抽象代数相关页面完善计划

[Tiphereth-A]

目前 OI Wiki 已有一些抽象代数的内容，如 群论简介 与 置换群，也有对一些具体代数结构的介绍，如 一元多项式环与形式幂级数环、二次域。这些内容目前有如下问题：

1. 内容组织不合逻辑。如群论简介页面中先定义群后定义半群与幺半群，且半群、幺半群被视为了群的衍生结构。
2. 内容分布零散。如群论简介和二次域页面中都有部分环论内容，这些内容应该被统合进一个页面中。
3. 缺乏基础概念。如二次域页面中介绍了主理想整环，但并没有介绍理想的相关概念。

所以我认为目前 OI Wiki 需要完善部分抽象代数相关内容的介绍，但是抽象代数对于 OI 来说可能较为艰深晦涩，所以不宜引入过多内容，且应更多侧重于对具体例子的分析。

我认为需要完善的具体内容如下：

• 群论：有限 Abel 群分类定理、群的三大同构定理、群作用、轨道和稳定化子、中心化子和正规化子
• 环论：环简介、理想、商环
• 域论：域简介、有限域、域扩张

由于本人对抽象代数在算法竞赛中的应用程度不够熟悉，所以列表里可能有缺失和多余的内容，欢迎大家批评指正 ❤️

[Great-designer]

我认为这有些太多了。

但是把现有的内容按概念拆分成不同的页面，并整合到同一个目录下，还是比较重要的。

另外，“代数系统”这个概念先于群，诸如偏序集/狄尔沃斯定理等等，应当率先简要介绍。还有，“线性空间”是一种特殊的代数结构，似乎应当放在后面。

——
2024.2.18注：
该旧想法已由本人于 #5356 (comment) 更改为新想法。

[Tiphereth-A]

还有，“线性空间”是一种特殊的代数结构，似乎应当放在后面。

我觉得应该没必要介绍模，所以线性空间维持原状就好

[Tiphereth-A]

我认为这有些太多了。

不知您认为目前列表里哪些是没有必要的，我认为至少群论和环论里列出来的部分都是较为基础且重要的概念，而且目前在 OI Wiki 这边也已经得到了一定程度的应用。

另外，“代数系统”这个概念先于群，诸如偏序集/狄尔沃斯定理等等，应当率先简要介绍。

这是序理论的内容，不在本 issue 讨论的范围内。

[OIer1048576]

线性代数内容应该也要大修。

[Great-designer]

线性代数内容应该也要大修。

这个得有人有时间愿意修才行。

[Great-designer]

我认为这有些太多了。

我现在认为已经够用了，很符合我的预期。如果后续能较浅的讲讲Galois理论就更好了。知乎上现在有各式各样的速通，比如根的置换理论啥的。

另外比如简单高次方程的解法（根号表示），恰好可以写在这里。

[Great-designer]

环里面得介绍一下环的进阶内容。大家并不会只研究一个普通的环，往往会研究：

· 幺环：含有乘法单位元的环
· 交换环：乘法运算可交换的环
· 无零因子环：封闭的环

• 整环：上述三者的结合。数论里面常见研究对象。
• 体：乘法运算构成群，即封闭、含有乘法单位元、每个元素都有逆元。例如四元数体。（四元数和三维旋转有机会也可以讲讲，据说编程实现三维旋转的技术常用四元数）
• 域：可交换的体。

参见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/53621008

这部分书写的必要性，是因为在数论部分的最后几个页面，研究的都是整环，而非一般的环。里面讲了很多单纯属于整环的内容，事实上可以挪出来。

知乎专栏

整环、除环、无零因子环……傻傻分不清？一篇文章帮你整明白。

环是一种定义了加法和乘法的代数结构，对加法来说，是一个交换群，已经是最强的条件了。不过对于乘法来说，条件远没那么强，只要是个半群（运算封闭与结合律）就可以了。然后再加上分配律，就是环的定义。 抽象代…