD&lt;/a&gt;.&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;Con esto termina este artículo, espero les haya parecido interesante y les sea de utilidad en sus proyectos.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando IPython notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/MatrixFact.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/MatrixFact.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
 

&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="programacion"></category><category term="algebra"></category><category term="Machine Learning"></category><category term="Redes Neuronales"></category><category term="matrices"></category><category term="recomendaciones"></category><category term="matematica"></category></entry><entry><title>Más Álgebra lineal con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2016/02/10/mas-algebra-lineal-con-python/" rel="alternate"></link><published>2016-02-10T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2016-02-10:blog/2016/02/10/mas-algebra-lineal-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
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&lt;/div&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img alt="Algebra lineal" title="Algebra lineal" src="http://relopezbriega.github.io/images/lin-alg.jpg"&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; constituye la base de gran parte de las matemáticas modernas, ya sea en su fase teórica, aplicada, o computacional. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como ser: el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional"&gt;análisis funcional&lt;/a&gt;, las &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/ecuaciones-diferenciales.html"&gt;ecuaciones diferenciales&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones"&gt;investigación operativa&lt;/a&gt;, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Econometr%C3%ADa"&gt;econometría&lt;/a&gt; y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa"&gt;ingeniería&lt;/a&gt;. Es por esto, que se vuelve sumamente importante conocer sus métodos en profundidad.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La idea de este artículo, es profundizar alguno de los temas que ya vimos en mi artículo anterior (&lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/06/14/algebra-lineal-con-python/"&gt;Álgebra lineal con Python&lt;/a&gt;), presentar algunos nuevos, e ilustrar la utilidad de esta rama de la matemáticas con alguna de sus aplicaciones.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Campos"&gt;Campos&lt;a class="anchor-link" href="#Campos"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Campo&lt;/a&gt;, $F$, es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraica"&gt;estructura algebraica&lt;/a&gt; en la cual las operaciones de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt; y &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt; se pueden realizar y cumplen con las siguientes propiedades:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad"&gt;propiedad conmutativa&lt;/a&gt; tanto para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt; como para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt;; es decir: $a + b = b + a$; y $a \cdot b = b \cdot a$; para todo $a, b \in F$&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)"&gt;propiedad asociativa&lt;/a&gt;, tanto para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt; como para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt;; es decir: $(a + b) + c = a + (b + c)$; y $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$; para todo $a, b, c \in F$&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Distributividad"&gt;propiedad distributiva&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt; sobre la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt;; es decir: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$; para todo $a, b, c \in F$&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La existencia de un &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro"&gt;elemento neutro&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; tanto para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt; como para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt;; es decir: $a + 0 = a$; y $a \cdot 1 = a$; para todo $a \in F$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;La existencia de un &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_sim%C3%A9trico"&gt;elemento inverso&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; tanto para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt; como para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt;; es decir: $a + (-a) = 0$; y $a \cdot a^{-1} = 1$; para todo $a \in F$ y $a \ne 0$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Dos de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Campos&lt;/a&gt; más comunes con los que nos vamos a encontrar al trabajar en problemas de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;, van a ser el &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real"&gt;números reales&lt;/a&gt;, $\mathbb{R}$; y el &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; de los &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/12/numeros-complejos-con-python/"&gt;números complejos&lt;/a&gt;, $\mathbb{C}$.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Vectores"&gt;Vectores&lt;a class="anchor-link" href="#Vectores"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Muchas nociones físicas, tales como las fuerzas, velocidades y aceleraciones, involucran una magnitud (el valor de la fuerza, velocidad o aceleración) y una dirección. Cualquier entidad que involucre magnitud y dirección se llama &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;. Los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; se representan por flechas en las que la longitud de ellas define la magnitud; y la dirección de la flecha representa la dirección del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;. Podemos pensar en los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; como una serie de números. Éstos números tienen una orden preestablecido, y podemos identificar cada número individual por su índice en ese orden. Los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; identifican puntos en el espacio, en donde cada elemento representa una coordenada del eje en el espacio. La típica forma de representarlos es la siguiente:&lt;/p&gt;
$$v = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]$$&lt;p&gt;Geométricamente podemos representarlos del siguiente modo en el plano de 2 dimensiones:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# importando modulos necesarios&lt;/span&gt;
&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline

&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy.sparse&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sp&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy.sparse.linalg&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;scipy.linalg&lt;/span&gt; &lt;span class="kn"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;la&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;sympy&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# imprimir con notación matemática.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;init_printing&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;use_latex&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;mathjax&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# graficando vector en R^2 [2, 4]&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;():&lt;/span&gt;
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Crea la figura de pyplot y los ejes. Mueve las lineas de la izquierda &lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    y de abajo para que se intersecten con el origen. Elimina las lineas de&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    la derecha y la de arriba. Devuelve los ejes.&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;fix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;left&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;bottom&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_position&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;zero&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;right&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;top&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;none&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;vector&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;):&lt;/span&gt; 
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Genera el grafico de los vectores en el plano&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vector&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;annotate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot; &amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xytext&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                &lt;span class="n"&gt;arrowprops&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="nb"&gt;dict&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;facecolor&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                &lt;span class="n"&gt;shrink&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                &lt;span class="n"&gt;alpha&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                &lt;span class="n"&gt;width&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;text&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Combinaciones-lineales"&gt;Combinaciones lineales&lt;a class="anchor-link" href="#Combinaciones-lineales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Cuando trabajamos con &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;, nos vamos a encontrar con dos operaciones fundamentales, la &lt;em&gt;suma&lt;/em&gt; o &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;; y la &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. Cuando &lt;em&gt;sumamos&lt;/em&gt; dos vectores $v$ y $w$, sumamos elemento por elemento, del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$v + w
=
\left[
\begin{array}{c}
    v_1 \\
    v_2 \\
    \vdots \\
    v_n
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
     w_1 \\
     w_2 \\
    \vdots \\
     w_n
\end{array}
\right] =
\left[
\begin{array}{c}
    v_1 + w_1 \\
    v_2 + w_2 \\
    \vdots \\
    v_n + w_n
\end{array}
\right]$$&lt;p&gt;Geométricamente lo podemos ver representado del siguiente modo:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# graficando suma de vectores en R^2&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# [2, 4] + [2, -2]&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# lista de vectores&lt;/span&gt;
&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;red&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;linestyle&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;--&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;a&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;linestyle&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;--&amp;#39;&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Cuando &lt;em&gt;multiplicamos &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, lo que hacemos es tomar un número $\alpha$ y un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $v$; y creamos un nuevo &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $w$ en el cada elemento de $v$ es &lt;em&gt;multiplicado&lt;/em&gt; por $\alpha$ del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$\begin{split}\alpha v
=
\left[
\begin{array}{c}
    \alpha v_1 \\
    \alpha v_2 \\
    \vdots \\
    \alpha v_n
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;Geométricamente podemos representar a esta operación en el plano de 2 dimensiones del siguiente modo:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# graficando multiplicación por escalares en R^2&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# [2, 3] * 2&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;red&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Cuando combinamos estas dos operaciones, formamos lo que se conoce en &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinaciones lineales&lt;/a&gt;. Es decir que una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinación lineal&lt;/a&gt; va a ser una expresión matemática construida sobre un conjunto de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;, en el que cada vector es &lt;em&gt;multiplicado por un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalar&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y los resultados son luego &lt;em&gt;sumados&lt;/em&gt;. Matemáticamente lo podemos expresar de la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$w = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i
$$&lt;p&gt;en donde, $v_n$ son &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; y $\alpha_n$ son &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Matrices,-combinaciones-lineales-y-Ax-=-b"&gt;Matrices, combinaciones lineales y Ax = b&lt;a class="anchor-link" href="#Matrices,-combinaciones-lineales-y-Ax-=-b"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es un arreglo bidimensional de números ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. En una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; cada elemento puede ser identificado utilizando dos índices, uno para la fila y otro para la columna en que se encuentra. Las podemos representar de la siguiente manera:&lt;/p&gt;
$$A=\begin{bmatrix}a_{11} &amp; a_{12} &amp; \dots &amp; a_{1n}\\a_{21} &amp; a_{22} &amp; \dots &amp; a_{2n}
\\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 
a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \dots &amp; a_{nn}\end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones lineales&lt;/a&gt; o para representar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinaciones lineales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Supongamos que tenemos los siguientes 3 vectores:&lt;/p&gt;
$$x_1
=
\left[
\begin{array}{c}
     1 \\
    -1 \\
     0
\end{array}
\right]
\
x_2 =
\left[
\begin{array}{c}
     0 \\
     1 \\
    -1 
\end{array}
\right] \ 
x_3 =
\left[
\begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    1
\end{array}
\right]$$&lt;p&gt;su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinación lineal&lt;/a&gt; en el espacio de 3 dimensiones va a ser igual a $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \alpha_3 x_3$; lo que es lo mismo que decir:&lt;/p&gt;
$$\alpha_1
\left[
\begin{array}{c}
     1 \\
    -1 \\
     0
\end{array}
\right]
+ \alpha_2
\left[
\begin{array}{c}
     0 \\
     1 \\
    -1 
\end{array}
\right] + \alpha_3
\left[
\begin{array}{c}
    0 \\
    0 \\
    1
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{c}
    \alpha_1 \\
    \alpha_2 - \alpha_1 \\
    \alpha_3 - \alpha_2
\end{array}
\right]$$&lt;p&gt;Ahora esta &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinación lineal&lt;/a&gt; la podríamos reescribir en forma matricial. Los vectores $x_1, x_2$ y $x_3$, pasarían a formar las columnas de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ y los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; $\alpha_1, \alpha_2$ y $\alpha_3$ pasarían a ser los componentes del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $x$ del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$\begin{bmatrix}1 &amp; 0 &amp; 0\\-1 &amp; 1 &amp; 0
\\ 0 &amp; -1 &amp; 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 - \alpha_1 \\ \alpha_3 - \alpha_2 \end{bmatrix}$$&lt;p&gt;De esta forma la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ multiplicada por el &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $x$, nos da como resultado la misma &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinación lineal&lt;/a&gt; $b$. De esta forma, arribamos a una de las ecuaciones más fundamentales del &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$Ax = b$$&lt;p&gt;Esta ecuación no solo nos va a servir para expresar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinaciones lineales&lt;/a&gt;, sino que también se vuelve de suma importancia a la hora de resolver &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones lineales&lt;/a&gt;, en dónde $b$ va a ser conocido y la incógnita pasa a ser $x$. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones&lt;/a&gt; de 3 incógnitas:&lt;/p&gt;
$$ 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 52 \\
3x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 61 \\
8x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 75
$$&lt;p&gt;Podemos ayudarnos de &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; para expresar a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ y $b$ para luego arribar a la solución del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $x$.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo sistema de ecuaciones con SymPy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[5]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}2 &amp; 3 &amp; 5\\3 &amp; 6 &amp; 2\\8 &amp; 3 &amp; 6\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;52&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;61&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;75&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[6]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}52\\61\\75\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo Ax = b&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;LUsolve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[7]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}3\\7\\5\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobando la solución&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[8]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}52\\61\\75\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="La-matriz--identidad-,-la-matriz-transpuesta-y-la-matriz-invertible"&gt;La matriz  identidad , la matriz transpuesta y la matriz invertible&lt;a class="anchor-link" href="#La-matriz--identidad-,-la-matriz-transpuesta-y-la-matriz-invertible"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Tres &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; de suma importancia en problemas de &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;. Son la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt;, la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matriz transpuesta&lt;/a&gt; y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; es el elemento neutro en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicación de matrices&lt;/a&gt;, es el equivalente al número 1. Cualquier &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; multiplicada por la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; nos da como resultado la misma &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;. La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; (tiene siempre el mismo número de filas que de columnas); y su diagonal principal se compone de todos elementos 1 y el resto de los elementos se completan con 0. Suele representase con la letra $I$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por ejemplo la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; de 3x3 sería la siguiente:&lt;/p&gt;
$$I=\begin{bmatrix}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \\0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 1\end{bmatrix}$$&lt;p&gt;La &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matriz transpuesta&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ de $m \times n$ va a ser igual a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $n \times m$ $A^T$, la cual se obtiene al transformar las filas en columnas y las columnas en filas, del siguiente modo:&lt;/p&gt;
$$\begin{bmatrix}a &amp; b &amp; \\c &amp; d &amp; \\ e &amp; f &amp; \end{bmatrix}^T=
\begin{bmatrix}a &amp; c &amp; e &amp;\\b &amp; d &amp; f &amp; \end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; va a ser &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica"&gt;simétrica&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; si $A^T = A$, es decir si $A$ es igual a su propia &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matriz transpuesta&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Algunas de las propiedades de las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matrices transpuestas&lt;/a&gt; son:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;a. $(A^T)^T = A$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;b. $(A + B)^T = A^T + B^T$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;c. $k(A)^T = k(A^T)$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;d. $(AB)^T = B^T A^T$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;e. $(A^r)^T = (A^T)^r$ para todos los $r$ no negativos.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;f. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt;, entonces $A + A^T$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica"&gt;matriz simétrica&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;g. Para cualquier &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$, $A A^T$ y $A^T A$ son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica"&gt;matrices simétricas&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Veamos algunos ejemplos en &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz transpuesta&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[9]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}2 &amp; -3 &amp; -8 &amp; 7\\-2 &amp; -1 &amp; 2 &amp; -7\\1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 6\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}2 &amp; -2 &amp; 1\\-3 &amp; -1 &amp; 0\\-8 &amp; 2 &amp; -3\\7 &amp; -7 &amp; 6\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# transpuesta de transpuesta vuelve a A.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[11]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}2 &amp; -3 &amp; -8 &amp; 7\\-2 &amp; -1 &amp; 2 &amp; -7\\1 &amp; 0 &amp; -3 &amp; 6\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# creando matriz simetrica&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;As&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;As&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[12]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}126 &amp; -66 &amp; 68\\-66 &amp; 58 &amp; -50\\68 &amp; -50 &amp; 46\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# comprobando simetria.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;As&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[13]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}126 &amp; -66 &amp; 68\\-66 &amp; 58 &amp; -50\\68 &amp; -50 &amp; 46\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt; es muy importante, ya que esta relacionada con la ecuación $Ax = b$. Si tenemos una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; $A$ de $n \times n$, entonces la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz inversa&lt;/a&gt; de $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A'$ o $A^{-1}$ de $n \times n$ que hace que la multiplicación $A A^{-1}$ sea igual a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; $I$. Es decir que es la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; recíproca de $A$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$A A^{-1} = I$ o $A^{-1} A = I$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En caso de que estas condiciones se cumplan, decimos que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz es invertible&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Que una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; sea &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; tiene importantes implicaciones, como ser:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;a. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;, entonces su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz inversa&lt;/a&gt; es única.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;b. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt; de $n \times n$, entonces el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistemas de ecuaciones lineales&lt;/a&gt; dado por $Ax = b$ tiene una única solución $x = A^{-1}b$ para cualquier $b$ en $\mathbb{R}^n$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;c. Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; va a ser &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; si y solo si su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es distinto de cero. En el caso de que el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; sea cero se dice que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es singular.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;d. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;, entonces el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema&lt;/a&gt; $Ax = 0$ solo tiene una solución &lt;em&gt;trivial&lt;/em&gt;. Es decir, en las que todas las incógnitas son ceros.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;e. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;, entonces su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_escalonada"&gt;forma escalonada&lt;/a&gt; va a ser igual a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;f. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;, entonces $A^{-1}$ es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; y:&lt;/p&gt;
$$(A^{-1})^{-1} = A$$&lt;p&gt;g. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt; y $\alpha$ es un  &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalar&lt;/a&gt; distinto de cero, entonces $\alpha A$ es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; y:&lt;/p&gt;
$$(\alpha A)^{-1} = \frac{1}{\alpha}A^{-1}$$&lt;p&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;h. Si $A$ y $B$ son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matrices invertibles&lt;/a&gt; del mismo tamaño, entonces $AB$ es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; y:&lt;/p&gt;
$$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$$&lt;p&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;i. Si $A$ es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz invertible&lt;/a&gt;, entonces $A^T$ es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; y:&lt;/p&gt;
$$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$$&lt;p&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Con &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt; podemos trabajar con las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matrices invertibles&lt;/a&gt; del siguiente modo:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Matriz invertible&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[14]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 2\\3 &amp; 9\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;inv&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[15]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}3 &amp; - \frac{2}{3}\\-1 &amp; \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# A * A_inv = I&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[16]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 0\\0 &amp; 1\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# forma escalonada igual a indentidad.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rref&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[17]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left ( \left[\begin{matrix}1 &amp; 0\\0 &amp; 1\end{matrix}\right], \quad \left [ 0, \quad 1\right ]\right )$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# la inversa de A_inv es A&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;inv&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[18]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 2\\3 &amp; 9\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Espacios-vectoriales"&gt;Espacios vectoriales&lt;a class="anchor-link" href="#Espacios-vectoriales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Las Matemáticas derivan su poder en gran medida de su capacidad para encontrar las características comunes de los diversos problemas y estudiarlos de manera abstracta. Existen muchos problemas que implican los conceptos relacionados de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, y la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Lineal"&gt;linealidad&lt;/a&gt;. Para estudiar estas propiedades de manera abstracta, debemos  introducir la noción de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para alcanzar la definición de un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt;, debemos combinar los conceptos que venimos viendo hasta ahora de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Campo&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; y las operaciones de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;; y &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;. De esta forma un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt;, $V$, sobre un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Campo&lt;/a&gt;, $F$,  va a ser un &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; en el que están definidas las operaciones de &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)"&gt;adición&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y  &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, tal que para cualquier par de elementos $x$ e $y$ en $V$, existe un elemento único $x + y$ en $V$, y para cada elemento $\alpha$ en $F$ y cada elemento $x$ en $V$, exista un único elemento $\alpha x$ en $V$, de manera que se cumplan las siguientes condiciones:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para todo $x, y$ en $V$, $x + y = y + x$ (&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad"&gt;conmutatividad&lt;/a&gt; de la adición).&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para todo $x, y, z$ en $V$, $(x + y) + z = x + (y + z)$. (&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)"&gt;asociatividad&lt;/a&gt; de la adición).&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Existe un elemento en $V$ llamado $0$ tal que $x + 0 = x$ para todo $x$ en $V$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para cada elemento $x$ en $V$, existe un elemento $y$ en $V$ tal que $x + y = 0$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para cada elemento $x$ en $V$, $1 x = x$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para cada par, $\alpha, \beta$ en $F$ y cada elemento $x$ en $V$, $(\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para cada elemento $\alpha$ en $F$ y cada para de elementos $x, y$ en $V$, $\alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Para cada par de elementos $\alpha, \beta$ en $F$ y cada elemento $x$ en $V$, $(\alpha +  \beta)x = \alpha x + \beta x$.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacios vectoriales&lt;/a&gt; más comunes son $\mathbb{R}^2$, el cual representa el plano de 2 dimensiones y consiste de todos los pares ordenados de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real"&gt;números reales&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\mathbb{R}^2 = \{(x, y): x, y \in \mathbb{R}\}$$&lt;p&gt;y $\mathbb{R}^3$, que representa el espacio ordinario de 3 dimensiones y consiste en todos los tríos ordenados de los  &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real"&gt;números reales&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\mathbb{R}^3 = \{(x, y, z): x, y, z \in \mathbb{R}\}$$&lt;p&gt;Una de las grandes bellezas del &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; es que podemos fácilmente pasar a trabajar sobre espacios de $n$ dimensiones, $\mathbb{R}^n$!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Tampoco tenemos porque quedarnos con solo los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real"&gt;números reales&lt;/a&gt;, ya que la definición que dimos de un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt; reside sobre un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Campo&lt;/a&gt;; y los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)"&gt;campos&lt;/a&gt; pueden estar representados por &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/12/numeros-complejos-con-python/"&gt;números complejos&lt;/a&gt;. Por tanto también podemos tener &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacios vectoriales&lt;/a&gt;  $\mathbb{C}^2, \mathbb{C}^3, \dots, \mathbb{C}^n$.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Subespacios"&gt;Subespacios&lt;a class="anchor-link" href="#Subespacios"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Normalmente, en el estudio de cualquier estructura algebraica es interesante examinar subconjuntos que tengan la misma estructura que el &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; que esta siendo considerado. Así, dentro de los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacios vectoriales&lt;/a&gt;,  podemos tener &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial"&gt;subespacios vectoriales&lt;/a&gt;, los cuales son un subconjunto que cumplen con las mismas &lt;em&gt;propiedades&lt;/em&gt; que el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt; que los contiene. De esta forma, $\mathbb{R}^3$ representa un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial"&gt;subespacio&lt;/a&gt; del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial"&gt;espacio vectorial&lt;/a&gt; $\mathbb{R}^n$.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Independencia-lineal"&gt;Independencia lineal&lt;a class="anchor-link" href="#Independencia-lineal"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;independencia lineal&lt;/a&gt; es un concepto aparentemente simple con consecuencias que se extienden profundamente en muchos aspectos del análisis. Si deseamos entender cuando una matriz puede ser &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt;, o cuando un &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones lineales&lt;/a&gt; tiene una única solución, o cuando una estimación por &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados"&gt;mínimos cuadrados&lt;/a&gt; se define de forma única, la idea fundamental más importante es la de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;independencia lineal&lt;/a&gt; de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Dado un conjunto finito de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; $x_1, x_2, \dots, x_n$ se dice que los mismos son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, si y solo si, los únicos &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ que satisfacen la ecuación:&lt;/p&gt;
$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_n x_n = 0$$&lt;p&gt;son todos ceros, $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En caso de que esto no se cumpla, es decir, que existe una solución a la ecuación de arriba en que no todos los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; son ceros, a esta solución se la llama &lt;em&gt;no trivial&lt;/em&gt; y se dice que los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente dependientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para ilustrar la definición y que quede más clara, veamos algunos ejemplos. Supongamos que queremos determinar si los siguientes &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$\begin{split}x_1
=
\left[
\begin{array}{c}
    1.2 \\
1.1 \\
\end{array}
\right] \  \  \ x_2 =
\left[
\begin{array}{c}
    -2.2 \\
1.4 \\
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;Para lograr esto, deberíamos resolver el siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones&lt;/a&gt; y verificar si la única solución es aquella en que los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; sean ceros.&lt;/p&gt;
$$\begin{split}\alpha_1
\left[
\begin{array}{c}
    1.2 \\
1.1 \\
\end{array}
\right] + \alpha_2
\left[
\begin{array}{c}
    -2.2 \\
1.4 \\
\end{array}
\right]\end{split} = 0
$$&lt;p&gt;Para resolver este &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones&lt;/a&gt;, podemos recurrir a la ayuda de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[19]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo el sistema de ecuaciones.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;2.2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[19]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 0.,  0.])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[20]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Solución gráfica.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;50&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# crea 50 valores entre 0 y 5&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como podemos ver, tanto por la solución numérica como por la solución gráfica, estos vectores son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, ya que la única solución a la ecuación $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \dots + \alpha_n x_n = 0$, es aquella en que los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; son cero.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Determinemos ahora si por ejemplo, los siguientes &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; en $\mathbb{R}^4$ son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;: $\{(3, 2, 2, 3), (3, 2, 1, 2), (3, 2, 0, 1)\}$. Aquí, ahora deberíamos resolver la siguiente ecuación:&lt;/p&gt;
$$\alpha_1 (3, 2, 2, 3) +\alpha_2 (3, 2, 1, 2) + \alpha_3 (3, 2, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)$$&lt;p&gt;Para resolver este sistema de ecuaciones que no es cuadrado (tiene 4 ecuaciones y solo 3 incógnitas); podemos utilizar &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[21]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Sympy para resolver el sistema de ecuaciones lineales&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;a1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;symbols&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;a1, a2, a3&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[21]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}3 &amp; 3 &amp; 3 &amp; 0\\2 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 0\\2 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\3 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 0\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[22]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve_linear_system&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[22]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left \{ a_{1} : a_{3}, \quad a_{2} : - 2 a_{3}\right \}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, esta solución es &lt;em&gt;no trivial&lt;/em&gt;, ya que por ejemplo existe la solución $\alpha_1 = 1, \ \alpha_2 = -2 , \  \alpha_3 = 1$ en la que los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; no son ceros. Por lo tanto este sistema es &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente dependiente&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por último, podríamos considerar si los siguientes &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio"&gt;polinomios&lt;/a&gt; son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;: $1 -2x -x^2$, $1 + x$, $1 + x + 2x^2$. En este caso, deberíamos resolver la siguiente ecuación:&lt;/p&gt;
$$\alpha_1 (1 − 2x − x^2) + \alpha_2 (1 + x) + \alpha_3 (1 + x + 2x^2) = 0$$&lt;p&gt;y esta ecuación es equivalente a la siguiente:&lt;/p&gt;
$$(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 ) + (−2 \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 )x + (−\alpha_1 + 2 \alpha_2 )x^2 = 0$$&lt;p&gt;Por lo tanto, podemos armar el siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 0, \\
-2 \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 0, \\
-\alpha_1 + 2 \alpha_2  = 0.
$$&lt;p&gt;El cual podemos nuevamente resolver con la ayuda de &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[23]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;((&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[23]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0\\-2 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0\\-1 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 0\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[24]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve_linear_system&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[24]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left \{ a_{1} : 0, \quad a_{2} : 0, \quad a_{3} : 0\right \}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, todos los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; son ceros, por lo tanto estos &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio"&gt;polinomios&lt;/a&gt; son &lt;em&gt;&lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Espacio-nulo,-espacio-columna-y-espacio-fila"&gt;Espacio nulo, espacio columna y espacio fila&lt;a class="anchor-link" href="#Espacio-nulo,-espacio-columna-y-espacio-fila"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Un termino particularmente relacionado con la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;independencia lineal&lt;/a&gt; es el de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_(matem%C3%A1tica)"&gt;espacio nulo o núcleo&lt;/a&gt;. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_(matem%C3%A1tica)"&gt;espacio nulo&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$, el cual lo vamos a expresar como $N(A)$, va a consistir de todas las soluciones a la ecuación fundamental $Ax = 0$. Por supuesto, una solución inmediata a esta ecuación es el caso de $x = 0$, que ya vimos que establece la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;independencia lineal&lt;/a&gt;. Esta solución solo va a ser la única que exista para los casos de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matrices invertibles&lt;/a&gt;. Pero en el caso de las matrices singulares (aquellas que no son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertibles&lt;/a&gt;, que tienen &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; igual a cero), van a existir soluciones que no son cero para la ecuación $Ax = 0$. El conjunto de todas estas soluciones, va a representar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_(matem%C3%A1tica)"&gt;espacio nulo&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para encontrar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAcleo_(matem%C3%A1tica)"&gt;espacio nulo&lt;/a&gt; también nos podemos ayudar de &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[25]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Espacio nulo de un matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(((&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[25]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 5 &amp; 7\\0 &amp; 0 &amp; 9\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[26]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando el espacio nulo&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;nullspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[26]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ \left[\begin{matrix}-5\\1\\0\end{matrix}\right]\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[27]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobando la solución&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A_aum&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(((&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve_linear_system&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A_aum&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;a3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[27]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left \{ a_{1} : - 5 a_{2}, \quad a_{3} : 0\right \}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[28]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobación con numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
               &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;9&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
               &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; 
               &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[28]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[0],
       [0]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Otro espacio de suma importancia es el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacios_fundamentales_de_una_matriz"&gt;espacio columna&lt;/a&gt;. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacios_fundamentales_de_una_matriz"&gt;espacio columna&lt;/a&gt;, $C(A)$, consiste en todas las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinaciones lineales&lt;/a&gt; de las columnas de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$. Estas combinaciones son los posibles vectores $Ax$. Este espacio es fundamental para resolver la ecuación $Ax = b$; ya que para resolver esta ecuación debemos expresar a $b$ como una combinación de columnas. El sistema $Ax = b$, va a tener solución solamente si $b$ esta en el espacio columna de $A$. Como las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; tienen la forma $m \times n$, sus columnas tienen $m$ componentes ($n$ son las filas). Por lo tanto el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacios_fundamentales_de_una_matriz"&gt;espacio columna&lt;/a&gt; es un &lt;em&gt;subespacio&lt;/em&gt; de $\mathbb{R}^m$ y no $\mathbb{R}^n$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por último, el otro espacio que conforma los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacios_fundamentales_de_una_matriz"&gt;espacios fundamentales&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;, es el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacios_fundamentales_de_una_matriz"&gt;espacio fila&lt;/a&gt;, el cual esta constituido por las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal"&gt;combinaciones lineales&lt;/a&gt; de las filas de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para obtener estos espacios, nuevamente podemos recurrir a &lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;SymPy&lt;/a&gt;. Para poder obtener estos espacios, primero vamos a tener que obtener la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_escalonada"&gt;forma escalonada&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;, la cual es la forma a la que arribamos luego del proceso de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan"&gt;eliminación&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[29]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# A.rref() forma escalonada.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rref&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# [0, 1, 2] es la ubicación de las pivot.&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[29]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left ( \left[\begin{matrix}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0\\0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 3\\0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -2\end{matrix}\right], \quad \left [ 0, \quad 1, \quad 2\right ]\right )$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[30]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Espacio columna&lt;/span&gt;
&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[:,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rref&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[30]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ \left[\begin{matrix}2\\-2\\1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}-3\\-1\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}-8\\2\\-3\end{matrix}\right]\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[31]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Espacio fila&lt;/span&gt;
&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rref&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;r&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,:]&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;r&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rref&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[31]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ \left[\begin{matrix}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 3\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; -2\end{matrix}\right]\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Rango"&gt;Rango&lt;a class="anchor-link" href="#Rango"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Otro concepto que también esta ligado a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;independencia lineal&lt;/a&gt; es el de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt;. Los números de columnas $m$ y filas $n$ pueden darnos el tamaño de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;, pero esto no necesariamente representa el verdadero tamaño del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema lineal&lt;/a&gt;, ya que por ejemplo si existen dos filas iguales en una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$, la segunda fila desaparecía en el proceso de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan"&gt;eliminación&lt;/a&gt;. El verdadero tamaño de $A$ va a estar dado por su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt;. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;. Por ejemplo si tenemos la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; de 3 x 4:&lt;/p&gt;
$$A = \begin{bmatrix}1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 4\\1 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 5
\\ 1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 6\end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Podemos ver que la tercer columna $(2, 2, 2)$ es un múltiplo de la primera y que la cuarta columna $(4, 5, 6)$ es la suma de las primeras 3 columnas. Por tanto el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; de $A$ va a ser igual a 2; ya que la tercer y cuarta columna pueden ser eliminadas.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Obviamente, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; también lo podemos calcular con la ayuda de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[32]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando el rango con SymPy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                  &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                  &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[32]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left[\begin{matrix}1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 4\\1 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 5\\1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 6\end{matrix}\right]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[33]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Rango con SymPy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;rank&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[33]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[34]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Rango con numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;matrix_rank&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
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&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[34]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;2&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Una útil aplicación de calcular el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es la de determinar el número de soluciones al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones lineales&lt;/a&gt;, de acuerdo al enunciado del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rouch%C3%A9%E2%80%93Frobenius"&gt;Teorema de Rouché–Frobenius&lt;/a&gt;. El sistema tiene por lo menos una solución si el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; de coeficientes equivale al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Rango_(%C3%A1lgebra_lineal)"&gt;rango&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada"&gt;matriz aumentada&lt;/a&gt;. En ese caso, ésta tiene exactamente una solución si el rango equivale al número de incógnitas.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="La-norma-y-la-Ortogonalidad"&gt;La norma y la Ortogonalidad&lt;a class="anchor-link" href="#La-norma-y-la-Ortogonalidad"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Si quisiéramos saber cual es el &lt;em&gt;largo&lt;/em&gt; del un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;, lo único que necesitamos es el famoso &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras"&gt;teorema de Pitágoras&lt;/a&gt;. En el plano $\mathbb{R}^2$, el &lt;em&gt;largo&lt;/em&gt; de un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ va a ser igual a la distancia desde el origen $(0, 0)$ hasta el punto $(a, b)$. Esta distancia puede ser fácilmente calculada gracias al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras"&gt;teorema de Pitágoras&lt;/a&gt; y va ser igual a $\sqrt{a^2 + b^2}$, como se puede ver en la siguiente figura:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[35]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando largo de un vector&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# forma un triángulo rectángulo&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;a&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;vlines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ymin&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ymax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;linestyle&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;--&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;g&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


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&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;En esta definición podemos observar que $a^2 + b^2 = v \cdot v$, por lo que ya estamos en condiciones de poder definir lo que en &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; se conoce como &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial"&gt;norma&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El &lt;em&gt;largo&lt;/em&gt; o &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial"&gt;norma&lt;/a&gt; de un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$, en $\mathbb{R}^n$ va a ser igual a un número no negativo $||v||$ definido por:&lt;/p&gt;
$$||v|| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$$&lt;p&gt;Es decir que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial"&gt;norma&lt;/a&gt; de un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; va a ser igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Ortogonalidad"&gt;Ortogonalidad&lt;a class="anchor-link" href="#Ortogonalidad"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;El concepto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad"&gt;perpendicularidad&lt;/a&gt; es fundamental en &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa"&gt;geometría&lt;/a&gt;. Este concepto llevado a los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; en $\mathbb{R}^n$ se llama &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonalidad&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Dos &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; $v$ y $w$ en $\mathbb{R}^n$ van a ser &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonales&lt;/a&gt; el uno al otro si su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar"&gt;producto interior&lt;/a&gt; es igual a cero. Es decir, $v \cdot w = 0$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Geométricamente lo podemos ver de la siguiente manera:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[36]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="collapseheader inner_cell"&gt;&lt;span style="font-weight: bold;"&gt;Ver Código&lt;/span&gt;
&lt;div class="input_area" style="display:none"&gt;
&lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Vectores ortogonales&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])]&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;a&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;linestyle&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;--&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;color&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;g&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

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&lt;div class="output"&gt;


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&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[37]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# comprobando su producto interior.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;w&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;w&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[37]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;0&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Un &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; en $\mathbb{R}^n$ va a ser &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonal&lt;/a&gt; si todo los pares de los distintos &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; en el &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonales&lt;/a&gt; entre sí. O sea:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;$v_i \cdot v_j = 0$ para todo $i, j = 1, 2, \dots, k$ y donde $i \ne j$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por ejemplo, si tenemos el siguiente &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjunto&lt;/a&gt; de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; en $\mathbb{R}^3$:&lt;/p&gt;
$$v1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix} \ 
v2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \
v3 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}$$&lt;p&gt;En este caso, deberíamos combrobar que:&lt;/p&gt;
$$v1 \cdot v2 = 0 \\
v2 \cdot v3 = 0 \\
v1 \cdot v3 = 0 $$
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[38]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# comprobando ortogonalidad del conjunto&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[38]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(0, 0, 0)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Como vemos, este conjunto es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonal&lt;/a&gt;. Una de las principales ventajas de trabajar con &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/11/conjuntos-con-python/"&gt;conjuntos&lt;/a&gt; de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonales&lt;/a&gt; es que los mismos son necesariamente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal"&gt;linealmente independientes&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El concepto de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonalidad&lt;/a&gt; es uno de los más importantes y útiles en &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; y surge en muchas situaciones prácticas, sobre todo cuando queremos calcular distancias.&lt;/p&gt;
&lt;h2 id="Determinante"&gt;Determinante&lt;a class="anchor-link" href="#Determinante"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es un número especial que puede calcularse sobre las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matrices cuadradas&lt;/a&gt;. Este número nos va a decir muchas cosas sobre la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;. Por ejemplo, nos va decir si la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt; o no. Si el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es igual a cero, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; no es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt;. Cuando la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; es &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt;, el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de $A^{-1}= 1/(\det \ A)$. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; también puede ser útil para calcular áreas.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para obtener el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; debemos calcular la suma de los productos de las diagonales de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; en una dirección menos la suma de los productos de las diagonales en la otra dirección. Se represente con el símbolo $|A|$ o $\det A$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Algunas de sus propiedades que debemos tener en cuenta son:&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;a. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; es igual a 1. $\det I = 1$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;b. Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ es &lt;em&gt;singular&lt;/em&gt; (no tiene &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;inversa&lt;/a&gt;) si su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es igual a cero.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;c. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; cambia de signo cuando dos columnas(o filas) son intercambiadas.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;d. Si dos filas de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ son iguales, entonces el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es cero.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;e. Si alguna fila de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ son todos ceros, entonces el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es cero.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;f. La &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matriz transpuesta&lt;/a&gt; $A^T$, tiene el mismo &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; que $A$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;g. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de $AB$ es igual al &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de $A$ multiplicado por el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; de $B$. $\det (AB) = \det A \cdot \det B$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;h. El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal"&gt;función lineal&lt;/a&gt; de cada una de las filas en forma separada. Si multiplicamos solo una fila por $\alpha$, entonces el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; también es multiplicado por $\alpha$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Veamos como podemos obtener el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; con la ayuda de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[39]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Determinante con sympy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;det&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[39]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[40]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Determinante con numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;det&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[40]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$2.0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[41]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Determinante como funcion lineal de fila&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;det&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[41]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$10.0$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[42]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# cambio de signo de determinante&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;det&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[42]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$-2$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Eigenvalores-y-Eigenvectores"&gt;Eigenvalores y Eigenvectores&lt;a class="anchor-link" href="#Eigenvalores-y-Eigenvectores"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Cuando estamos resolviendo &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;ecuaciones lineales&lt;/a&gt; del tipo $Ax = b$, estamos trabajando con problemas &lt;em&gt;estáticos&lt;/em&gt;. ¿Pero qué pasa si quisiéramos trabajar con problemas &lt;em&gt;dinámicos&lt;/em&gt;?. Es en este tipo de situaciones donde los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores y Eigenvectores&lt;/a&gt; tienen su mayor importancia.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Supongamos que tenemos una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; $A$ de $n \times n$. Una pregunta natural que nos podríamos hacer sobre $A$ es: ¿Existe algún &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; $x$ distinto de cero para el cual $Ax$ es un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalar&lt;/a&gt; múltiplo de $x$?. Si llevamos esta pregunta al lenguaje matemático nos vamos a encontrar con la siguiente ecuación:&lt;/p&gt;
$$Ax = \lambda x$$&lt;p&gt;Cuando esta ecuación es válida y $x$ no es cero, decimos que $\lambda$ es el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalor o valor propio&lt;/a&gt; de $A$ y $x$ es su correspondiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvector o vector propio&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Muchos problemas en ciencia derivan en problemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt;, en los cuales la principal pregunta es: ¿Cuáles son los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt; de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; dada, y cuáles son sus correspondientes &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvectores&lt;/a&gt;. Un área donde nos va a ser de mucha utilidad esta teoría, es en problemas con sistemas de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal"&gt;ecuaciones diferenciales lineales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;h3 id="Calculando-Eigenvalores"&gt;Calculando Eigenvalores&lt;a class="anchor-link" href="#Calculando-Eigenvalores"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Hasta aquí todo muy bien, pero dada una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; $A$ de $n \times n$, ¿cómo podemos obtener sus &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt;?.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Podemos comenzar por observar que la ecuación $Ax = \lambda x$ es equivalente a $(A - \lambda I)x = 0$. Dado que estamos interesados en soluciones a esta ecuación que sean distintas de cero, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A - \lambda I$ debe ser &lt;em&gt;singular&lt;/em&gt;, no &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;invertible&lt;/a&gt;, por lo tanto su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; debe ser cero, $\det (A - \lambda I) = 0$. De esta forma, podemos utilizar esta ecuación para encontrar los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt; de $A$. Particularmente, podríamos formar el &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADstico"&gt;polinomio característico&lt;/a&gt; de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$, el cual va a tener &lt;em&gt;grado&lt;/em&gt; $n$ y por lo tanto va a tener $n$ soluciones, es decir que vamos a encontrar $n$ &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt;. 
Algo que debemos tener en cuenta es, que a pesar de que la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $A$ sea &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real"&gt;real&lt;/a&gt;, debemos estar preparados para encontrar &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt; que sean &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/10/12/numeros-complejos-con-python/"&gt;complejos&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para que quede más claro, veamos un ejemplo de como podemos calcular los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt;. Supongamos que tenemos la siguiente &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;
$$A = \begin{bmatrix} 3 &amp; 2 \\ 7 &amp; -2 \end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADstico"&gt;polinomio característico&lt;/a&gt; va a ser igual a:&lt;/p&gt;
$$p(\lambda) = \det (A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix}3 - \lambda &amp; 2 \\ 7  &amp; -2-\lambda\end{bmatrix} = (3 - \lambda)(-2-\lambda) - 14  \\ =\lambda^2 - \lambda - 20 = (\lambda - 5) (\lambda + 4)$$&lt;p&gt;Por lo tanto los &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio"&gt;Eigenvalores&lt;/a&gt; de $A$ van a ser $5$ y $-4$.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Obviamente, también los podemos obtener mucho más fácilmente con la ayuda de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[43]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Eigenvalores con numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# x Eigenvalor, v Eigenvector&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[43]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(array([ 5., -4.]), array([[ 0.70710678, -0.27472113],
        [ 0.70710678,  0.96152395]]))&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[44]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Eigenvalores con SymPy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sympy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;Matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                  &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Eigenvalor&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eigenvals&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[44]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left \{ -4 : 1, \quad 5 : 1\right \}$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[45]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Eigenvector&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eigenvects&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[45]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left [ \left ( -4, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}- \frac{2}{7}\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 5, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[46]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# comprobando la solución Ax = λx&lt;/span&gt;
&lt;span class="c1"&gt;# x eigenvector, v eigenvalue&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eigenvects&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eigenvects&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# Ax == vx&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[46]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_latex output_subarea output_execute_result"&gt;
$$\left ( \left[\begin{matrix}\frac{8}{7}\\-4\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}\frac{8}{7}\\-4\end{matrix}\right]\right )$$
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
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&lt;p&gt;Con esto termino con este recorrido por los principales conceptos del &lt;a href="http://relopezbriega.github.io/tag/algebra.html"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;, muchos de los cuales veremos en próximos artículos que tienen muchas aplicaciones interesantes. Espero que les sea de utilidad y les sirva de referencia.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando Jupyter notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyLinearAlgrebra.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/pyLinearAlgrebra.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
 

&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="matematica"></category><category term="calculo"></category><category term="algebra"></category><category term="ecuaciones diferenciales"></category><category term="matrices"></category><category term="vectores"></category></entry><entry><title>Algebra Lineal con Python</title><link href="http://relopezbriega.github.io/blog/2015/06/14/algebra-lineal-con-python/" rel="alternate"></link><published>2015-06-14T00:00:00-03:00</published><author><name>Raul E. Lopez Briega</name></author><id>tag:relopezbriega.github.io,2015-06-14:blog/2015/06/14/algebra-lineal-con-python/</id><summary type="html">&lt;p&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
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&lt;/div&gt;
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&lt;p&gt;&lt;img alt="Algebra lineal" title="Algebra lineal" src="http://relopezbriega.github.io/images/lin-alg.jpg"&gt;&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;h2 id="Introducci&amp;#243;n"&gt;Introducci&amp;#243;n&lt;a class="anchor-link" href="#Introducci&amp;#243;n"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Una de las herramientas matemáticas más utilizadas en &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Machine_learning"&gt;machine learning&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Miner%C3%ADa_de_datos"&gt;data mining&lt;/a&gt; es el &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;; por tanto, si queremos incursionar en el fascinante mundo del aprendizaje automático y el análisis de datos es importante reforzar los conceptos que forman parte de sus cimientos.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; es una rama de las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas"&gt;matemáticas&lt;/a&gt; que es sumamente utilizada en el estudio de una gran variedad de ciencias, como ser, ingeniería, finanzas, investigación operativa, entre otras. Es una extensión del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra"&gt;álgebra&lt;/a&gt; que aprendemos en la escuela secundaria, hacia un mayor número de dimensiones; en lugar de trabajar con incógnitas a nivel de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; comenzamos a trabajar con &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El estudio del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; implica trabajar con varios objetos matemáticos, como ser:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;Escalares&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Un &lt;em&gt;escalar&lt;/em&gt; es un solo número, en contraste con la mayoría de los otros objetos estudiados en &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;, que son generalmente una colección de múltiples números.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;Vectores&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;:Un &lt;em&gt;vector&lt;/em&gt; es una serie de números. Los números tienen una orden preestablecido, y podemos identificar cada número individual por su índice en ese orden. Podemos pensar en los  &lt;em&gt;vectores&lt;/em&gt; como la identificación de puntos en el espacio, con cada elemento que da la coordenada a lo largo de un eje diferente. Existen dos tipos de &lt;em&gt;vectores&lt;/em&gt;, los &lt;em&gt;vectores de fila&lt;/em&gt; y los &lt;em&gt;vectores de columna&lt;/em&gt;. Podemos representarlos de la siguiente manera, dónde &lt;em&gt;f&lt;/em&gt; es un vector de fila y &lt;em&gt;c&lt;/em&gt; es un vector de columna:
$$f=\begin{bmatrix}0&amp;1&amp;-1\end{bmatrix} ;       c=\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}$$&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;Matrices&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Una &lt;em&gt;matriz&lt;/em&gt; es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. En una &lt;em&gt;matriz&lt;/em&gt; cada elemento puede ser identificado utilizando dos índices, uno para la fila y otro para la columna en que se encuentra. Las podemos representar de la siguiente manera, &lt;em&gt;A&lt;/em&gt; es una matriz de 3x2.
$$A=\begin{bmatrix}0 &amp; 1&amp; \\-1 &amp; 2 \\ -2 &amp; 3\end{bmatrix}$$&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;Los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial"&gt;Tensores&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;:En algunos casos necesitaremos una matriz con más de dos ejes. En general, una serie de números dispuestos en una cuadrícula regular con un número variable de ejes es conocido como un &lt;em&gt;tensor&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;Sobre estos objetos podemos realizar las operaciones matemáticas básicas, como ser &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n"&gt;adición&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n"&gt;multiplicación&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sustracci%C3%B3n"&gt;sustracción&lt;/a&gt; y &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" &gt;división&lt;/a&gt;, es decir que vamos a poder sumar &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; con &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt;, multiplicar &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt; a &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt; y demás.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;/div&gt;
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&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Librer&amp;#237;as-de-Python-para-&amp;#225;lgebra-lineal"&gt;Librer&amp;#237;as de Python para &amp;#225;lgebra lineal&lt;a class="anchor-link" href="#Librer&amp;#237;as-de-Python-para-&amp;#225;lgebra-lineal"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;&lt;p&gt;Los principales módulos que &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; nos ofrece para realizar operaciones de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; son los siguientes:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;Numpy&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: El popular paquete matemático de &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, nos va a permitir crear &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; y &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial"&gt;tensores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; con suma facilidad.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.linalg.html"&gt;numpy.linalg&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Este es un submodulo dentro de &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;Numpy&lt;/a&gt; con un gran número de funciones para resolver ecuaciones de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/linalg.html"&gt;scipy.linalg&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Este submodulo del paquete científico &lt;a href="http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/index.html"&gt;Scipy&lt;/a&gt; es muy similar al anterior, pero con algunas más funciones y optimaciones.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://www.sympy.org/es/"&gt;Sympy&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Esta librería nos permite trabajar con matemática simbólica, convierte a &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; en un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_algebraico_computacional"&gt;sistema algebraico computacional&lt;/a&gt;. Nos va a permitir trabajar con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://cvxopt.org/"&gt;CVXOPT&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Este módulo nos permite resolver problemas de optimizaciones de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal"&gt;programación lineal&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;&lt;a href="http://pythonhosted.org//PuLP/"&gt;PuLP&lt;/a&gt;&lt;/strong&gt;: Esta librería nos permite crear modelos de &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal"&gt;programación lineal&lt;/a&gt; en forma muy sencilla con &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
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&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h2 id="Operaciones-b&amp;#225;sicas"&gt;Operaciones b&amp;#225;sicas&lt;a class="anchor-link" href="#Operaciones-b&amp;#225;sicas"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h2&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Vectores"&gt;Vectores&lt;a class="anchor-link" href="#Vectores"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; de largo &lt;code&gt;n&lt;/code&gt; es una secuencia (o &lt;em&gt;array&lt;/em&gt;, o &lt;em&gt;tupla&lt;/em&gt;) de &lt;code&gt;n&lt;/code&gt; números. La solemos escribir como x=(x1,...,xn) o x=[x1,...,xn]&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;, un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; puede ser representado con una simple &lt;em&gt;lista&lt;/em&gt;, o con un &lt;em&gt;array&lt;/em&gt; de &lt;a href="http://www.numpy.org/"&gt;Numpy&lt;/a&gt;; siendo preferible utilizar esta última opción.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[1]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Vector como lista de Python&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[1]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;[2, 4, 6]&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[2]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Vectores con numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;numpy&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;np&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ones&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# vector de solo unos.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[2]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 1.,  1.,  1.])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[3]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v3&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# pasando una lista a las arrays de numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v3&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[3]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([1, 3, 5])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[4]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v4&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# utilizando la funcion arange de numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v4&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[4]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Representaci&amp;#243;n-gr&amp;#225;fica"&gt;Representaci&amp;#243;n gr&amp;#225;fica&lt;a class="anchor-link" href="#Representaci&amp;#243;n-gr&amp;#225;fica"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Tradicionalmente, los &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; son representados visualmente como flechas que parten desde el origen hacia un punto.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por ejemplo, si quisiéramos representar graficamente a los vectores v1=[2, 4], v2=[-3, 3] y v3=[-4, -3.5], podríamos hacerlo de la siguiente manera.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[5]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="kn"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;matplotlib.pyplot&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;as&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;plt&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;warnings&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;filterwarnings&lt;/span&gt;

&lt;span class="o"&gt;%&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;matplotlib&lt;/span&gt; inline
&lt;span class="n"&gt;filterwarnings&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;ignore&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# Ignorar warnings&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[6]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;():&lt;/span&gt;
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Crea la figura de pyplot y los ejes. Mueve las lineas de la izquierda y de abajo&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    para que se intersecten con el origen. Elimina las lineas de la derecha y la de arriba.&lt;/span&gt;
&lt;span class="sd"&gt;    Devuelve los ejes.&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;fix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;subplots&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;left&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;bottom&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_position&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;zero&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;right&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;top&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;spine&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_color&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;none&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="k"&gt;return&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;

&lt;span class="k"&gt;def&lt;/span&gt; &lt;span class="nf"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;():&lt;/span&gt; 
    &lt;span class="sd"&gt;&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;Genera el grafico de los vectores en el plano&amp;quot;&amp;quot;&amp;quot;&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;move_spines&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
    
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_xlim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;set_ylim&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;grid&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt;
    &lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;3.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]]&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# lista de vectores&lt;/span&gt;
    &lt;span class="k"&gt;for&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt; &lt;span class="ow"&gt;in&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;vecs&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;:&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;annotate&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot; &amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xy&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;xytext&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
                   &lt;span class="n"&gt;arrowprops&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="nb"&gt;dict&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;facecolor&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;blue&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                  &lt;span class="n"&gt;shrink&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                  &lt;span class="n"&gt;alpha&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;
                                  &lt;span class="n"&gt;width&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;0.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
        &lt;span class="n"&gt;ax&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;text&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[7]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;vect_fig&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;()&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# crea el gráfico&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Operaciones-con-vectores"&gt;Operaciones con vectores&lt;a class="anchor-link" href="#Operaciones-con-vectores"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Las operaciones más comunes que utilizamos cuando trabajamos con &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; son la &lt;em&gt;suma&lt;/em&gt;, la &lt;em&gt;resta&lt;/em&gt; y la &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Cuando &lt;em&gt;sumamos&lt;/em&gt; dos &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, vamos sumando elemento por elemento de cada
&lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
$$ \begin{split}x + y
=
\left[
\begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    \vdots \\
    x_n
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
     y_1 \\
     y_2 \\
    \vdots \\
     y_n
\end{array}
\right]
:=
\left[
\begin{array}{c}
    x_1 + y_1 \\
    x_2 + y_2 \\
    \vdots \\
    x_n + y_n
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;De forma similar funciona la operación de resta.&lt;/p&gt;
$$ \begin{split}x - y
=
\left[
\begin{array}{c}
    x_1 \\
    x_2 \\
    \vdots \\
    x_n
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
     y_1 \\
     y_2 \\
    \vdots \\
     y_n
\end{array}
\right]
:=
\left[
\begin{array}{c}
    x_1 - y_1 \\
    x_2 - y_2 \\
    \vdots \\
    x_n - y_n
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;La &lt;em&gt;multiplicación por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; es una operación que toma a un número $\gamma$, y a un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; $x$ y produce un nuevo &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; donde cada elemento del vector $x$ es multiplicado por el número $\gamma$.&lt;/p&gt;
$$\begin{split}\gamma x
:=
\left[
\begin{array}{c}
    \gamma x_1 \\
    \gamma x_2 \\
    \vdots \\
    \gamma x_n
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;En &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; podríamos realizar estas operaciones en forma muy sencilla:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[8]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo en Python&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[8]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(array([1, 2, 3, 4]), array([2, 4, 6, 8]))&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[9]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# sumando dos vectores numpy&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[9]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 3,  6,  9, 12])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[10]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# restando dos vectores&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[10]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([-1, -2, -3, -4])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[11]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# multiplicando por un escalar&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[11]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([2, 4, 6, 8])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[12]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[12]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 6, 12, 18, 24])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h4 id="Producto-escalar-o-interior"&gt;Producto escalar o interior&lt;a class="anchor-link" href="#Producto-escalar-o-interior"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar"&gt;producto escalar&lt;/a&gt; de dos &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; se define como la suma de los productos de sus elementos, suele representarse matemáticamente como &amp;lt; x, y &amp;gt; o x'y, donde x e y son dos vectores.&lt;/p&gt;
$$&lt; x, y &gt; := \sum_{i=1}^n x_i y_i$$&lt;p&gt;Dos &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonales&lt;/a&gt; o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)"&gt;ortogonales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Adicionalmente, todo &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar"&gt;producto escalar&lt;/a&gt; induce una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorial"&gt;norma&lt;/a&gt; sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:&lt;/p&gt;
$$\| x \| := \sqrt{&lt; x, x&gt;} := \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}$$&lt;p&gt;En &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; lo podemos calcular de la siguiente forma:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[13]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando el producto escalar de los vectores x e y&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[13]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;60&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[14]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# o lo que es lo mismo, que:&lt;/span&gt;
&lt;span class="nb"&gt;sum&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;y&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[14]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;60&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[15]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando la norma del vector X&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;norm&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[15]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;5.4772255750516612&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[16]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# otra forma de calcular la norma de x&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sqrt&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[16]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;5.4772255750516612&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[17]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# vectores ortogonales&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;v1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;v2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[17]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;0&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Matrices"&gt;Matrices&lt;a class="anchor-link" href="#Matrices"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; son una forma clara y sencilla de organizar los datos para su uso en operaciones lineales.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Una &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; &lt;code&gt;n × k&lt;/code&gt; es una agrupación rectangular de números con n filas y k columnas; se representa de la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$\begin{split}A =
\left[
\begin{array}{cccc}
    a_{11} &amp; a_{12} &amp; \cdots &amp; a_{1k} \\
    a_{21} &amp; a_{22} &amp; \cdots &amp; a_{2k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp;  &amp; \vdots \\
    a_{n1} &amp; a_{n2} &amp; \cdots &amp; a_{nk}
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;p&gt;En la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A, el símbolo $a_{nk}$ representa el elemento  n-ésimo de la fila en la k-ésima columna. La &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A también puede ser llamada un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt;&lt;/em&gt; si cualquiera de n o k son iguales a 1. En el caso de n=1, A se llama un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; fila&lt;/em&gt;, mientras que en el caso de k=1 se denomina un &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; columna&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Operaciones-con-matrices"&gt;Operaciones con matrices&lt;a class="anchor-link" href="#Operaciones-con-matrices"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Al igual que con los &lt;em&gt;&lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;, que no son más que un caso particular, las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; se pueden &lt;em&gt;sumar&lt;/em&gt;, &lt;em&gt;restar&lt;/em&gt; y la &lt;em&gt;multiplicar por &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)"&gt;escalares&lt;/a&gt;&lt;/em&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Multiplicacion por escalares:
$$\begin{split}\gamma A
\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} &amp;  \cdots &amp; a_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots  &amp; \vdots \\
    a_{n1} &amp;  \cdots &amp; a_{nk} \\
\end{array}
\right]
:=
\left[
\begin{array}{ccc}
    \gamma a_{11} &amp; \cdots &amp; \gamma a_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    \gamma a_{n1} &amp; \cdots &amp; \gamma a_{nk} \\
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Suma de matrices: $$\begin{split}A + B =
\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    a_{n1} &amp; \cdots &amp; a_{nk} \\
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{ccc}
    b_{11} &amp; \cdots &amp; b_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    b_{n1} &amp; \cdots &amp; b_{nk} \\
\end{array}
\right]
:=
\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} + b_{11} &amp;  \cdots &amp; a_{1k} + b_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    a_{n1} + b_{n1} &amp;  \cdots &amp; a_{nk} + b_{nk} \\
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Resta de matrices: $$\begin{split}A - B =
\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    a_{n1} &amp; \cdots &amp; a_{nk} \\
\end{array}
\right]-
\left[
\begin{array}{ccc}
    b_{11} &amp; \cdots &amp; b_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    b_{n1} &amp; \cdots &amp; b_{nk} \\
\end{array}
\right]
:=
\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} - b_{11} &amp;  \cdots &amp; a_{1k} - b_{1k} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots \\
    a_{n1} - b_{n1} &amp;  \cdots &amp; a_{nk} - b_{nk} \\
\end{array}
\right]\end{split}$$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para los casos de suma y resta, hay que tener en cuenta que solo se pueden sumar o restar &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt; que tengan las mismas dimensiones, es decir que si tengo una &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A de dimensión 3x2 (3 filas y 2 columnas) solo voy a poder sumar o restar la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; B si esta también tiene 3 filas y 2 columnas.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[18]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo en Python&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[19]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# suma de las matrices A y B&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[19]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[2, 3, 7],
       [8, 5, 0],
       [3, 3, 3]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[20]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# resta de matrices&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[20]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 0,  3, -3],
       [-6, -5,  0],
       [-1,  1,  1]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[21]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# multiplicando matrices por escalares&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[21]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[2, 6, 4],
       [2, 0, 0],
       [2, 4, 4]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[22]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[22]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 3,  0, 15],
       [21, 15,  0],
       [ 6,  3,  3]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[23]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# ver la dimension de una matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;shape&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[23]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(3, 3)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[24]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# ver cantidad de elementos de una matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;size&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[24]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;9&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h4 id="Multiplicacion-o-Producto-de-matrices"&gt;Multiplicacion o Producto de matrices&lt;a class="anchor-link" href="#Multiplicacion-o-Producto-de-matrices"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;La regla para la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicación de matrices&lt;/a&gt; generaliza la idea del &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar"&gt;producto interior&lt;/a&gt; que vimos con los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vectores&lt;/a&gt;; y esta diseñada para facilitar las operaciones lineales básicas.
Cuando &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicamos matrices&lt;/a&gt;, el número de columnas de la primera &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; debe ser igual al número de filas de la segunda &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;; y el resultado de esta multiplicación va a tener el mismo número de filas que la primer &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; y el número de la columnas de la segunda &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt;. Es decir, que si yo tengo una &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A de dimensión 3x4 y la multiplico por una &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; B de dimensión 4x2, el resultado va a ser una &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; C de dimensión 3x2.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Algo a tener en cuenta a la hora de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicar matrices&lt;/a&gt; es que la propiedad &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad"&gt;connmutativa&lt;/a&gt; no se cumple. AxB no es lo mismo que BxA.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Veamos los ejemplos en &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[25]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Ejemplo multiplicación de matrices&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;13&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;reshape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;#matriz de dimension 3x4&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[25]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1,  2,  3,  4],
       [ 5,  6,  7,  8],
       [ 9, 10, 11, 12]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[26]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;8&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;reshape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;#matriz de dimension 4x2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[26]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5],
       [6, 7]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[27]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Multiplicando A x B&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;#resulta en una matriz de dimension 3x2&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[27]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 40,  50],
       [ 88, 114],
       [136, 178]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[28]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Multiplicando B x A&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;B&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_subarea output_text output_error"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;div class="output_subarea output_text output_error"&gt;
&lt;pre&gt;
&lt;span class="ansi-red-intense-fg ansi-bold"&gt;---------------------------------------------------------------------------&lt;/span&gt;
&lt;span class="ansi-red-intense-fg ansi-bold"&gt;ValueError&lt;/span&gt;                                Traceback (most recent call last)
&lt;span class="ansi-green-intense-fg ansi-bold"&gt;&amp;lt;ipython-input-28-439d08bbce1c&amp;gt;&lt;/span&gt; in &lt;span class="ansi-cyan-fg"&gt;&amp;lt;module&amp;gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="ansi-blue-intense-fg ansi-bold"&gt;()&lt;/span&gt;
&lt;span class="ansi-green-fg"&gt;      1&lt;/span&gt; &lt;span class="ansi-red-intense-fg ansi-bold"&gt;# Multiplicando B x A&lt;/span&gt;
&lt;span class="ansi-green-intense-fg ansi-bold"&gt;----&amp;gt; 2&lt;/span&gt;&lt;span class="ansi-yellow-intense-fg ansi-bold"&gt; &lt;/span&gt;B&lt;span class="ansi-yellow-intense-fg ansi-bold"&gt;.&lt;/span&gt;dot&lt;span class="ansi-yellow-intense-fg ansi-bold"&gt;(&lt;/span&gt;A&lt;span class="ansi-yellow-intense-fg ansi-bold"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="ansi-red-intense-fg ansi-bold"&gt;ValueError&lt;/span&gt;: shapes (4,2) and (3,4) not aligned: 2 (dim 1) != 3 (dim 0)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Este ultimo ejemplo vemos que la propiedad conmutativa no se cumple, es más, &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; nos arroja un error, ya que el número de columnas de B no coincide con el número de filas de A, por lo que ni siquiera se puede realizar la multiplicación de B x A.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para una explicación más detallada del proceso de &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicación de matrices&lt;/a&gt;, pueden consultar el siguiente &lt;a href="http://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html"&gt;tutorial&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h4 id="La-matriz-identidad,--la-matriz-inversa,--la-matriz-transpuesta-y-el-determinante"&gt;La matriz identidad,  la matriz inversa,  la matriz transpuesta y el determinante&lt;a class="anchor-link" href="#La-matriz-identidad,--la-matriz-inversa,--la-matriz-transpuesta-y-el-determinante"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h4&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; es el elemento neutro en la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicación de matrices&lt;/a&gt;, es el equivalente al número 1. Cualquier matriz multiplicada por la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; nos da como resultado la misma matriz. La &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; es una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; (tiene siempre el mismo número de filas que de columnas); y su diagonal principal se compone de todos elementos 1 y el resto de los elementos se completan con 0. Suele representase con la letra I&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por ejemplo la matriz identidad de 3x3 sería la siguiente:&lt;/p&gt;
$$I=\begin{bmatrix}1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; \\0 &amp; 1 &amp; 0\\ 0 &amp; 0 &amp; 1\end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Ahora que conocemos el concepto de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt;, podemos llegar al concepto de la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz inversa&lt;/a&gt;. Si tenemos una matriz A, la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz inversa&lt;/a&gt; de A, que se representa como $A^{-1}$ es aquella &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matriz cuadrada&lt;/a&gt; que hace que la multiplicación $A$x$A^{-1}$ sea igual a la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidad"&gt;matriz identidad&lt;/a&gt; I. Es decir que es la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; recíproca de A.&lt;/p&gt;
$$A × A^{-1} = A^{-1} × A = I$$&lt;p&gt;Tener en cuenta que esta &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible"&gt;matriz inversa&lt;/a&gt; en muchos casos puede no existir.En este caso se dice que la matriz es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es nulo.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;El &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)"&gt;determinante&lt;/a&gt; es un número especial que puede calcularse sobre las &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada"&gt;matrices cuadradas&lt;/a&gt;. Se calcula como la suma de los productos de las diagonales de la matriz en una dirección menos la suma de los productos de las diagonales en la otra dirección. Se represente con el símbolo |A|.&lt;/p&gt;
$$A=\begin{bmatrix}a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} &amp; \\a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} &amp; \\ a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33} &amp; \end{bmatrix}$$$$|A| = 
     (a_{11} a_{22} a_{33} 
   + a_{12} a_{23} a_{31} 
   + a_{13} a_{21} a_{32} )
   - (a_{31} a_{22} a_{13} 
   + a_{32} a_{23} a_{11} 
   + a_{33} a_{21} a_{12})
 $$&lt;p&gt;Por último, la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta"&gt;matriz transpuesta&lt;/a&gt; es aquella en que las filas se transforman en columnas y las columnas en filas. Se representa con el símbolo $A^\intercal$&lt;/p&gt;
$$\begin{bmatrix}a &amp; b &amp; \\c &amp; d &amp; \\ e &amp; f &amp; \end{bmatrix}^T:=\begin{bmatrix}a &amp; c &amp; e &amp;\\b &amp; d &amp; f &amp; \end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Ejemplos en &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;:&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[29]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Creando una matriz identidad de 2x2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;I&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;eye&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;I&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[29]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[30]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Multiplicar una matriz por la identidad nos da la misma matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;7&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[30]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[4, 7],
       [2, 6]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[31]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;I&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# AxI = A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[31]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 4.,  7.],
       [ 2.,  6.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[32]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando el determinante de la matriz A&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;det&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[32]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;10.000000000000002&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[33]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Calculando la inversa de A.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;inv&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[33]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 0.6, -0.7],
       [-0.2,  0.4]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[34]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# A x A_inv nos da como resultado I.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A_inv&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[34]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1.,  0.],
       [ 0.,  1.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[35]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Trasponiendo una matriz&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;arange&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;reshape&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[35]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[0, 1],
       [2, 3],
       [4, 5]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[36]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;transpose&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[36]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[0, 2, 4],
       [1, 3, 5]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Sistemas-de-ecuaciones-lineales"&gt;Sistemas de ecuaciones lineales&lt;a class="anchor-link" href="#Sistemas-de-ecuaciones-lineales"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;Una de las principales aplicaciones del &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; consiste en resolver problemas de sistemas de ecuaciones lineales.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado"&gt;ecuación lineal&lt;/a&gt; es una ecuación que solo involucra sumas y restas de una variable o mas variables a la primera potencia. Es la ecuación de la línea recta.Cuando nuestro problema esta representado por más de una &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado"&gt;ecuación lineal&lt;/a&gt;, hablamos de un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones lineales&lt;/a&gt;. Por ejemplo, podríamos tener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como el siguiente:&lt;/p&gt;
$$ x - 2y = 1$$&lt;p&gt;
$$3x + 2y = 11$$&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;La idea es encontrar el valor de $x$ e $y$ que resuelva ambas ecuaciones. Una forma en que podemos hacer esto, puede ser representando graficamente ambas rectas y buscar los puntos en que las rectas se cruzan.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;En &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; esto se puede hacer en forma muy sencilla con la ayuda de &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;matplotlib&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[37]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# graficando el sistema de ecuaciones.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linspace&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;50&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# crea 50 valores entre 0 y 5&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# grafica x - 2y = 1&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;plot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;11&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt; &lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x_vals&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;/&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# grafica 3x + 2y = 11&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;plt&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;axis&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;ymin&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[37]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(0.0, 5.0, 0, 6.0)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_png output_subarea "&gt;
&lt;img src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAWgAAAEACAYAAACeQuziAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAAlwSFlz
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"
&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Luego de haber graficado las funciones, podemos ver que ambas rectas se cruzan en el punto (3, 1), es decir que la solución de nuestro sistema sería $x=3$ e $y=1$. En este caso, al tratarse de un sistema simple y con solo dos incógnitas, la solución gráfica puede ser de utilidad, pero para sistemas más complicados se necesita una solución numérica, es aquí donde entran a jugar las &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matrices&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Ese mismo sistema se podría representar como una ecuación matricial de la siguiente forma:&lt;/p&gt;
$$\begin{bmatrix}1 &amp; -2 &amp; \\3 &amp; 2 &amp; \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x &amp; \\y &amp; \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &amp; \\11 &amp; \end{bmatrix}$$&lt;p&gt;Lo que es lo mismo que decir que la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A por la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; $x$ nos da como resultado el &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Vector"&gt;vector&lt;/a&gt; b.&lt;/p&gt;
$$ Ax = b$$&lt;p&gt;En este caso, ya sabemos el resultado de $x$, por lo que podemos comprobar que nuestra solución es correcta realizando la &lt;a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices"&gt;multiplicación de matrices&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[38]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobando la solucion con la multiplicación de matrices.&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;2.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;3.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;2.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;3.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],[&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[38]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[  1.],
       [ 11.]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;p&gt;Para resolver en forma numérica los &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones&lt;/a&gt;, existen varios métodos:&lt;/p&gt;
&lt;ul&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de sustitución&lt;/strong&gt;: El cual consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de igualacion&lt;/strong&gt;: El cual se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de reduccion&lt;/strong&gt;: El procedimiento de este método consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método gráfico&lt;/strong&gt;: Que consiste en construir el gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. Este método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano (solo dos incógnitas).&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de Gauss&lt;/strong&gt;: El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de Eliminación de Gauss-Jordan&lt;/strong&gt;: El cual es una variante del método anterior, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;&lt;strong&gt;El método de Cramer&lt;/strong&gt;: El cual consiste en aplicar la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer"&gt;regla de Cramer&lt;/a&gt; para resolver el sistema. Este método solo se puede aplicar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ul&gt;
&lt;p&gt;La idea no es explicar cada uno de estos métodos, sino saber que existen y que &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; nos hacer la vida mucho más fácil, ya que para resolver un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales"&gt;sistema de ecuaciones&lt;/a&gt; simplemente debemos llamar a la función &lt;code&gt;solve()&lt;/code&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Por ejemplo, para resolver este sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.&lt;/p&gt;
$$ x + 2y + 3z = 6$$$$ 2x + 5y + 2z = 4$$$$ 6x - 3y + z = 2$$&lt;p&gt;Primero armamos la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; A de coeficientes y la &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)"&gt;matriz&lt;/a&gt; b de resultados y luego utilizamos &lt;code&gt;solve()&lt;/code&gt; para resolverla.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[39]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Creando matriz de coeficientes&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt;
              &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;3&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[39]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([[ 1,  2,  3],
       [ 2,  5,  2],
       [ 6, -3,  1]])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[40]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Creando matriz de resultados&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;array&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;6&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;4&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[40]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([6, 4, 2])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[41]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo sistema de ecuaciones&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;np&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;linalg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[41]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ 0.,  0.,  2.])&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[42]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Comprobando la solucion&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;dot&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;==&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[42]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;array([ True,  True,  True], dtype=bool)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing text_cell rendered"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="inner_cell"&gt;
&lt;div class="text_cell_render border-box-sizing rendered_html"&gt;
&lt;h3 id="Programaci&amp;#243;n-lineal"&gt;Programaci&amp;#243;n lineal&lt;a class="anchor-link" href="#Programaci&amp;#243;n-lineal"&gt;&amp;#182;&lt;/a&gt;&lt;/h3&gt;&lt;p&gt;La &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal"&gt;programación lineal&lt;/a&gt; estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas restricciones.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n#Sistema_de_inecuaciones"&gt;sistema de inecuaciones lineales&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Para resolver un problema de programación lineal, debemos seguir los siguientes pasos:&lt;/p&gt;
&lt;ol&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Elegir las incógnitas.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;li&gt;&lt;p&gt;Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución).&lt;/p&gt;
&lt;/li&gt;
&lt;/ol&gt;
&lt;p&gt;Veamos un ejemplo y como &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt; nos ayuda a resolverlo en forma sencilla.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Supongamos que tenemos la siguiente &lt;em&gt;función objetivo&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$f(x_{1},x_{2})= 50x_{1} + 40x_{2}$$&lt;p&gt;y las siguientes &lt;em&gt;restricciones&lt;/em&gt;:&lt;/p&gt;
$$x_{1} + 1.5x_{2} \leq 750$$$$2x_{1} + x_{2} \leq 1000$$$$x_{1} \geq 0$$$$x_{2} \geq 0$$&lt;p&gt;Podemos resolverlo utilizando &lt;a href="http://pythonhosted.org//PuLP/"&gt;PuLP&lt;/a&gt;, &lt;a href="http://cvxopt.org/"&gt;CVXOPT&lt;/a&gt; o graficamente (con &lt;a href="http://matplotlib.org/"&gt;matplotlib&lt;/a&gt;) de la siguiente forma.&lt;/p&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[43]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo la optimizacion con pulp&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;pulp&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# declarando las variables&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;LpVariable&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;x1&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;800&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;   &lt;span class="c1"&gt;# 0&amp;lt;= x1 &amp;lt;= 40&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;LpVariable&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;x2&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1000&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# 0&amp;lt;= x2 &amp;lt;= 1000&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# definiendo el problema&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;LpProblem&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s2"&gt;&amp;quot;problem&amp;quot;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;LpMaximize&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# definiendo las restricciones&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.5&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;750&lt;/span&gt; 
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;&amp;lt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;1000&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;&amp;gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;&amp;gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# definiendo la funcion objetivo a maximizar&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;+=&lt;/span&gt; &lt;span class="mi"&gt;50&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;+&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;40&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# resolviendo el problema&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;status&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;prob&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solve&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;GLPK&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;msg&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;LpStatus&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;status&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# imprimiendo los resultados&lt;/span&gt;
&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;value&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;),&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;value&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;x2&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt output_prompt"&gt;Out[43]:&lt;/div&gt;



&lt;div class="output_text output_subarea output_execute_result"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;(375.0, 250.0)&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[44]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# Resolviendo el problema con cvxopt&lt;/span&gt;
&lt;span class="kn"&gt;from&lt;/span&gt; &lt;span class="nn"&gt;cvxopt&lt;/span&gt; &lt;span class="k"&gt;import&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;solvers&lt;/span&gt;

&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;2.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;],&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# columna de x1&lt;/span&gt;
            &lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.5&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;-&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]])&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# columna de x2&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;750.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;1000.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;0.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# resultados&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt; &lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;matrix&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;([&lt;/span&gt;&lt;span class="mf"&gt;50.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="mf"&gt;40.&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;])&lt;/span&gt; &lt;span class="c1"&gt;# funcion objetivo&lt;/span&gt;

&lt;span class="c1"&gt;# resolviendo el problema&lt;/span&gt;
&lt;span class="n"&gt;sol&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;=&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;solvers&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;lp&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;c&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;A&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;b&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;)&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_subarea output_stream output_stdout output_text"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;     pcost       dcost       gap    pres   dres   k/t
 0: -2.5472e+04 -3.6797e+04  5e+03  0e+00  3e-01  1e+00
 1: -2.8720e+04 -2.9111e+04  1e+02  3e-16  9e-03  2e+01
 2: -2.8750e+04 -2.8754e+04  1e+00  3e-16  9e-05  2e-01
 3: -2.8750e+04 -2.8750e+04  1e-02  2e-16  9e-07  2e-03
 4: -2.8750e+04 -2.8750e+04  1e-04  3e-16  9e-09  2e-05
Optimal solution found.
&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[45]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
        &lt;div class="highlight-ipynb"&gt;&lt;pre class="ipynb"&gt;&lt;span&gt;&lt;/span&gt;&lt;span class="c1"&gt;# imprimiendo la solucion.&lt;/span&gt;
&lt;span class="nb"&gt;print&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="si"&gt;{0:.2f}&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;, &lt;/span&gt;&lt;span class="si"&gt;{1:.2f}&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;.&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;format&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;(&lt;/span&gt;&lt;span class="n"&gt;sol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;0&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;,&lt;/span&gt; &lt;span class="n"&gt;sol&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;[&lt;/span&gt;&lt;span class="s1"&gt;&amp;#39;x&amp;#39;&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;][&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;]&lt;/span&gt;&lt;span class="o"&gt;*-&lt;/span&gt;&lt;span class="mi"&gt;1&lt;/span&gt;&lt;span class="p"&gt;))&lt;/span&gt;
&lt;/pre&gt;&lt;/div&gt;

    &lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_wrapper"&gt;
&lt;div class="output"&gt;


&lt;div class="output_area"&gt;
&lt;div class="prompt"&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class="output_subarea output_stream output_stdout output_text"&gt;
&lt;pre class="ipynb"&gt;375.00, 250.00
&lt;/pre&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;div class="cell border-box-sizing code_cell rendered"&gt;
&lt;div class="input"&gt;
&lt;div class="prompt input_prompt"&gt;In&amp;nbsp;[46]:&lt;/div&gt;

&lt;div class="inner_cell"&gt;
    &lt;div class="input_area"&gt;
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&lt;p&gt;Como podemos ver en el gráfico, ambas rectas se cruzan en la solución óptima, x1=375 y x2=250.&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Con esto termino esta introducción al &lt;a href="http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal"&gt;Álgebra lineal&lt;/a&gt; con &lt;a href="http://python.org/"&gt;Python&lt;/a&gt;.&lt;/p&gt;

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&lt;p&gt;Espero que hayan disfurtado de este tutorial tanto como yo disfrute escribirlo!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;Saludos!&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;&lt;em&gt;Este post fue escrito utilizando IPython notebook. Pueden descargar este &lt;a href="https://github.com/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/LinearAlgebraPython.ipynb"&gt;notebook&lt;/a&gt; o ver su version estática en &lt;a href="http://nbviewer.ipython.org/github/relopezbriega/relopezbriega.github.io/blob/master/downloads/LinearAlgebraPython.ipynb"&gt;nbviewer&lt;/a&gt;.&lt;/em&gt;&lt;/p&gt;

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&lt;/p&gt;</summary><category term="python"></category><category term="algebra"></category><category term="programacion"></category></entry></feed>